Entiendo, Juan Pablo Sancho, pero plantearé la cosa de otra forma.
Tenemos que dado un intervalo de la recta real como [0,1] el conjunto de todos sus racionales es $$\aleph_0$$, y el conjunto de todos sus irracionales es $$\aleph_1$$. En concreto, el conjunto de todos sus irracionales incomputables es $$\aleph_1$$, con lo cual resulta imposible, ni tan siquiera, hablar teóricamente de la inmensa mayoría de ellos o de simbolizarlos. En cambio, no hay problema, teóricamente hablando, de simbolizar a todos los racionales -
simplemente nos faltaría tiempo y espacio. y sin embargo estas singularidades que nos abrió Cantor al abordar los números mediante la teoría de conjuntos, tratamos el continuo de forma perfectamente homogénea y simplona a partir del principio arquimidiano y las aproximaciones de Cauchy, la cual no distingue aproximaciones con un número $$\aleph_0$$ de pasos (elementos), de aproximaciones con un número $$\aleph_1$$ de pasos (elementos), y por ello, con un grado de complejidad mucho mayor. Pues vale. Pero a mí me parece que todo esto es demasiado simplón si tomamos en serio las cardinalidades de los conjuntos naturales/racionales y de los irracionales.
En otras palabras, me parece que la "recta" real debe de ser concebirse de forma mucho más compleja si tomamos en serio las diferentes cardinalidades de los múltiplos conjuntos de elementos que intervienen.
La verdad no lo creo.
Un conjunto puede tener una propiedad y su ínfimo o su supremo no tenerla y esto es incluso bueno en algunos casos.
Sea \( B = \{\dfrac{\sqrt{2}}{n} | n \in \mathbb{N}\} \) en este conjunto todos sus elementos son irracionales pero su infimo es cero que no es irracional.
Sea \( C = \{c_n\}_{n=1}^{+\infty} \) donde:
\( c_1 = 200 \) y para \( n \geq 2 \) tenemos \( c_{n} = 0.5 \cdot (c_{n-1} + \dfrac{3}{c_{n-1}}) \) este conjunto tiene todos sus elementos racionales pero su infimo es \( \sqrt{3} \) que es irracional.
Sigo pensando que esto que propones es un punto importante y hay aspectos que voy pensándolos mientas conversamos...
Vale, si consideramos el ínfimo o bien cómo el elemento menor de una serie de valores reales (el mínimo de la serie), o bien como el valor donde convergen todos los valores de un conjunto, entiendo que se pueda establecer que el ínfimo de un conjunto como $$A, A=\left\{{a_n=\displaystyle\frac{1}{(1+n)}}\right\}$$ sea el 0, no siendo el cero un elemento de A, pero donde todos los valores de A convergen cuando $$n$$ crece.
En otras palabras, $$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{1}{(1+n)}}=0$$. De esto no estoy en contra.
Ahora bien, no se tiene en cuenta que este límite no se basa en una iteración al infinito sin más, y ya está, sino en una iteración de $$\aleph_0$$ "pasos". Por tanto, no es cierto que mediante este límite
nos acerquemos a 0 tanto como queramos. Esta parece ser, precisamente, una de las consecuencias de los transfinitos de Cantor: hay tipos de infinitos con los que te puedes acercar mucho más a un valor que con otros. O dicho de otro modo, ya no podemos ver simplonamente a un conjunto de infinitos elementos como un conjunto que tiene tantos elementos como queramos, porque hay conjuntos que por más elementos que tenga nunca tendrá suficientes como para compararse con otros de más grandes y complejos.
Dicho esto, entonces lo que dices:
Vuelvo a iterar, como los elementos de \( A \) son cada vez mas cercanos a cero y tienes irracionales positivos tan cerca de cero como quieras , por definición de infimo que es único, es cero, no hay vuela atrás.
Además si lo tomas como un conjunto intersección de los irracionales que cumplen eso pueda ser que fuera el vacío.
S eentiende que no es cierto que los elementos del conjunto A se acercan a 0 tanto como queramos. Se acercan y convegern a cero, pero no tanto como queramos, sino según un límite: $$\aleph_0$$. En cambio el conjunto de todos los irracionales del intervalo [0,1] se acercan muchísimo más a 0 que los elementos del conjunto A, pues convergen también a 0 pero con un límite $$\aleph_1$$.
En tal sentido, cabría entender que dado que los irracionales se acercan mucho más a 0 que los racionales, encontramos intervalos como $$[0,x]$$ sin ningún racional, dado que ninguno puede llegar tan cerca de 0.
¿Cómo queda entonces esto del ínfimo?... Pues no sé aún. Pero está claro que es una idea que toma todos los infinitos por igual. cuando según la teoría de conjuntos no es cierto.
