Buenas,
Para el apartado \( (a) \) la verdad que lo único que se me ocurre es probar que es \( \text{cuerpo} \) y de esta manera, los únicos ideales del anillo son el \( \text{cero} \) y el \( \text{total} \). Pero no
sé hasta qué punto es esto correcto y desconozco la forma de hacerlo al tratarse de un \( \text{producto de anillos cocientes} \).
Para el apartado \( (b) \) lo que pensé fue:
Podemos ver si se trata de un \( \text{dominio de integridad} \) y sabemos que no hay ningún \( \text{divisor de cero} \) o hallar el \( \text{m.c.d.} \) de los polinomios generadores de \( I \), y una vez obtenemos esto, vemos si es o no un \( \text{divisor de cero} \) en el anillo \( \mathbb{Z}_5[x ]/(m.c.d) \).
Por último, para el apartado \( (c) \), la verdad que comencé de la misma manera que en el apartado anterior, es decir hallando el \( \text{m.c.d.} \) de los generadores de \( I \). Y tomé a \( w \) como el m.c.d. del que les hablo. Una vez he obtenido \( w \), vemos que \( \mathbb{Z}[i ]/(N(w)) \) es isomorfo a \( \mathbb{Z}[i ]/w \), siendo \( N(w) \) la norma de \( w \). Con esto lo que hago es hallar el número de unidades del anillo \( \mathbb{Z}[i ]/(N(w)) \) ya que sabemos que los elementos primos no pueden ser unidades. Pero no sabría cómo tener el valor exacto de elementos primos o si mi razonamiento es correcto.
Gracias de antemano.
