[nasi]

Hola, es mi primer post, así que si hay algo que estoy haciendo mal, agradecería que me lo digáis.

Tengo el siguiente problema, el problema está en catalán, pero creo que se entiende perfectamente:

(4) Sea \( f : \mathbb{P} \rightarrow \mathbb{P} \) una homografía del espacio proyectivo \(\mathbb{P} = \mathbb{P}(\mathbb{R}^4)\) tal que el conjunto de puntos fijos de \( f \) es exactamente \( r \cup s \), donde \( r \) y \( s \) son dos rectas diferentes.

(a) Probad que \( r \) y \( s \) no se cortan y que, para todo \( p \in \mathbb{P} \setminus \{r \cup s\} \), la recta \( p \vee f(p) \) corta a \( r \) y \( s \).

(b) Sean \[ A_1 = (1 : 0 : 0 : 0), A_2 = (0 : 1 : 0 : 0), A_3 = (0 : 0 : 1 : 0), A_4 = (0 : 0 : 0 : 1), \] \[ B = (1 : -1 : -1 : 0), C = (0 : 1 : -1 : 0), \] y supongamos que \( f \) satisface:

(i) \( f(A_2) = A_3, f(A_3) = A_2, f(A_4) = A_4 \).

(ii) El plano \( H = A_1 \vee A_2 \vee A_3 \) es \( f \)-invariante y la restricción \( f|_H \) es una homología general de eje \( B \vee C \).

Encontrad el centro de la homología \( f|_H \).

(c) Si \( l \subset H \) es una recta, damos estructura de espacio afín a \( A = H \setminus \{l\} \) como una clase (en el plano proyectivo \( H \)). Encontrad \( l \) de manera que \( A_1, A_2, A_3, B, C \notin l \) y, en \( A = H \setminus \{l\} \), las rectas \( A_1 \vee A_2 \) y \( B \vee A_3 \) sean paralelas, y el punto \( A_2 \) sea el punto medio entre \( C \) y \( A_3 \).

He realizado el apartado a, descomponiendo el espacio vectorial en dos espacios de veps de vaps distintos de dimensión 2.

En el apartado b, no he logrado avanzar mucho: \( A_{2} \vee A_{3} \) es \( f-invariante \), \( B \vee C \) es una recta de puntos fijos por definición. Hay otra recta de puntos fijos y tiene que pasar por \( A_{4} \), pero no logro ver nada más.

En el apartado c, la recta \( l \) tiene que ser \( f-invariante \) y para la primera condición hace falta \( (A_{1} \vee A_{2}) \cap{} l =(B \vee A_{2}) \cap{} l \) y aquí me he quedado.
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[Luis Fuentes]

Hola

Hola, es mi primer post, así que si hay algo que estoy haciendo mal, agradecería que me lo digáis.

Tengo el siguiente problema, el problema está en catalán, pero creo que se entiende perfectamente:

(4) Sea \( f : \mathbb{P} \rightarrow \mathbb{P} \) una homografía del espacio proyectivo \(\mathbb{P} = \mathbb{P}(\mathbb{R}^4)\) tal que el conjunto de puntos fijos de \( f \) es exactamente \( r \cup s \), donde \( r \) y \( s \) son dos rectas diferentes.

(a) Probad que \( r \) y \( s \) no se cortan y que, para todo \( p \in \mathbb{P} \setminus \{r \cup s\} \), la recta \( p \vee f(p) \) corta a \( r \) y \( s \).

(b) Sean \[ A_1 = (1 : 0 : 0 : 0), A_2 = (0 : 1 : 0 : 0), A_3 = (0 : 0 : 1 : 0), A_4 = (0 : 0 : 0 : 1), \] \[ B = (1 : -1 : -1 : 0), C = (0 : 1 : -1 : 0), \] y supongamos que \( f \) satisface:

(i) \( f(A_2) = A_3, f(A_3) = A_2, f(A_4) = A_4 \).

(ii) El plano \( H = A_1 \vee A_2 \vee A_3 \) es \( f \)-invariante y la restricción \( f|_H \) es una homología general de eje \( B \vee C \).

Encontrad el centro de la homología \( f|_H \).

De  \( f(A_2) = A_3, f(A_3) = A_2, f(A_4) = A_4 \) puedes deducir que la matriz asociada a la transformación es:

\( M=\begin{pmatrix}
p&0&0&0\\
q&0&b&0\\
r&a&0&0\\
s&0&0&t\\\end{pmatrix} \)

Las coordenadas de los puntos \( B,C \) deben de ser autovectores de la matriz asociados al mismo autovalor.

En concreto de ser \( C \) autovector deduce que \( a=b \) y el autovalor asociado es \( -a \).

De ser \( B \) autovector  asociado a \( -a \) deduce que \( p=-a \) \( q=r=2a \).

Finalmente como del hecho de tener dos rectas de puntos fijos tiene dos autovalores con mutliplicidad dos, deduce que \( t=a \) y el otro autovalor es \( a \).

El centro de la homología vendrá dado por el autovector asociado a \( a \) de \( f|_H \). Concluye.

Saludos.

[nasi]

Hola Luis,

Gracias, la verdad es que no se me había ocurrido montar la matriz.

Para el c, creo que lo he resuelto:

\( A_{1} \vee A_{2} \) tiene ecuaciones \( z=t=0 \).

\( B \vee A_{3} \) tiene ecuaciones \( x+y=0; z=0 \).

De la primera condición, la recta \( l \) tiene que pasar por el punto intersección \( (1:-1:0:0) \)

Consideremos \( G \) el subespacio vectorial de dimensión 2 que genera \( l \), \( G = \langle v_{1}, v_{2} \rangle  \) donde \( v_{1} = (1,-1, 0,0) \)

Como \( C \notin l \), entonces por la estructura afín escogiendo como complementario de \( G \) en el subespacio vectorial que genera \( H \), se tiene \( C = (0:1:-1:0) = (0:1:0:0) + [v_{c}] \) donde \( v_{c} \in G \).

Obtenemos \( v_c = (0, \lambda - 1, -\lambda, 0)  \) para algun \( \lambda \).

Con \( A_{3} \) se tiene  \( A_{3} = (0:0:1:0) = (0:1:0:0) + [v_{A3}] \) donde \( v_{A3} \in G \).

De donde obtenemos  \( v_c = (0, - 1, \mu, 0)  \) para algun \( \mu \).

Como \( v_{c}, v_{A3} \in G \), podemos suponer que \( v_{2} = v_{A3} \) i tenemos la relación \( (\lambda - 1)\mu - \lambda = 0 \), donde deducimos \( \lambda = \frac{\mu}{\mu - 1} \), \( \mu \neq 1 \)

\( \delta: A \times A \rightarrow G \) se tiene que cumplir \( \delta(A_2,C) = - \delta(A_2,A_3) \).

Tenemos \( (0, \frac{1}{\mu - 1}, \frac{-\mu}{\mu - 1}, 0) = (0, 1, - \mu, 0) \) y, por lo tanto, \( \mu = 2 \) y ya estamos.

[Luis Fuentes]

Hola

 No he comprobado las cuentas. Pero la idea está bien.

Saludos.