Hola
Saludos, recién estoy comenzando de nuevo a estudiar luego de años; he iniciado un curso de teoría ergódica en la cuál me plantean el siguiente ejercicio:
Sea \( X=\{x_1,x_2,\ldots, x_r\} \) un conjunto finito, y sea \( \sigma: X \to X \) una permutación. Diremos que \( \sigma \) es una permutación cíclica si admite una única órbita (conteniendo todos los \( r \) elementos de \( X \)).
1. Demuestre que, para cualquier permutación cíclica \( \sigma \) y cualquier función \( \phi: X\to \mathbb{R} \)
\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}{\phi(\sigma^i(x))}}=\displaystyle\frac{\phi(x_1)+\phi(x_2)+\ldots+\phi(x_r)}{r} \)
Hasta ahora tengo el teorema de von Neumman y de Birkhoff.
Si pudieran darme ideas para hacer el ejercicio en verdad lo agradezco.
Nota que si la permutación es cíclica sin pérdida de generalidad y salvo reordenación de los elementos podemos suponer dado \( x\in X \) que:
\( x_1=x,\quad x_2=\sigma(x),\quad x_3=\sigma^2(x),\quad,\ldots,\quad x_r=\sigma^{r-1}(x) \)
y así se continua cíclicamente, es decir,
\( \sigma^{n}(x)=\sigma^{m}{x}=x_{m+1} \) siendo \( m \) el resto de dividir \( n \) por \( r \).
Entonces si calculamos todas las potencias \( \sigma^i(x) \) desde \( i=0 \) hasta \( n-1 \) y \( n-1=c\cdot r+m \) con \( 0\leq m<r \), cada elemento \( x_j \) aparece repetido\( c \) veces y una más los elementos con \( 1\leq j\leq m+1 \).
Es decir:
\( S_n=\displaystyle\sum_{i=0}^{n-1}{}\phi(\sigma^i(x))=c\underbrace{\displaystyle\sum_{j=1}^{r}\sigma(x_j)}_S+\phi(\sigma(x_1))+\ldots+\phi(\sigma(x_{m+1})) \)
con \( c=[(n-1)/r] \) (parte entera).
Por tanto:
\( ((n-1)/r-1)S\leq S_n\leq cS+\phi(\sigma(x_1))+\ldots+\phi(\sigma(x_{m+1}))\leq (c+1)S\leq ((n-1)/r+2)S \)
y:
\( \dfrac{(n-1)/r-1}{n}S\leq \dfrac{S_n}{n}\leq \dfrac{(n-1)/r+2}{n}S \)
Tomando límites y por el Teorema del Sandwich:
\( \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\dfrac{(n-1)/r-1}{n}S\leq \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\dfrac{S_n}{n}\leq \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\dfrac{(n-1)/r+2}{n}S \)
\( \dfrac{1}{r}S\leq \displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}\dfrac{S_n}{n}\leq \dfrac{1}{r}S \).
Saludos.
