Hola
RCD: puede estar así escribiendo años.
¿qué te pasa, Luís? ¿Por qué vienes con esta salida de Tono?
Si sigo comentando lo que me dicen es porque no me convencen para nada las respuestas, que bien agradezco por cierto. He dado muestras de sobras de que cuando he entendido las cosas lo he admitido y punto. En este hilo mismo ani_pascual me ha señalado un par de veces cómo ejemplos que había puesto estaban mal, lo he reconocido y admitido sin problemas.
Utilizas de manera vaga e imprecisa términos matemáticos según te parece; haces conclusiones sin fundamento alguno. Algunas de ellas no tienen nada que contraargumentar: son directamente sinsentidos. "De esto deducimos esto otro" simplemente porque a ti te da esa impresión. Acabas con "¿no os parece?", como si los argumentos matemáticos basados en definiciones, proposiciones, Teoremas previos fuesen cosas que a uno le parecen" a cada uno; como si fuese elegir el color con el que pintamos la pared del dormitorio.
Tomamos las definiciones, proposiciones y teoremas que tomamos porque nos parecen los mejores posibles después de muchas reflexiones y discusiones, no porque lo sean realmente. Y sí, nuestros pareceres suelen cambiar y modificarse con el tiempo, por eso todo conocimiento humano evoluciona.
Varias cosas que debes de tener en cuenta:
1) Si no consideras la propiedad arquimediana de los números reales, entonces YA no estás hablando de los números reales, porque de una de otra manera es una propiedad parte de su definición. A partir de ahí si usas la palabra "reales" le estás dando un significado impreciso, no sabemos en que definición rigurosa y propiedades de los mismos se supone que te estás basando.
2) NO hay ninguna contradicción entre la propiedad arquimediana y el argumento de Cantor sobre la imposibilidad de enumerar los reales. NINGUNA. No has dado ningún argumento mínimamente sostenible al respecto. Por ejemplo dices:
Pues aquí estás haciendo el mismo "error" que yo hacía cuando no entendía la demostración de la diagonalización de Cantor, porqué entendia que dada una lista $$n_x$$ de reales, si bien mediante la función que propone Cantor se generar un real que no estará en tal lista, siempre puedo ampliar esa lista a $$n_{x+y}$$ y que lo contenga, aunque luego esta nueva lista me genere otro real que no contendrá. Pero entonces, me basta con volver a ampliar la lsita para contenerlo, generando un nuevo real que no estará. Y así indefinidamente. Y como asumía, sin más, que resulta lícito ampliar esa lista tanto como quisiera, daba por hecho que no habría problema para que la lista terminara, tarde o temprano, enumerando a todos los reales que quisiera. Sin embargo, aunque una lista infinita no tiene un último valor, no por ello implica que se pueda ampliar tanto como se quiera para llegar a listar a todos los reales. Este es el punto, que se toma en serio o no.
¡Pero qué tendrá que ver el argumento de Cantor, con que un número real \( x \) no negativo cumpliendo \( x<1/n \) para todo \( n\in \Bbb N \) sea necesariamente \( x=0 \); o equivalentemente con que no exista un real \( x>0 \) cumpliendo \( x<1/n \) para todo \( n\in \Bbb N \). NADA. No tiene nada que ver. Más allá de que en tu cabeza parece que crees que eso choca con la no numerabilidad de los reales; pero es una percepción subjetiva que no tiene razón de ser objetiva.
Muy interesante esto que apuntas.
1) Reconoces que no hay ninguna demostración de que todo real tenga que ser arquimidiano, simplemente forma parte de la definición de real. Por la cara y ya está. Perfecto. Pero llevo mensajes diciendo que esta definción no cuadra con el tipo de razonamientos que hace cantor al estructurar la teoría de conjuntos, con la cual intenta fundamentar los números y por tanto, los reales.
2) Obviamente me has leído mal, con razón no tiene sentido para ti lo que escribo. Hablo de la forma de razonar que emplea Cantor para generar su argumento de diagonalización, o su noción de conjuntos con cardinalidad transfinita, no de emplear el argumento de diagonalización para demostrar que existen intervalos infinitesimales del tipo $$[0,x]$$
3) Lo que señalo es que la definición de real dada se basa en razonamientos que chocan con los razonamientos que hace cantor para construir la teoría de conjuntos. En tal caso, veo varias opciones; algunas de ellas:
a) Decir que la definición de rela es la que es y no se toca, mientras se obvia esta contradicción en la forma de construir los reales y la forma de construir la teoría de conjuntos, como si una cosa no fuera con la otra.
b) Redefinir los reales siguiendo las formas de razonar que emplear Cantor. es lo que tanteo.
c) Reestructurar la teoría de conjuntos, dejando de tratar los conjuntos de infinitos elementos como un todo, del cual se puedan sacar comparaciones con otros conjuntos de infintos elementos para determinar entre ellos jerarquías, ordenes, etc.
3) Ejemplos de tu forma vaga de expresarte:
Vale, si consideramos el ínfimo o bien cómo el elemento menor de una serie de valores reales (el mínimo de la serie), o bien como el valor donde convergen todos los valores de un conjunto, entiendo que se pueda establecer que el ínfimo de un conjunto como $$A, A=\left\{{a_n=\displaystyle\frac{1}{(1+n)}}\right\}$$ sea el 0, no siendo el cero un elemento de A, pero donde todos los valores de A convergen cuando $$n$$ crece.
Dices ".. si consideramos el ínfimo..." como si de repente ahora tuviésemos que ponernos de acuerdo en que entendemos por ínfimo, cuando es un concepto rigurosa y perfectamente definido en cualquier relación de orden.
¿Así que mi vaguedad surge al emplear la expresión "si consideramos el ínfimo..."?
Pero acaso es falso que para un conjunto de infinitos elementos acotado inferiomente
se considera como ínfimo al límite al que tienden los menores elementos del conjunto (habría cosas que matizar)?
y sin embargo estas singularidades que nos abrió Cantor al abordar los números mediante la teoría de conjuntos, tratamos el continuo de forma perfectamente homogénea y simplona a partir del principio arquimidiano y las aproximaciones de Cauchy, la cual no distingue aproximaciones con un número $$\aleph_0$$ de pasos (elementos), de aproximaciones con un número $$\aleph_1$$ de pasos (elementos), y por ello, con un grado de complejidad mucho mayor. Pues vale. Pero a mí me parece que todo esto es demasiado simplón si tomamos en serio las cardinalidades de los conjuntos naturales/racionales y de los irracionales.
¡Gran argumento! ¡Te parece simplón! ¡Pues es tú problema!.
Obvio que es mi problema, con razón abrí el hilo y lo comento para intentar esclarecer algo. Si uno ya le va bien la definición de real y no aprecia que se construye de forma muy diferente a como se construye la teoría de conjuntos hasta al punto de emplear argumentos que chocan, pues aquí no ve problema alguno, claro está.
Sigo pensando que esto que propones es un punto importante y hay aspectos que voy pensándolos mientas conversamos...
En otras palabras, $$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{1}{(1+n)}}=0$$. De esto no estoy en contra.
Ahora bien, no se tiene en cuenta que este límite no se basa en una iteración al infinito sin más, y ya está, sino en una iteración de $$\aleph_0$$ "pasos". Por tanto, no es cierto que mediante este límite nos acerquemos a 0 tanto como queramos.
Lo que se tiene en cuenta en ese límite, es la definición muy concreta y rigurosa de límite (si no la conoces dilo). Punto. De nuevo parece que hablas como si hubiese diferentes conceptos de límites de manera vaga.
A ver, no tergiverses. Lo que digo es, precisamente, que la definición concreta y rigurosa de límite toma el infinito como único, y no como único, sino como la idea de que existe una serie de valores que tienden indefinidamente (que se interpreta como "un tan próximo como se quiera") hacia otro $$c$$, sin alcanzarlo jamás. Esto lo admito. Ahora bien, añado que resulta evidente que con Cantor el infinito no es único ni és "un tender hacia algo tanto como se quiera". El infinto, con Cantor queda muy acotado mediante una estructura jerárquica de transfinitos. Y salta la vista que esa idea, la noción de límite, no la tiene para nada en cuenta ¿Bebería?
Si he abierto el hilo es porque pienso que sí, en la media que no sería lo mismo aproximarse a un valor $$c$$ en un número $$\aleph_0$$ de pasos o iteraciones que en un número $$\aleph_1$$. Obviamente, insisto, reconozco que la idea de "límite" no se define bajo la jerarquía de los transfinitos, sino mediante una idea de infinito muy simple y vaga. Simplemente propongo hacerlo. ¿Qué puede salir mal? Si sale algo medio bien de esta idea, obviamente tendremos otras matemáticas que nos mostrarán objetos nuevos. Nada más.
En realidad no. El concepto de límite es topológico; en principio no tiene nada que ver con la teoría de Cantor (cosa distinta que se pueda relacionar topología y teoría de conjuntos y los números transfinitos, pero es otra historia).
A ver, entiendo que cuando se dice $$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{x}$$, lo primero cabe pensar es en
el conjunto de todos los naturales, por tanto hay que empezar a tomar en serio lo que dice Cantor, y entender que su tamaño es $$\aleph_0$$. Luego, ese límite nos dice además, que en la media que $$x$$ crece los elementos del conjunto de todos los naturales también crece y no tiene un máximo. ¿significa eso que este conjunto puede ser tan grande como queramos?
Bueno, este conjunto no tiene ni tiene un último elemento ni converge a ningún elemento concreto. Ahora bien, con Cantor sabemos que este conjunto no puede crecer tanto como queramos, en el sentido que no puede crecer hasta equipararse con su conjunto potencia, por ejemplo, o con los reales.
¿No sé ve ahora una relación mucho más estrecha entre reales y lo que hace Cantor?
A mí sí me lo parece, la verdad.
No tiene NADA que ver la teoría de cardinalidad con poder comparar o no elementos de un conjunto con una relación de orden. Por otro lado la frase "tantos elementos como queramos" es una vaguedad sin significado preciso.
Esta frase, que para ti no tiene sentido, ha sido dicha por Juan Pablo Sancho para rebatirme. ¿Por qué me lo reciminas a mí? (
)
Sin embargo, si te contesto al respecto es porque he entendido perfectamente lo que me quiere decir: que cuando hacemos $$\displaystyle\lim_{x \to{+}\infty}{1/n}$$ estamos diciendo que los racionales del tipo $$1/n$$ se acercan tanto como queramos a 0 sin alcanzarlo nunca, de donde se deduce que los racionales son densos en los reales.
Y como he dicho, esto parece ser correcto en la medida que no tomemos la noción de "límite" como un objeto transfinito, es decir, como una operación para tomar un conjunto de infinitos elementos y evaluar si estos tienden o no hacia un valor $$c$$
Eso de límites $$\aleph_0$$ ó $$\aleph_1$$, son cosas que no existen; al menos que les des un significado preciso y riguroso no significan NADA. El concepto de límite de una sucesión como te dije está perfectamente definido y es muy concreto.
Tampoco significa nada "acercarse muchísimo más a \( 0 \) un conjunto que otro". Otra vaguedad que no significa NADA.
Correcto, no existen. Por eso propongo mirar que existan y tomen sentido.
Cuando se dice que los elementos de un conjunto \( A \) (de números) se acercan a \( 0 \) tanto como queramos el significado preciso es que para todo \( k>0 \) existe un \( a\in A \) tal que \( |a|<1/k \). Eso lo cumplen por ejemplos los reales, los racionales, los irracionales, sucesiones que converjan a cero,... Entonces no cabe ahí matizar el acercarse "muchísimo más"... 
Pues yo sí pienso que hace falta matizar. Obviamente la situación se vuelve un poco más compleja y dejamos de tener una visión tan homogénea y simple de los reales.
Cantor no hace nada de eso. Eso de identificar conjuntos infinitos con "conjuntos que tienen tantos elementos como queramos" (signifique lo que signifique ) es una idea que estará en tu cabeza; pero no es la definición ni el concepto de conjunto infinito. Por otro lado el hablar de "último" elemento tiene que ver con una relación de orden, no con la mera cardinalidad de los conjuntos.
Correcto, Cantor y Dedekind se dan cuenta que esta idea de infinito que se usa en los límites por ejemplo, y es la idea de infinito en potencia, es demasiado simple para tratar los conjuntos. Podemos definir los conjuntos que carecen de un último elemento como infinitos, sin más, en el sentido de Euler por ejemplo (conjuntos con tantos elementos como queramos). Se definen, entonces, como conjuntos que tienen subconjuntos del mismo tamaño que ellos mismos.
Esto o es una vaguedad o es un sinsentido. Intentado ajustarlo a lo que hace Cantor en su argumento diagonal es esto: demuestra que dada una "lista" (de manera precisa aplicación inyectiva de los naturales en los reales) de números reales es imposible que aparezcan todos; siempre habrá un número real que no aparece en esa lista.
Claro, porque él no usa la nociónd e límite ni de iteración para tratar una lista infinita, es decir, como una lista que va creciendo sin límite alguno. Lo que hace es decir: si tengo una lista con todos los naturales relacionados con diferentes números reales, siempre habrá reales que no estarán en tal lista. Por tanto, no se pueden numerar los reales y no tiene sentido pensar que la lista pueda ir creciendo porque se concibe una lista que ya tiene todos los naturales.
Pero si en vez de emplear la idea de infinito en acto, hubiese empleado la noción de iteración o límite y por tanto de una lista donde los naturales pueden ir creciendo sin tope esto no lo puede demostrar.
Saludos.
