Hola
\( \sim (\forall n\in N, n\ne n^{*}) \iff \exists n\in N, n=n+1 \color{red}\iff \exists n\in \mathbb{N}, 0=1\color{black} \)
Tienes que justificar EXACTAMENTE en qué te basas para ese último paso, para esa última equivalencia.
En realidad por como está enunciado el problema hablando de "sucesor" tiene pinta de ser un problema que se plantea en el contexto de la introducción de los números naturales mediante los axiomas de Peano.
Entonces es fundamental para hacer una demostración coherente, saber que resultados previos pueden usarse para demostrarlo. Normalmente será usando únicamente los axiomas del Peano, o quizá alguna cosa más que ya se haya deducido de ellos.
Si se afronta el problema ya con toda la potencia de las operaciones y resultados con los naturales y enteros es inmediato y trivial:
\( n=n+1 \) entonces \( n-n=(n-1)-n \), y por tanto, 0=1 (contradicción).
Pero no creo que sea esa la idea del ejercicio.
Si se parte de esta formulación de los axiomas de Peano:
1.\( \quad 0 \in \mathbb{N}
\)
\(
2.\quad \forall n \in \mathbb{N},\ n^* \in \mathbb{N}
\)
\(
3.\quad \forall n \in \mathbb{N},\ n^* \neq 0
\)
\(
4.\quad \forall m,n \in \mathbb{N},\ m^*=n^* \Rightarrow m = n
\)
\(
5.\quad A \subseteq \mathbb{N},\ (0 \in A \wedge \forall n \in A,\ n^* \in A) \Rightarrow A = \mathbb{N}
\)
Entonces podría ser una cosa así:
Consideramos \( A=\{n\in \mathbb{N}|n\neq n^*\} \).
Por el axioma \( 3 \), \( 0^*\neq 0 \) y así \( 0\in A \).
Ahora si \( n\in A \) entonces \( n^*\neq n \). Si se cumpliese \( (n^*)^*=n^* \), por el axioma 4, \( n^*=n \): contradicción. Deducimos que \( (n^*)^*=n^* \), es decir, que \( n^*\in A \).
Entonces por el axioma (5) de inducción \( A=\Bbb N \) y hemos terminado.
Saludos.
