[Ignacia_nasha]

Buenas tardes, les saludo cordialmente esperando se encuentren bien. Me gustaría solicitar su ayuda en unos ejercicios que no comprendo muy bien cómo hacer. Serían los siguientes:
Sea \( q ≥ 3 \) un número primo y sea \( D_{q} \) el diedral de orden \( 2q \).
a) Determine todos los automorfismos de \( D_{q} \) de orden dos.
b) Pruebe que si \(  f  \) es un automorfismo de \( D_{q} \) de orden dos, entonces, existe \( g\in D_{q} \)  de orden 2 y \( f(g)=g \).
c) Demuestre que, módulo isomorfismo, existen dos productos semidirectos de la forma \(  D_{q}\rtimes \frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}}. \)
d) Determine los ordenes de todos los elementos del producto semidirecto no trivial \( D_{q}\rtimes \frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}} \).
En la 1, obtuve que los automorfismos, en término de las imágenes de los generadores, serían \( f(r)=r^{-1} \) y \( f(s)=r^{w}s \), donde \( 1 \leq w \leq q \) y el trivial. No sé si estaré en lo correcto.
Para la c) supongo que depende de la cantidad de automorfismos de \( \frac{\mathbb{Z}}{2\mathbb{Z}} \) a \( D_{q} \).
Les estaría muy agradecida. Saludos y gracias

[Masacroso]

No sé cómo te lo habrán enseñado pero cada producto semidirecto \( G \rtimes J \) se define a través de algún homomorfismo (de grupos) \( \gamma : J\to \operatorname{Aut}_{\rm Grp}(G) \). Sin darte cuenta en a) has demostrado que existen exactamente dos clases de homomorfismos distintos posibles \( \gamma :\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to \operatorname{Aut}_{\rm Grp}(D_q) \), luego existen (módulo isomorfismo) sólo dos productos semidirectos distintos de la forma \( D_q\rtimes \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \).

Es decir, te queda ver que cada clase de automorfismos de \( D_q \) de orden menor o igual a dos induce una clase de homomorfismos \( \gamma :\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to \operatorname{Aut}_{\rm Grp}(D_q) \), y viceversa, cada clase de homomorfismos \( \gamma :\mathbb{Z}/2\mathbb{Z}\to \operatorname{Aut}_{\rm Grp}(D_q) \) define una clase de automorfismos de \( D_q \).

P.D.: no sé qué generadores de \( D_q \) estás tomando, pero \( \langle \alpha ,\beta :\alpha^2,\beta ^q,\alpha \beta \alpha \beta  \rangle  \) es una presentación típica de \( D_q \), en ese caso se puede demostrar que todo automorfismo en \( D_q \), para \( q \) primo, viene determinado por \( \varphi (\alpha )=\alpha \beta ^k \) para algún \( 0\leqslant k\leqslant q-1 \) y \( \varphi (\beta )=\beta ^j \) para algún \( 1\leqslant j\leqslant q-1 \).

Corregido.

Actualización: efectivamente los automorfismos de orden dos en \( D_q \) se definen por \( \varphi (\beta )=\beta ^{-1} \) y \( \varphi (\alpha )=\alpha \beta ^k \) para algún \( k\in\{0,\ldots,q-1\} \). Si designamos por \( \varphi _k \) aquel que mapea \( \alpha \mapsto \alpha \beta ^k \) entonces hay una biyección entre homomorfismos \( \gamma  \) y los automorfismos \( \{\operatorname{id},\varphi _0,\varphi _1,\ldots ,\varphi _{q-1}\} \). Parece ser que, si hay dos clases de equivalencia entre los \( \varphi _k \) (clase de equivalencia definida por si existe o no isomorfismo entre los grupos semidirectos que induce), probablemente se diferencien por la paridad de \( k \), ya que en el grupo semidirecto inducido por \( \varphi _k \) existe un elemento de orden dos que depende de la paridad de \( k \) (o bien \( (\alpha \beta ^{k/2},1) \) si \( k \) es par, o bien \( (\alpha \beta ^{(q-k)/2},1) \) si \( k \) es impar).

Pero no he encontrado una forma sencilla de demostrar que es la paridad en \( k \) la que determina las clases, el ejercicio parece más difícil de lo que parece. Una idea que se me ocurrió para atacar el problema es ver si un isomorfismo entre grupos semidirectos preserva el subgrupo normal \( D_q\times \{0\} \), pero no he conseguido demostrar esto. Pero sí he conseguido demostrar que un isomorfismo de ese tipo preserva el subgrupo cíclico generado por \( (\beta ,0) \).

Segunda actualización: he encontrado una relación en \( D_q \rtimes _k \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \) que quizá sea útil para resolver el ejercicio, que es \( (\alpha ,1)^2=(\beta ^k,0) \), ya que relaciona los generadores \( (\alpha ,0),\, (\beta ,0) \) y \( (e,1) \) con \( k \). Luego con más tiempo le echo otro vistazo.

[Ignacia_nasha]

Muchas gracias por las sugerencias, seguiré trabajando en ello. 

[Masacroso]

Contando el número de elementos de cada orden, se ve que \( D_q \rtimes_k \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \) y \( D_q\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \) no son isomorfos para cualquier \( k \) que tomemos, ergo si lo que dice el apartado c) es cierto entonces quedaría por demostrar que todos los productos semidirectos \( D_q\rtimes _k \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \) son isomorfos para \( k\in\{0,\ldots,q-1\} \) (ahí la \( k \) designa que el producto semidirecto está inducido por el automorfismo en \( D_q \) de orden dos tal que \( \alpha \mapsto \alpha \beta ^k \)). Pero no veo una manera clara de demostrar tal cosa. Una idea sería encontrar un isomorfismo explícito entre \( D_q\rtimes _k \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \) y \( D_q\rtimes _{k+1} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \) para un \( k \) arbitrario, pero no sé si tal cosa es posible siquiera.

Sería bueno conocer el contexto en el que surge este ejercicio, para ver con qué teoremas de teoría de grupos está posiblemente relacionada su resolución.

[Luis Fuentes]

Hola

Contando el número de elementos de cada orden, se ve que \( D_q \rtimes_k \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \) y \( D_q\times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \) no son isomorfos para cualquier \( k \) que tomemos, ergo si lo que dice el apartado c) es cierto entonces quedaría por demostrar que todos los productos semidirectos \( D_q\rtimes _k \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \) son isomorfos para \( k\in\{0,\ldots,q-1\} \) (ahí la \( k \) designa que el producto semidirecto está inducido por el automorfismo en \( D_q \) de orden dos tal que \( \alpha \mapsto \alpha \beta ^k \)). Pero no veo una manera clara de demostrar tal cosa. Una idea sería encontrar un isomorfismo explícito entre \( D_q\rtimes _k \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \) y \( D_q\rtimes _{k+1} \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \) para un \( k \) arbitrario, pero no sé si tal cosa es posible siquiera.

Sería bueno conocer el contexto en el que surge este ejercicio, para ver con qué teoremas de teoría de grupos está posiblemente relacionada su resolución.

Pero en \( D_q \) tenemos que los automorfismos son de la forma:

\( g_{i,j}:D_q\to D_q,\qquad g_{i,j}(r)=r^j,\quad g_k(s)=r^is \) con \( j=1,2,\ldots,q-1 \) e \( i=0,1,\ldots,q \).

Eso hace que dado el automorfismo de orden \( 2 \), \( f_1(r)=r^{-1} \) y \( f_1(s)=rs \) los otros se obtengan conjugando:

\( (g_{i,j}^{-1}\circ f_1\circ g_{i,j})(r)=g_{i,j}^{-1}(f_1(g_{i,j}(r)))=g_{i,j}^{-1}(f_1(r^j))=g_{i,j}^{-1}(r^{-j})=r^{-1} \).
\( (g_{i,j}^{-1}\circ f_1\circ g_{i,j})(s)=g_{i,j}^{-1}(f_1(g_{i,j}(s)))=g_{i,j}^{-1}(f_1(r^is)))=g_k^{-1}(r^{1-i}s)=g_{i,j}^{-1}(r^{1-2i})s=r^{j'(1-2i)}s \).

donde \( j' \) es el inverso de \( j \) módulo \( q \). Lo único que nos interesa ahí es que \( j'(1-2i) \) toma todos los posibles valores módulo \( q \) y por tanto aparecen todos los automorfismos de orden dos no triviales.

Dado que todos son conjugados de ahí es inmediato que los correspondientes productos semidirectos que definen son isomorfos.

Saludos.

[Masacroso]

Pero en \( D_q \) tenemos que los automorfismos son de la forma:

\( g_{i,j}:D_q\to D_q,\qquad g_{i,j}(r)=r^j,\quad g_k(s)=r^is \) con \( j=1,2,\ldots,q-1 \) e \( i=0,1,\ldots,q \).

Eso hace que dado el automorfismo de orden \( 2 \), \( f_1(r)=r^{-1} \) y \( f_1(s)=rs \) los otros se obtengan conjugando:

\( (g_{i,j}^{-1}\circ f_1\circ g_{i,j})(r)=g_{i,j}^{-1}(f_1(g_{i,j}(r)))=g_{i,j}^{-1}(f_1(r^j))=g_{i,j}^{-1}(r^{-j})=r^{-1} \).
\( (g_{i,j}^{-1}\circ f_1\circ g_{i,j})(s)=g_{i,j}^{-1}(f_1(g_{i,j}(s)))=g_{i,j}^{-1}(f_1(r^is)))=g_k^{-1}(r^{1-i}s)=g_{i,j}^{-1}(r^{1-2i})s=r^{j'(1-2i)}s \).

donde \( j' \) es el inverso de \( j \) módulo \( q \). Lo único que nos interesa ahí es que \( j'(1-2i) \) toma todos los posibles valores módulo \( q \) y por tanto aparecen todos los automorfismos de orden dos no triviales.

Dado que todos son conjugados de ahí es inmediato que los correspondientes productos semidirectos que definen son isomorfos.

Saludos.

  Ah, estaba cerca de la solución. Ayer antes de dejarlo pensé "mañana pruebo a ver si los automorfismos de orden dos son conjugados". 

Ahora que lo pienso creo que también se podía ver que los automorfismos de orden dos eran conjugados usando uno de los teoremas de Sylow, notando que, a lo sumo, el orden de un automorfismo de \( D_q \) es \( 2q \), luego cada automorfismo de orden dos define un subgrupo \( 2 \)-Sylow en \( \operatorname{Aut}_{\rm Grp}(D_q) \). Actualización: bueno, esto de que el orden de un automorfismo de \( D_q \) es a lo sumo \( 2q \) es cierto pero no es un resultado trivial como había imaginado. El teorema general que lo demuestra se llama teorema de Horosevskii. Así que, en principio, la idea de utilizar un teorema de Sylow aquí no es trivial.