[RDC]

Entendido esto, ahora hacemos una lista de TODOS los elementos de este conjunto A (tomamos el conjunto A como un todo, como hace Cantor)

$$n=1: 1/2\longrightarrow{\exists{x, x\in{\Bbb R}, x<1/2}}$$
$$n=2: 1/3\longrightarrow{\exists{x, x\in{\Bbb R}, x<1/3}}$$
$$n=3: 1/4\longrightarrow{\exists{x, x\in{\Bbb R}, x<1/4}}$$
...

Con ello entiendo, entonces, que existirá al menos un real $$x$$ que siempre será menor a cualquier elemento de A (y por tanto a cualquier racional posible del segmento [0,1], por lo dicho en el punto 2), y además será mayor que 0. Este real $$x$$ es infinitesimal porque no existe ningún natural que multiplicado por él se acerque a 1.

Hola, RDC.

Lo que estás haciendo es lo que coloquialmente se conoce como “ponerle puertas al campo”.

Siempre existe un “n” porque los naturales, por definición, no tienen límite, pueden ser siempre más grandes; y al hacer eso estás limitando "n".

No hay “punto de conexión”, no hay una barrera fija entre los dos infinitos.

Saludos.

Es lo que hacer Cantor, trabajar con el infinito en acto, es decir, como un conjunto completo.

Cuando Cantor hace lo de la diagonalización toma la lista de "todos los naturales", que obviamente es infinita, y demuestra que existen reales que no se pueden listar. ¿cómo lo demuestra? Pues que para cualquier lista de tamaño "n" siempre habrán reales que no estarán en la lista. Por tanto cuando tengamos toda la lista de los naturales, cuyo tamaño es $$\aleph_0$$, tampoco estarán todos los reales. Y ya está.

Pues aquí lo mismo. Para cualquier elemento del conjunto $$A=\left\{{a_n=\displaystyle\frac{1}{(1+n)}}\right\}$$, siempre habrá un real $$x$$, que no está en el conjunto. Por tanto, cuando consideramos todo el conjunto A, cabe entender que este real $$x$$ no puede ser racional, sino irracional y además, determina un intervalo $$[0,x]$$ de tamaño $$\aleph_1$$ que carece de racionales.

Edito: a este intervalo $$[0,x]$$ lo podemos llamar infinitesimal, porque no existe ningún natural $$n$$ con el que multiplicar cualquiera de los valores de semejante intervalo para acercarse a 1.

[RDC]

Hola:

...
pero siempre existirá un real, que no pertenecerá a A, tal que  $$0<x<\displaystyle\frac{1}{(1+n)}$$, ¿o no?

Sí, claro.

Como he comentado antes, en realidad este real $$x$$ expresa un intervalo de reales no racionales de tamaño $$\aleph_1$$. Sería el intervalo $$[0,x]$$.

Pero es que ese intervalo no existe, al menos en el modelo estándar. Ten en cuenta, que si \(  x \) es un real mayor que cero, entonces habrá no uno solo sino \( \aleph_0 \) elementos \( a \) de \( A \) tales que \( a<x \)
Saludos

Ya veo que no existe, pero porque se toma la propiedad arquimidiana como un axioma, pero este axioma parece contradecirse con todo esto. ¿o no? Es lo que intento señalar, y por eso digo que por esta via quizás se podrían demostrar los infinitesimales a través de teoría de conjuntos estandar. Pero no sé...

[ani_pascual]

Hola:

...
Es lo que hacer Cantor, trabajar con el infinito en acto, es decir, como un conjunto completo.

Cuando Cantor hace lo de la diagonalización toma la lista de "todos los naturales", que obviamente es infinita, y demuestra que existen reales que no se pueden listar. ¿cómo lo demuestra? Pues que para cualquier lista de tamaño "n" siempre habrán reales que no estarán en la lista.

Yo creo que lo que hace es argumentar que si los reales del intervalo \( ]0,1[ \) se pudieran listar o enumerar directamente mediante una lista de tamaño \( \aleph_0 \), entonces sería posible encontrar un real que no está en la lista.

Pues aquí lo mismo. Para cualquier elemento del conjunto $$A=\left\{{a_n=\displaystyle\frac{1}{(1+n)}}\right\}$$, siempre habrá un real $$x$$, que no está en el conjunto.

No veo la analogía. Dado un natural \( n \) concreto, la lista \( \{a_m\}_{m\leq n}\subset A \) es finita y se puede asegurar la existencia de un real  \( x_n \) tal que \( x<a_m,\,\,\forall\,m\leq n \), pero no \( \forall\,a\in A \)

Saludos

[ani_pascual]

Hola:

Mi punto es que para cualquier elemento del conjunto $$A, A=\left\{{a_n=\displaystyle\frac{1}{(1+n)}}\right\}$$, siempre existirà un real $$x$$ tal que $$x<a_n=\displaystyle\frac{1}{(1+n)}$$.

Sí. claro, pero ese real \( x \) depende del \( n \), así que sería más apropiado llamarlo \( x_n \).

Por tanto: $$0<x<\displaystyle\frac{1}{(1+n)}$$

Eso no es así. Se tendría que para cada \( n\in\mathbb{N} \) existe \( x_n>0 \) con \( x_n<a_n<a_m,\,\,\forall\,m\leq n \), tal y como sostiene Juan Pablo Sancho aquí:

No, para cada natural, si que tienes \( x> 0  \) con \( 0 < x < \dfrac{1}{n} \), pero el infimo de este conjunto es el cero.

...
lo que sabemos es que dado un intervalo cualquiera de la recta real, como [0,1], este puede ser dividido racionalmente en segmentos menores un número $$\aleph_0$$ de veces. Y aún así, después de cada división racional que hagamos obtendremos un intervalo menor cuya cantidad de valores es, siempre, $$aleph _1$$.

¿¿¿cantidad de valores??? Esto lo veo un poco lioso. Lo que es cierto es que en cada uno de esos \( \aleph_0 \) subintervalos, existen a su vez \( \aleph_0 \) subintervalos con extremo derecho racional e incluso \( \aleph_1 \) subintervalos con extremo derecho irracional. Por ello, la cardinalidad de \( [0,1] \) es \( \aleph_1 \), ya que \( \aleph_0^{\aleph_0}=\aleph_1 \) y \( \aleph_1^{\aleph_0}=\aleph_1 \), siempre y cuando se admita la hipótesis del continuo generalizada.
Saludos

[RDC]

hola

Yo creo que lo que hace es argumentar que si los reales del intervalo \( ]0,1[ \) se pudieran listar o enumerar directamente mediante una lista de tamaño \( \aleph_0 \), entonces sería posible encontrar un real que no está en la lista.

Claro que hace eso, pero, ¿cómo lo hace? Considera que puede tomar a "todos los naturales" para listar a "todos los reales" considerando una lista de tamaño $$n$$. Entonces alerta que para una lista $$n$$ siempre es posible crear un real que nunca puede estar en tal lista $$n$$. Y dado que toma la lista $$n$$ como una con todos los naturales entonces deduce que habrá reales que no se pueden listar en la lista con todos los naturales.

Aquí la idea es la misma. No se trata de considerar el infinito en  potencia, como estás haciendo para interpretar lo que digo, sino en acto.

No veo la analogía. Dado un natural \( n \) concreto, la lista \( \{a_m\}_{m\leq n}\subset A \) es finita y se puede asegurar la existencia de un real  \( x_n \) tal que \( x<a_m,\,\,\forall\,m\leq n \), pero no \( \forall\,a\in A \)

Pues a mi me parece que esta es, precisamente, la analogía:

Para empezar, hay que tomar TODOS los infinitos elementos del conjunto A, $$A=\left\{{a_n=\displaystyle\frac{1}{(1+n)}}\right\}$$, sabiendo que para cada uno de los elemento del conjunto, $$a_n$$, existe un real $$x$$ tal que $$0<x<a_n$$. Y este elemento $$x$$ genera un intervalo tal que $$[0,x]$$. Y es así como comienza Cantor su razonamiento: tomando a TODOS los elementos de un conjunto infinito para sacar cosas. Otra historia, es, luego, que consideremos que esto no se pueda hacer, pero entonces los argumentos de Cantor tampoco sirven.

Ahora bien, una vez tomamos a TODOS los elementos de A, obviamente no aplicamos el argumento de la diagonalización. Hacemos algo distinto: simplemente alertamos que al considerar a TODOS los elementos del conjunto A entonces existirá un $$x$$ para el cual no existe ningún $$a_n$$ menor.

Y como sabemos, además, que es imposible generar otro subconjunto de racionales del intervalo [0,1] diferente de A que contenga algún racional que sea menor que cualquiera de los que contiene A, entences, podemos estar seguros de que:

existe un $$x$$ en el intervalo [0,1] que debe ser irracional y para el cual, además, no existen racionales menores.

Obviamente si no aplicamos el infinito en acto (permitir poder tratar a todos los elementos de A) esto no tiene sentido. La cuestión, entonces, es si aceptamos esta idea o no.

Por otro lado, cabe señalar algo más:

De algún modo, haciendo esto estamos determinando un ínfimo abstracto en el conjunto A, y por ende del conjunto de todos los irracionales del intervalo [0,1]. Obviamente no es un ínfimo concreto, como lo puede ser 0 en el intervalo [0,1]. se trata de un ínfimo en "acto": se "alcanza" mediante una iteración $$\aleph_0$$. Y este ínfimo es superior a 0.

Sin embargo, no existe ningún ínfimo en acto para el subconjunto formado por todos los irracionales del intervalo [0,1]. Con los irracionales no se puede hacer todo esto. Con lo cual, cabe entender, pienso, que hay infinitos irracionales menores que cualquier racional, dado que los racionales sí tendrían ínfimo en "acto". Tales irracionales serían infinitesimales.

No sé, la idea es esta.

[RDC]

Sí. claro, pero ese real \( x \) depende del \( n \), así que sería más apropiado llamarlo \( x_n \).

vale, ningún  problema

Eso no es así. Se tendría que para cada \( n\in\mathbb{N} \) existe \( x_n>0 \) con \( x_n<a_n<a_m,\,\,\forall\,m\leq n \), tal y como sostiene Juan Pablo Sancho aquí:

No, para cada natural, si que tienes \( x> 0  \) con \( 0 < x < \dfrac{1}{n} \), pero el infimo de este conjunto es el cero.

Vale, supongo que este es el punto.  Gracias por ilustrarlo tan bien. Pienso que el ínfimo nunca puede ser 0 porque 0 no es nunca un elemento de A; 0 es donde convergen todos los valores de A en la media que $$n$$ crece. En este sentido, pienso que sí hay un ínfimo en A, pero no es un ínfimo concreto, es decir, un número racional preciso y determinado. Es un ínfimo abstracto, llamémosle $$\displaystyle\frac{1}{(1+n)}$$, para $$n$$ cualquier natural. Y este ínfimo, es mayor que 0 y menor que infinitos irracionales los cuales sí que carecen de ínfimo.

¿¿¿cantidad de valores??? Esto lo veo un poco lioso. Lo que es cierto es que en cada uno de esos \( \aleph_0 \) subintervalos, existen a su vez \( \aleph_0 \) subintervalos con extremo derecho racional e incluso \( \aleph_1 \) subintervalos con extremo derecho irracional. Por ello, la cardinalidad de \( [0,1] \) es \( \aleph_1 \), ya que \( \aleph_0^{\aleph_0}=\aleph_1 \) y \( \aleph_1^{\aleph_0}=\aleph_1 \), siempre y cuando se admita la hipótesis del continuo generalizada.
Saludos

Esto no lo entiendo muy bien. Bueno, estoy de acuerdo, pero no entiendo porque eso niega lo que digo. Igual sí es cierto que es una forma mejor de decirlo.

un saludo

[feriva]

Entendido esto, ahora hacemos una lista de TODOS los elementos de este conjunto A (tomamos el conjunto A como un todo, como hace Cantor)

$$n=1: 1/2\longrightarrow{\exists{x, x\in{\Bbb R}, x<1/2}}$$
$$n=2: 1/3\longrightarrow{\exists{x, x\in{\Bbb R}, x<1/3}}$$
$$n=3: 1/4\longrightarrow{\exists{x, x\in{\Bbb R}, x<1/4}}$$
...

Con ello entiendo, entonces, que existirá al menos un real $$x$$ que siempre será menor a cualquier elemento de A (y por tanto a cualquier racional posible del segmento [0,1], por lo dicho en el punto 2), y además será mayor que 0. Este real $$x$$ es infinitesimal porque no existe ningún natural que multiplicado por él se acerque a 1.

Hola, RDC.

Lo que estás haciendo es lo que coloquialmente se conoce como “ponerle puertas al campo”.

Siempre existe un “n” porque los naturales, por definición, no tienen límite, pueden ser siempre más grandes; y al hacer eso estás limitando "n".

No hay “punto de conexión”, no hay una barrera fija entre los dos infinitos.

Saludos.

Es lo que hacer Cantor, trabajar con el infinito en acto, es decir, como un conjunto completo.

Cuando Cantor hace lo de la diagonalización toma la lista de "todos los naturales", que obviamente es infinita, y demuestra que existen reales que no se pueden listar. ¿cómo lo demuestra? Pues que para cualquier lista de tamaño "n" siempre habrán reales que no estarán en la lista. Por tanto cuando tengamos toda la lista de los naturales, cuyo tamaño es $$\aleph_0$$, tampoco estarán todos los reales. Y ya está.

Pues aquí lo mismo. Para cualquier elemento del conjunto $$A=\left\{{a_n=\displaystyle\frac{1}{(1+n)}}\right\}$$, siempre habrá un real $$x$$, que no está en el conjunto. Por tanto, cuando consideramos todo el conjunto A, cabe entender que este real $$x$$ no puede ser racional, sino irracional y además, determina un intervalo $$[0,x]$$ de tamaño $$\aleph_1$$ que carece de racionales.

Edito: a este intervalo $$[0,x]$$ lo podemos llamar infinitesimal, porque no existe ningún natural $$n$$ con el que multiplicar cualquiera de los valores de semejante intervalo para acercarse a 1.

Si introduces lo infinitesimales, tienen que ir de la mano de los hipernatuales; si esto es un infinitesimal \( 1/n \), entonces “n” es un hipernatural, un número de “valor infinito” (supongo que algo así sí se puedes definir). Pero no puedes justificar la aparición del hipernatural (y en consecuencia del infinitesimal) diciendo “porque ya no existe ningún natural”, puesto que puedes estar infinitamente sumando naturales y, por la propiedad de cerradura, siempre tendrás un natural.

Saludos

[RDC]

Esto que has comentado ani_pascual sobre que el ínfimo del conjunto A es 0 es importante. Admito que mi idea exige replantearlo.

Según esta propuesta los elementos de un conjunto como A tienden a 0 en la medida que $$n$$ crece, y sin embargo, existíria un ínfimo mayor que 0. Ahora bien, este ínfimo no sería un valor concreto, es decir, un racional preciso. Este ínfimo abstracto sería la idea de que para todo $$n$$ tal que $$a_n=\displaystyle\frac{1}{(n+1)}$$, entonces existe $$x$$ tal que $$0<x<a_n$$, de modo que existe el intervalo continuo $$[0,x]$$ formado, exclusivamente, por irracionales.

O alguna cosa así

[RDC]

Hola feriva

Si introduces lo infinitesimales, tienen que ir de la mano de los hipernatuales; si esto es un infinitesimal \( 1/n \), entonces “n” es un hipernatural, un número de “valor infinito” (supongo que algo así sí se puedes definir). Pero no puedes justificar la aparición del hipernatural (y en consecuencia del infinitesimal) diciendo “porque ya no existe ningún natural”, puesto que puedes estar infinitamente sumando naturales y, por la propiedad de cerradura, siempre tendrás un natural.

Saludos

No, no... $$1/n$$ no es ningún infinitesimal, lo que sería un infinitesimal sería en todo caso el real $$x$$, tal que $$0<x<1/n$$ para $$n$$ cualquier natural.

es el real $$x$$ lo que sería un infinitesimal porque no existe natural alguno que multiplicado por $$x$$ se acerque a 1.

Si $$x<1/n$$, entonces $$x·n<1$$ para cualquier natural $$n$$. Por tanto, $$x$$ es infinitesimal.

[Juan Pablo Sancho]

Si existe el infimo de un conjunto es único aqui no hay salida.