Hola ani_pascual
Hola:
Esto no lo veo. De lo que alerta esa lista no es de que exista un real \( x \) menor que todos los de \( A \), sino de que para cada elemento de \( A \) hay al menos un real menor que él y que todos los que le anteceden, pero que depende de cada elemento de \( A \).
Pienso, si no corrígeme, que aquí te ocurre el mismo problema que tenía yo con, primero, la forma de definir el tamaño de los naturales, y luego el argumento de diagonalización. Me costó entender que $$\aleph_0$$ és el "tamaño" que ocupan todos los naturales. Es una definición pura y dura, pero que nos permite trabajar de forma acotada con el conjunto de todos los naturales, y otros conjuntos infinitos.
Esta es una forma de tratar objetos matemáticos de infinitos elementos muy diferente a como lo hacen los límites, por ejemplo. Los límites no toman el objeto de infinitos elementos como un todo, sino como una iteración indefinida, que no termina nunca. Entonces, evaluando partes concretas del objeto se emplean los límites para determinar hacia donde se aproximan o hacia donde convergen dichas partes.
Dicho esto, me tomaba el argumento de diagonalización de Cantor bastante en este sentido, es decir, como un proceso iterativo indefinido y no terminaba de ver clara la demostración.
Es decir, tal y como tú me dices que quieres evaluar, término por término, yo tb entendía que para $$n_1$$ generamos una lista concreta, sobre la cual se puede crear un real, empleando la función que presenta Cantor, el cual, de seguro, no estará en semejante lista. Sin embargo, este real puede estar en una lista más grande, por ejemplo para una lista $$n_5$$.
Por tanto, aunque esta lista $$n_5$$ sí contiene el real que habíamos creado en la lista $$n_1$$ mediante la función de Cantor, de nuevo podemos crear otro real mediante dicha función. Un nuevo real que de seguro no estará en esta lista $$n_5$$, aunque sí puede estar en una lista mayor, por ejemplo una lista $$n_{15}$$; pero con tal lista, luego, podemos crear un nuevo real que no estará en ella. Y así de forma indefinida.
Pensado así, iterativamente (infinito en potencia), no me parecía nada claro el argumento de Cantor y por tanto la demostración de que haya más reales que naturales,porque me lo tomaba pensando que siempre estamos tratando listas finitas, que vamos ampliando indefinidamente y los reales que no estén en una de las listas estarán más tarde en otra de más extensa, y así indefinidamente.
Pongo en el spoiler lo que me dijo Carlos al respecto. Me costó, pero lo entendí, y me parece que es lo mismo que haces ahora:
Spoiler
el hilo es el siguiente: https://foro.rinconmatematico.com/index.php?topic=126174.30, y los comentarios se encuentran a partir de la pg 4 del hilo.
En un primer comentario de la pg 4 Carlos se molestó en colgar una demostración precisa y con ejemplos del argumento de Cantor: la que sigue: Entiendo q para Cantor la demostración se debe a que podemos hacer una lista con todos los naturales y ello nos da un número diagonal, que podemos transformar en una serie de cifras que defina a un real. Y finalmente le suma +1 a cada una de esa cifra para decir:
Dado que hemos agotado todos los naturales, y tenemos un real que no está en la lista, se demuestra que los naturales son menos que los reales.
Si este no es el argumento que da Cantor y es otro que no he entendido, pues agradezco que se me explique. Pero si es este, me parece falaz. Nada más.
No sé quién me mandará meterme en camisa de once varas, pero voy a tratar de explicarte el argumento de Cantor.
Preliminares Llamamos \( S \) al conjunto de todas las sucesiones de números naturales entre \( 0 \) y \( 9 \). Por ejemplo, un elemento de \( S \) es la sucesión
\( c = (5, 3, 3, 7, 9, 9, 9, \ldots ) \)
entendiendo que a partir de ahí son todo nueves. En otros términos:
\( c(0) = 5,\quad c(1) = 3,\quad c(2) = 3, \quad c(3) = 7,\quad c(n) = 9 \) para \( n\geq 4 \).
Otro es la sucesión
\( c' = (3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 4, \ldots) \)
entendiendo que hay que continuar con las siguientes cifras decimales de \( \pi \), etc.
Consideramos la aplicación \( R: S\longrightarrow [0,1] \) dada por
\( R(c) = \sum\limits_{n=0}^\infty c(n)10^{-(n+1)} \).
En otras palabras, \( R(c) \) es el número real cuyas cifras decimales son las de la sucesión \( c \). Por ejemplo, si \( c \) es el del primer ejemplo anterior, \( R(c) = 0.5337999\ldots = 0.533800\ldots \)
Para el segundo ejemplo \( R(c') = 0.3141592654\ldots = \pi/10 \).
Recíprocamente, podemos considerar la aplicación \( D: [0, 1]\longrightarrow S \) que a cada número real entre \( 0 \) y \( 1 \) le asigna la sucesión de sus cifras decimales, entendiendo que si un número \( \alpha \) admite dos desarrollos decimales que empiezan con \( 0.\ \ldots \), necesariamente uno de ellos acaba en infinitos ceros y el otro en infinitos nueves, y elegimos el primero, por fijar uno.
Por ejemplo, \( D(\pi/10) = (3, 1,4,1,5,9,2,\ldots) \), mientras que
\( D(0.5337999\ldots) = (5, 3, 3, 8, 0, 0, \ldots) \),
porque tenemos que cambiar la sucesión de nueves por la de ceros, por el criterio con el que hemos definido \( D \).
Ahora tenemos que fijarnos bien en los números reales que admiten dos desarrollos decimales distintos, como
\( 0.5338000\ldots \)
\( 0.5337999\ldots \)
Se puede probar en general que la situación es siempre la que ilustra este ejemplo. Las primeras cifras coinciden, luego hay una en la que la cifra de cada desarrollo difiere en una unidad, y las siguientes son todas 0 en un caso y todas 9 en el otro. No hay más posibilidades.
Esto tiene unas consecuencias cruciales:
Si \( c\in S \), entonces \( R(c)\in [0, 1] \), luego podemos calcular \( D(R(c))\in S \), y se pueden dar dos casos:
A) Si \( c\in S \) es una sucesión que no termina en ceros ni en nueves, entonces
\( D(R(c))(n) = c(n) \) para todo \( n \).
B) Si \( c\in S \) es una sucesión que termina en ceros o en nueves, entonces, para cada \( n \), se pueden dar tres subcasos:
- \( D(R(c))(n) = c(n) \).
- \( D(R(c))(n) \) y \( c(n) \) difieren en una unidad.
- \( D(R(c))(n) \) y \( c(n) \) son uno 0 y otro 9.
No hay más opciones. En todos los casos \( c(n) \) y \( D(R(c))(n) \) son iguales, se diferencian en una unidad, o bien son uno 0 y otro 9.
Por ejemplo, si \( c \) es la sucesión del primer ejemplo, tenemos que
\( D(R(c))(2) = D(0.5337999\ldots )(2) = D(0.5338000\ldots) = 3 = c(2) \). Son iguales.
\( D(R(c))(3) = D(0.5337999\ldots )(3) = D(0.5338000\ldots) = 8,\quad c(3) = 7 \). Se diferencian en una unidad.
\( D(R(c))(5) = D(0.5337999\ldots )(5) = D(0.5338000\ldots) = 0, \quad c(5) = 9 \). Son 0 y 9.
Con estos preliminares, ya podemos probar el teorema de Cantor:
Teorema No existe ninguna aplicación biyectiva \( f: \mathbb N\longrightarrow [0,1] \).
Demostración Por reducción al absurdo, suponemos que existe \( f: \mathbb N\longrightarrow [0,1] \) biyectiva.
Ahora fijamos un número natural \( n \), con lo que podemos considerar el número real \( f(n)\in [0, 1] \), que a su vez nos permite considerar la sucesión de dígitos \( D(f(n))\in S \) y, concretamente, podemos considerar el dígito \( n \)-simo, que es \( D(f(n))(n) \), un número entre 0 y 9.
Definimos como sigue un elemento \( d\in S \):
\( d(n) = \cases{D(f(n))(n)+2&si $D(f(n))(n)\leq 7$,\cr 6&si $D(f(n))(n) = 8, 9$.} \)
Esto es, en efecto, una sucesión de dígitos \( d\in S \), luego podemos considerar el número real \( R(d)\in [0, 1] \).
Ahora usamos el supuesto de que \( f \) es una aplicación suprayectiva. Esto implica que \( R(d) \) tiene una antiimagen, digamos \( m\in \mathbb N \). En otras palabras, existe un \( m\in \mathbb N \) tal que \( f(m) = R(d) \).
Distinguimos dos casos:
Si \( D(f(m))(m)\leq 7 \), entonces \( d(m) = D(f(m))(m)+2 = D(R(d))(m)+2 \), pero esto es imposible, porque hemos visto que \( d(m) \) y \( D(R(d))(m) \) no pueden diferenciarse en 2 unidades. O son iguales, o son 0 y 9, o se diferencian en una unidad.
Si \( D(f(m))(m)= 8,9 \), entonces \( d(m) = 6 \), mientras que \( D(R(d))(m) = D(f(m))(m) = 8, 9 \), con lo que tenemos la misma contradicción, ya que ahora \( d(m) \) y \( D(R(d))(m) \) se diferencian en 2 o 3 unidades, y eso es imposible.
Esto prueba que la aplicación biyectiva \( f \) no puede existir, como Cantor probó.
Quedo expectante de ver el punto de tangencia por el que decides salirte por la tangente para cuestionar este argumento.
Luego, me lo miré y le pregunté precisamente si $$n$$ debe ser mayor $$m$$ porque yo pensaba en términos de listas finitas que se van ampliando de forma indefinida, y los reales que no pueden estar en unas sí puedan estar en otras más extensas. Y el me contestó lo siguiente:para que se produzca la contradicción a la suposición de que hay una f biyectiva entre naturales y reales [0,1], n siempre debe de ser mayor que m?
No le veo sentido a la pregunta. En la prueba uso \( n \) como una variable que recorre todos los números naturales. No hay fijo ningún valor concreto de \( n \) en ningún momento, (digo que fijamos un \( n \) porque la definición de \( d(n) \) lleva varios pasos en los que \( n \) permanece fijo, pero en realidad lo que hago es decir: para cada \( n \), defino como sigue \( d(n) \). Una vez definida la sucesión \( d \), ya no hay ningún \( n \) fijo.
Por el contrario, \( m \) es un número natural concreto definido a partir de la supuesta biyección. Por lo tanto, no tiene sentido comparar un número concreto \( m \) con una variable que recorre todos los números naturales.
Más claramente: en toda la prueba puedes borrar todas las emes y cambiarlas por enes sin que cambie nada. ¿Me preguntarías entonces si \( n \) tiene que ser mayor que \( n \)?
Dicho esto, pues, cuando escribo que dado el conjunto $$A, A=\left\{{a_n=\displaystyle\frac{1}{(1+n)}}\right\}$$, como un subconjunto de todos los números del intervalo [0,1], entonces $$\exists{x}, x\in{\Bbb R}, x\not\in{\Bbb Q}$$, tal que $$0<x<a_n=\displaystyle\frac{1}{(1+n)}$$, cabe entender lo mismo que ya me contestó Carlos:
"No le veo sentido a la pregunta. En la prueba uso \( n \) como una variable que recorre todos los números naturales. No hay fijo ningún valor concreto de \( n \) en ningún momento[...]"
Por tanto, cuando recorremos todos los naturales tenemos que los elementos del conjunto A se han acercado a 0 tanto como les resulta posible y sin embargo, existe un $$x$$ menor a todos ellos, que es un irracional, y con el cual podemos establecer el intervalo continuo $$[0,x]$$ dentro del cual no hay ya racional alguno y por tanto no es posible dividirlo por dos, por 3, etc...
