Hola, primero que nada, gracias a todos por sumarse al hilo. Me he tardado en contestar y algunas respuestas a esta altura me quedaron desactualizadas, pero las dejo para que se lea el cual era mi consulta. La respuesta me ha quedado larga, vean de atacar el meollo, si creen hace falta.
Creo que la cuestión del orden trajo más respuestas, pero creo que es algo irrelevante a la idea de fondo, solo quería ser más claro, pero trajo más lío a la cuestión simple, así que responderé citando , pero entiéndase que no me importa el orden mayor o menor solo que cada racional es único y no se repite, (no importa con que fracción equivalente se represente, es el mismo número y lo escribo solo una vez en la lista) ,solo importa que en dicha lista estén todos los racionales , que no falte ninguno.
- como en medio siguiendo el orden de tu lista (p.ej si tenemos 4-5-3.2-7-1-3-9-2 pues 3.2 está en "medio" de 5 y 7.)
Si solo a eso me refiero , en "medio significa" que ese número tiene delante en la lista otro número y detrás tiene otro número.
- como en medio con el orden usual de los números reales (p.ej si tenemos 4-5-3.2-7-1-3-9-2 pues como número 3.2 está en medio de 3 y 4, es decir, cumple 3<3.2<4).
como el orden trae a confusión y la lista no puede construirse siguiendo esa línea lo dejamos de lado.
Bien entonces vale preguntarse entonces que se puede hacer con el resto de los irracionales, se los podría intentar intercalar, pero la lógica es que no se puede porque no estaría entre medio de dos racionales,
Aquí me pierdo completamente. ¿Por qué no se iba a poder añadir un irracional en medio de tu lista?.
Es que en esta idea de crear una lista sin ningún inconveniente los ingresos se pueden hacer, pero hay una consecuencia, que quiero se analice.
A ver , la idea es construir una lista, (de las infinitas en distinto orden y con distintos irracionales que se pueden formar), en la que los números racionales se ubiquen intercalados uno a uno con irracionales, habrá irracionales "que están en medio de" dos racionales y pueden ser mayor menor que él propio irracional, por hora solo con eso basta. Estamos de acuerdo que esa lista tiene el mismo número de racionales que de irracionales.
Y sí, se puede seguir agregando irracionales a mi lista como dije ,no hay restricción a ello, pero el tema es que los que ahora ingresen no quedaran intercalados con un racional posterior o anterior, tendrá un irracional contiguo, no importa en cuanto difieran de valor , solo hablo del tipo de numero Q o I .
Bien entonces si efectuó ese ingreso, habrá dos irracionales seguidos en la lista, si ahora quisiera poner en medio de esos dos irracionales un racional cuyo valor $$i_n<q<i_{n+1}$$ entonces ese valor $$q$$ ya se encuentra en otro lado de la lista, si de allí lo extraigo, y lo pongo en medio de $$i_n,I_{n+1}$$ , de donde lo haya extraído quedaran dos irracionales sin ningún real en medio. Podría iterar este proceso, y siempre quedaran 2 irracionales seguidos... Se entiende la mecánica, el tema es evidente, no hay suficientes racionales para cubrir los huecos de los irracionales que se puedan ir agregando a la lista.
Y si a los irracionales, los hubiese podido poner en orden entonces , luego de la iteración hubiese ordenado también a los racionales, pero aun así habría dos irracionales seguidos, y eso si contradice II)
Si tienes:
\( q_1,i_1,q_2,i_2,q_3,i_3,\ldots \)
donde los \( q_j \) son racionales y los \( i_j \) irracionales; y hay un irracional \( x \) fuera de esa lista, pues puede colocarlo en medio donde quieras:
\( q_1,i_1,q_2,\color{red}x,\color{black},i_2,q_3,i_3,\ldots \)
Tú me dirás que para cada par de irracionales seguidos en la lista no intercalados, existirá un racional que se pueda poner en medio , pero no los hay, puesto que ya los he listado a todos por definición como sucedió con los naturales frente a los reales.
Pero aquí me parece que te estás haciendo el lío. ¿Cuándo dices "existirá" un racional que se puede poner en medio, a qué te refieres con "poderse poner en medio"?.
Tienes razón he dado dos acepciones, allí me refiero a que es su valor es mayor que el menor irracional contiguo y menor que el mayor de ellos.
Lo que sabemos es que dados dos irracionales \( x<y \) siempre existe un racional \( q \) cumpliendo \( x<q<y \). Pero insisto en que ese orden no tiene nada que ver con cómo hemos colocado los números en la lista.
Si claro y ahora te dije cuál será la mecánica para que haya "al menos un" racional entre dos irracionales , el tema que no se puede cumplir que los racionales entren en todos los intervalos definidos por dos irracionales contiguos, aun dando la facilidad de que el intervalo entre ellos sea de longitud variable.
Por ejemplo si tienes listados todos los racionales:
\( 1-7-2.1-4.9-5.8-3-19-9-\ldots \)
Añades irracionales como has dicho:
\( 1-\sqrt{2}-7-\sqrt{19}-2.1-\sqrt{7}-4.9-\sqrt{15}-5.8-\pi-3-\pi^2-19-\pi^3-9-\ldots \)
Ahora imaginemos que \( \sqrt{5} \) quedó fuera de la lista. Lo intercalo:
\( 1-\sqrt{2}- \color{red}\sqrt{5}\color{black}-7-\sqrt{19}-2.1-\sqrt{7}-4.9-\sqrt{15}-5.8-\pi-3-\pi^2-19-\pi^3-9-\ldots \)
Entonces entre \( \sqrt{2} \) y \( \sqrt{5} \) existe un racional (de hecho infinitos); y aquí cuando digo "entre" me refiero a un racional \( q \) cumpliendo \( \sqrt{2}<q<\sqrt{5} \).
Y si esa lista incluía todos los racionales, pues ese racional (y todos los comprendidos entre esos dos irracionales) aparecerán en la lista. Por ejemplo en lo que he escrito tienes visible \( q=2.1 \) que cumple\( \sqrt{2}<2.1<\sqrt{5} \).
\( 1-\sqrt{2}- \color{red}\sqrt{5}\color{black}-7-\sqrt{19}-\color{blue}2.1\color{black}-\sqrt{7}-4.9-\sqrt{15}-5.8-\pi-3-\pi^2-19-\pi^3-9-\ldots \)
Además si ahora tomas otros dos irracionales distintos, de nuevo habrá racionales entre ellos ("entre" con el orden de los números reales, no con el orden de la lista) y pueden ser algunos de ellos los mismos racionales que también estaban entre \( \sqrt{2} \) y \( \sqrt{5} \).
Entiendo , pero no puedes cubrir todos tos intervalos al mismo tiempo sin repetir racionales, si es que sigues agregando irracionales.
No sé si eso mejora la idea.
Pero estarían entre medio de un racional y un irracional, no entiendo bien la pregunta.
Si entendiste bien si tienes Q-I e insertas un I tienes Q-I-I y si tienes I-Q te queda I-I-Q no puedes evitar tener dos I seguidos, llevados a que la lista se puede ordenar , llevará a contradecir II), lo que quiero entender es porque es evidente que sobran reales en la diagonal de Cantor , y no es evidente que sobren I entre dos Q, cuando la lógica es la misma , pero se enuncia entonces II) que es lo contrario pero para que se cumpla debería usar racionales de otros intervalos que les sucede lo mismo , esto va más allá del valor que tengan esos I o Q. Yo supongo que tiene que ver con algo de la densidad que me han nombrado o quizá otra cosa, no sé.
Creo haber redondeado la idea.
Concretando, la clave está a mi juicio que entre 2 racionales p<q ,siempre existe un racional r que cumple que p<r<q. Y para los irracionales también pasa.
Hola, como va, observa que no pongo en tela de juicio la existencia indefinida o infinita de números racionales r que cumplan estar entre dos racionales p y q, por más cercanos o lejanos estén estos últimos entre sí , solo digo que todos ellos ya están en mi lista, en alguna posición que le asigne la función biyectiva que los ponga en relación con los naturales.
Por tanto, no existe un siguiente a un número dado en el conjunto de los racionales e irracionales , en el sentido de la relación de orden "mayor que".
Ok. lo sé, pero observa que tampoco necesito que ningún elemento de la lista sea el siguiente de otro.
Otra cosa distinta es que en un conjunto finito de números siempre se puedan ordenar de menor a mayor.
Eso lo entiendo, pero me desorienta en porque no se puede decir que la distancia al origen en la recta de los reales los pone a todos en un orden.
P.D.: La clave de la confusión de la imposibilidad de tener un "siguiente" en los racionales e irracionales , y no así en los naturales, es que los primeros son conjuntos densos.
Bien , entiendo poco lo de la densidad supongo(por haberlos leído) que los naturales y enteros no son densos, luego que los racionales son densos y los irracionales infinitamente más densos.
Hola
Llevas perfecto la interpretación de mi idea, solo que el 2.1 en azul no lo puedes poner en medio de $$\sqrt2$$ y $$\sqrt5$$ pues ya está en la lista, no puede estar 2 veces
¿Y qué? Es que sigo sin entender que problema ves ahí.´
El inconveniente que si intenta establecer una relación como la biyectiva entre los naturales y los reales en el argumento de la diagonal de Cantor, allí ningún natural se repite aunque los presentes desordenados, la misma idea en mi ejemplo de la lista con los racionales, no puedes poner dos veces el mismo racional en la lista, simplemente porque se repetiría, cualquiera que escojas lo tienes ya en la lista en otra ubicación porque la lista era exhaustiva por definición, luego quedan dos irracionales sin un racional en medio.
Si tenías listados los racionales; intercalas irracionales; luego entre (en el sentido del orden de los reales, no del orden en que están listados) dos de esos irracionales siempre hay un racional (de hecho, infinitos) de la lista en otras posiciones. ¿Y qué?.
Que si los intentas ordenar marcándolos en la recta real, tendrás sea como sea dos irracionales sin ningún racional en medio...
¿Pero y qué?. ¿Qué problema hay en que queden dos irracionales "pegados" en tu lista? Eso no tiene nada que ver con la densidad de unos en otros.
Que, si quedan pegados aún luego de ordenarlos, la lista contradice II) , al menos eso es lo que intento preguntar, tú me dirás, que entre dos racionales hay infinitos racionales, y entre dos irracionales infinitos racionales , pero en mi lista desordenada ya has usado todos los racionales disponibles y todos tienen un irracional en medio, luego pongas donde pongas el irracional sobrante, te quedan dos contiguos en la lista....
Como síntesis, creo que la idea de Richard , parte de la idea de que la lista que crea de racionales e irracionales infinita, se puede ordenar de menor a mayor, como si fuera una lista finita, o una lista infinita de números naturales, pero no es posible por ser los racionales e irracionales densos, como comentamos.
Soy todo oídos, o más bien todo ojos, para leerte y aprender, me suena antinatural.
Por ello habla de no poder poner otro irracional adicional "en medio" , es decir dos irracionales seguidos, pues según el cómo ya coloqué todos los racionales no puedo poner otro racional que "separe" estos 2 irracionales, pero en el sentido de menor que, o mayor que, es decir como si estuvieran ordenados de menor a mayor, pero esto no se puede.
Un breve por qué, ¿puede ser? No caigo. Justamente esa la interpretación justa de a donde quiero llevar el hilo.
En cambio, dada cualquier sucesión infinita alternada de racionales e irracionales.( ordenación en el sentido de permutación de un conjunto numerable) si puedo intercalar siempre un racional entre dos irracionales y al revés
La idea era plantear primero una lista sin orden aparente establecer una relación biyectiva al contenido ordenado para ordenarlo por intercambio 1 a 1 y demostrar que al menos quedan dos irracionales seguidos cuando intercalas más irracionales luego de haber tenido la lista total intercalada.
Pues ahora que lo pienso, en la tabla de los racionales hay infinitas fracciones equivalentes
Mira la última tabla de aquí
https://euclides59.wordpress.com/2013/01/09/los-numeros-transfinito-hablemos-del-infinito-parte-ii/
Si , claro por claridad escojo solo una sola fracción equivalente, y gracias a tu link me di cuenta que mi suposición de densidad líneas atrás es falsa.
Otra cosa:
Los racionales tienen un orden en conjunto, un orden total, pero no los puedes ordenar “personalmente”; ni tú ni nadie, quiero decir.
La idea es sencilla si piensas en el posible siguiente a un número racional \( \dfrac{a}{b} \); el siguiente tendría que ser un racional un poquito más grande, algo así \( \dfrac{a}{b}+\dfrac{1}{n} \) (la suma de dos racionales es otro racional, es cerrada). Pero ocurre que no existe un “n” máximo, y entonces no puede existir el siguiente porque 1/n siempre puede ser más pequeño.
Pero que no exista el siguiente no quita para que cada racional sea único, y, por tanto, sí existan todos los racionales mayores o menores que él.
Saludos.
Mmmh, el tema es que nada impide que haya infinitos irracionales entre $$a/b$$ y $$a/b+1/n$$ , para cualquier $$n$$, cuando ese $$n$$ se hace más grande, tenemos que tomar una decisión cuando tiende al infinito y es.... a) sigue habiendo infinitos b) no hay ninguno como me afirman, ya que si $$a=0$$ es un caso particular ya iniciado el debate en el hilo de RDC.
"(al menos) un" \(\neq\) "el".
Richard: has dicho que entre dos racionales hay un irracional, y que entre dos irracionales hay un racional.
Pero ahí la palabra "un" significa "al menos un", pero puede haber más, en ambos casos.
Luego dijiste que te quedas con "el" irracional que está entre dos irracionales.
Ahí estás asumiendo que hay uno solo, como máximo, y ese es el error en el razonamiento.
Cuando de entre los algunos elementos que cumplen cierta propiedad se elige uno solo de ellos, es una aplicación del llamado Axioma de Elección.
Comprendo, me releo para razonarlo.
Que puedas elegir un elemento de cada intervalo no te da información de cuántos son todos los elementos que no elegiste.
Pero que no pueda elegir un elemento racional para cortar el intervalo entre dos irracionales porque se repite con otro elemento de la lista, me parece un argumento válido hasta ahora.
Si, Richard, a mí también me choca el cómo se tratan a los conjuntos de reales, de racionales e irracionales, y luego como se trata la densidad de los reales. Me parece que se emplean argumentos diferentes.
De hecho tb choca que dado el intervalo [0,1] por ejemplo, y admitir por teoría de conjuntos que la cantidad de irracionales es mucho mayor que la de racionales con lo cual la probabilidad de escoger al azar un racional del intervalo sea 0, mientras la probabilidad de escoger al azar un irracional sea 1, se establezca que para cada 2 irracionales haya al menos un racional siempre.
un saludo
Cada uno a su manera pregunta lo que le hace ruido, tu hilo me despertó la inquietud, tengo que leer algo más sobre esa propiedad de densidad o entender mejor la definición. Ese cálculo probabilístico que arroja 1 tiene una lógica, pero algo cambia, cuando por otras definiciones todo parece fácilmente aceptable resumirse en un 50-50...
Por tanto, si quitamos las cifras que hay detrás de “a” y “b”, las cifras “a” y “b” serán las últimas cifras de los dos nuevos números (¿alguien que lo dude?).
Sin duda, pero no necesariamente hay que cortar el numero para que resulte racional, puede luego de "a" mostrar periodicidad hasta el infinito.
Luego nada nos impide construir un racional “z” tal que \( x<z<y \) en caso de que vengan unos cuantos nueves detrás (elemental)....
Por tanto, siempre podemos encontrar un racional “z” entre dos irracionales “x ,y”.
Te entiendo, el tema es que la posición de "a" o "b" dentro de las cifras del número tiene que ser finita, no puede ser infinita sino serían x e y irracionales. Si se permitiera que fuera infinita, el racional tendría que venir de un ratio de dos números naturales con infinitas cifras, y por lo que me han dicho ...eso no es un número. ¿No? o sí?
¿Dónde está la magia? Pues en el propio infinito numerable; los irracionales tienen infinitas cifras, pero los racionales pueden tener tantas como queramos y por eso se van metiendo siempre entre dos irracionales por juntos que estén.
Y ésa es la magia. “No se puede hacer más lento”, como decía René Lavand.
Acaso ,ahora la definición de infinito debe ser diferente de tanto como quiera
El hecho de que para cada par de irracionales exista al menos un racional siempre, sería contradictorio con la mayor cardinalidad de los irracionales frente a los racionales, si para cada par de irracionales se tuviese un racional DISTINTO.
¿Porque no va a ser Distinto?, Lo veo fácil de entender si $$x$$ e $$y$$ son arbitrarios al azar puedes repetir algún racional, pero no cuando están arbitrariamente cercanos $$y-x=z$$ con $$z \to 0$$ continuo y no tanto cuando $$y-x=1/n$$ con $$n\to \infty$$ a saltos por ser $$n$$ natural. Acá me tengo que meter con límites.
Hola:
Y ésa es la magia. “No se puede hacer más lento”, como decía René Lavand.
¿Y cómo haría el mago feriva para probar que entre dos irracionales muy próximos \( x<y \) hay una cantidad infinito numerable de racionales?
Estoy presto para aplaudir
Saludos
La cifra de diferencia que los hace próximos tiene que estar en posición finita, sino el cociente del cual proviene el racional no proviene de números naturales.
Hola:
Demostrar que son infinitos es “very easy”, no merecería aplausos (vamos a dejárselo a RDC por si quiere intentarlo; y, si no, lo hago yo). Una vez demostrado eso, no hay que comerse el coco buscando aspectos internos a esa prueba en concreto, cualquier prueba de numerabilidad de los racionales, como la que usa Cantor, valdría.
Se entiende que para diferenciar dos irracionales $$x$$ e $$y$$ la diferencia tiene que estar en una cifra en posición finita, si no fuera así un racional en medio debería tener también infinitas cifras diferentes y no sería ya un racional. Por ello sigo pensando que hay algún tipo de límite a mi especulación.
Espero no haberlos aburrido.
