[Juan Pablo Sancho]

Tomémoslo de otra forma.

Tenemos que todo real cumpliría la propiedad arquimediana, según la cual para cualquier real $$x$$ siempre existirá un natural $$n$$ tal que $$n·x\geq{1}$$

Será para cualquier real positivo, si toma \( x=-1 \) no funciona.
Además aquí primero tomas el real y el natural depende del real.

Esto significa,a  fin de cuentas, que cualquier real $$x; x\geq{1/n}$$

No, aquí haces lo contrario el natural depende del real y no al contrario

Intentaré demostrar esta idea por inducción:$$n=1,  a_1=\displaystyle\frac{1}{2}$$
Esto implica que cualquier número real $$x, x<\displaystyle\frac{1}{2}; x·2<1$$

$$n=2,  a_2=\displaystyle\frac{1}{3}$$
Esto implica que cualquier número real $$x, x<\displaystyle\frac{1}{3}; x·3<1$$
...

Por tanto

Para cualquier $$n$$, tenemos que $$a_n=\displaystyle\frac{1}{(1+n)}$$
Esto implica que siempre existirá un número real $$x, x<\displaystyle\frac{1}{(1+n)}; x·(n+1)<1$$

Entendido esto, ahora hacemos una lista de TODOS los elementos de este conjunto A (tomamos el conjunto A como un todo, como hace Cantor)

$$n=1: 1/2\longrightarrow{\exists{x, x\in{\Bbb R}, x<1/2}}$$
$$n=2: 1/3\longrightarrow{\exists{x, x\in{\Bbb R}, x<1/3}}$$
$$n=3: 1/4\longrightarrow{\exists{x, x\in{\Bbb R}, x<1/4}}$$
...

Con ello entiendo, entonces, que existirá al menos un real $$x$$ que siempre será menor a cualquier elemento de A (y por tanto a cualquier racional posible del segmento [0,1], por lo dicho en el punto 2), y además será mayor que 0. Este real $$x$$ es infinitesimal porque no existe ningún natural que multiplicado por él se acerque a 1.

No, para cada natural, si que tienes \( x> 0  \) con \( 0 < x < \dfrac{1}{n} \), pero el infimo de este conjunto es el cero.

Y de hecho, no sólo habría un único real infinitesimal $$x$$ que no estaría en esta lista por ser menor que cualquier racional de A y mayor que 0, sino que habría infinitos.

Yo había dicho que estos infinitos reales infinitesimales formarían un segmento irracional, pero igual a eso no se le podría llamar segmento. No sé.


Un saludo

[ani_pascual]

Hola:

Tomémoslo de otra forma.

Tenemos que todo real cumpliría la propiedad arquimediana, según la cual para cualquier real $$x$$ siempre existirá un natural $$n$$ tal que $$n·x\geq{1}$$

La propiedad arquimediana de los reales lo que afirma es que dado un real arbitrario \( y \) existe un natural \( n \) tal que \( nx>y \), siendo \( x>0 \) un número real fijo.
Si es  \( y\leq 0 \), basta con tomar \( n=1 \). Si es \( y>0 \)  se trata de aplicar que la sucesión \( \left\{\dfrac{1}{m}\right\}_{m\in\mathbb{N}} \) converge a cero y que \( \dfrac{x}{y}>0 \), luego existirá un \( n\in\mathbb{N} \) tal que \( 0<\dfrac{1}{n}<\dfrac{x}{y}\Longrightarrow nx>y \)
Si se considera como número fijo \( x=1>0 \), entonces la propiedad arquimediana quedaría expresada así:
dado un real arbitrario \( y \) existe un natural \( n \) tal que \( n>y \).
Si es  \( y\leq 0 \), basta con tomar \( n=1 \). Si es \( y>0 \)  se trata de aplicar que la sucesión \( \left\{\dfrac{1}{m}\right\}_{m\in\mathbb{N}} \) converge a cero y que \( \dfrac{1}{y}>0 \), luego existirá un \( n\in\mathbb{N} \) tal que \( 0<\dfrac{1}{n}<\dfrac{1}{y}\Longrightarrow n>y \)
Saludos

[ani_pascual]

Hola:

...
Esto significa,a  fin de cuentas, que cualquier real $$x; x\geq{1/n}$$

Mi idea es que existen reales que esto no lo cumplen;

¡Claro! ¡Para un viaje tan corto no eran necesarias tantas alforjas! 
Basta con tomar un \( x<0 \), ya que así, es
\( x<0<\dfrac{1}{n}\, \forall\,n\in\mathbb{N} \), tal y como ha apuntado Juan Pablo Sancho;  y esos negativos que lo incumplen no serían a todos los efectos, números reales infinitesimales.
Saludos

[ani_pascual]

Hola:

...
1) hemos visto que del intervalo [0,1] existe un subconjunto de infinitos racionales que podemos definir como $$A=\left\{{a_n=\displaystyle\frac{1}{(1+n)}}\right\}$$

No están todos los que son. Por ejemplo, \( \dfrac{2n+1}{2n(n+1)}\in(\mathbb{Q}\cap [0,1])\setminus A \)
Añadido
Esto, me parece que ya lo apuntó feriva
Saludos

[feriva]

Entendido esto, ahora hacemos una lista de TODOS los elementos de este conjunto A (tomamos el conjunto A como un todo, como hace Cantor)

$$n=1: 1/2\longrightarrow{\exists{x, x\in{\Bbb R}, x<1/2}}$$
$$n=2: 1/3\longrightarrow{\exists{x, x\in{\Bbb R}, x<1/3}}$$
$$n=3: 1/4\longrightarrow{\exists{x, x\in{\Bbb R}, x<1/4}}$$
...

Con ello entiendo, entonces, que existirá al menos un real $$x$$ que siempre será menor a cualquier elemento de A (y por tanto a cualquier racional posible del segmento [0,1], por lo dicho en el punto 2), y además será mayor que 0. Este real $$x$$ es infinitesimal porque no existe ningún natural que multiplicado por él se acerque a 1.

Hola, RDC.

Lo que estás haciendo es lo que coloquialmente se conoce como “ponerle puertas al campo”.

Siempre existe un “n” porque los naturales, por definición, no tienen límite, pueden ser siempre más grandes; y al hacer eso estás limitando "n".

No hay “punto de conexión”, no hay una barrera fija entre los dos infinitos.

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

Con ello entiendo, entonces, que existirá al menos un real $$x$$ que siempre será menor a cualquier elemento de A (y por tanto a cualquier racional posible del segmento [0,1], por lo dicho en el punto 2), y además será mayor que 0. Este real $$x$$ es infinitesimal porque no existe ningún natural que multiplicado por él se acerque a 1.

Y de hecho, no sólo habría un único real infinitesimal $$x$$ que no estaría en esta lista por ser menor que cualquier racional de A y mayor que 0, sino que habría infinitos.

Yo había dicho que estos infinitos reales infinitesimales formarían un segmento irracional, pero igual a eso no se le podría llamar segmento. No sé.

Como ya ha escrito Juan Pablo Sancho , el único real del intervalo \( [0,1] \) que es menor que todos los elementos de \( A \) es  el \( 0 \), y no está en \( A \)
Saludos 🖐🏻

[RDC]

Hola Juan Pablo Sancho

Será para cualquier real positivo, si toma \( x=-1 \) no funciona.
Además aquí primero tomas el real y el natural depende del real.

Daba por entendido que al decir $$x$$ estamos hablando de cualquier real dentro del intervalo [0,1], por tanto daba ya por supuesto un valor siempre positivo. Editaré el msj para especificarlo

No, aquí haces lo contrario el natural depende del real y no al contrario

No entiendo qué quieres decir.

Mi punto es que para cualquier elemento del conjunto $$A, A=\left\{{a_n=\displaystyle\frac{1}{(1+n)}}\right\}$$, siempre existirà un real $$x$$ tal que $$x<a_n=\displaystyle\frac{1}{(1+n)}$$.

Por tanto: $$0<x<\displaystyle\frac{1}{(1+n)}$$

No, para cada natural, si que tienes \( x> 0  \) con \( 0 < x < \dfrac{1}{n} \), pero el infimo de este conjunto es el cero.

Ya, correcto, el ínfimo será 0. ¿Y?

lo que sabemos es que dado un intervalo cualquiera de la recta real, como [0,1], este puede ser dividido racionalmente en segmentos menores un número $$\aleph_0$$ de veces. Y aún así, después de cada división racional que hagamos obtendremos un intervalo menor cuya cantidad de valores es, siempre, $$aleph _1$$.

Por tanto, $$0<x<\displaystyle\frac{1}{(1+n)}$$, siendo $$x$$ un intervalo de infinitos valores reales incontables no racionales y no un único valor.

[RDC]

Hola ani_pascual.

Hola:

Tomémoslo de otra forma.

Tenemos que todo real cumpliría la propiedad arquimediana, según la cual para cualquier real $$x$$ siempre existirá un natural $$n$$ tal que $$n·x\geq{1}$$

La propiedad arquimediana de los reales lo que afirma es que dado un real arbitrario \( y \) existe un natural \( n \) tal que \( nx>y \), siendo \( x>0 \) un número real fijo.
Si es  \( y\leq 0 \), basta con tomar \( n=1 \). Si es \( y>0 \)  se trata de aplicar que la sucesión \( \left\{\dfrac{1}{m}\right\}_{m\in\mathbb{N}} \) converge a cero y que \( \dfrac{x}{y}>0 \), luego existirá un \( n\in\mathbb{N} \) tal que \( 0<\dfrac{1}{n}<\dfrac{x}{y}\Longrightarrow nx>y \)
Si se considera como número fijo \( x=1>0 \), entonces la propiedad arquimediana quedaría expresada así:
dado un real arbitrario \( y \) existe un natural \( n \) tal que \( n>y \).
Si es  \( y\leq 0 \), basta con tomar \( n=1 \). Si es \( y>0 \)  se trata de aplicar que la sucesión \( \left\{\dfrac{1}{m}\right\}_{m\in\mathbb{N}} \) converge a cero y que \( \dfrac{1}{y}>0 \), luego existirá un \( n\in\mathbb{N} \) tal que \( 0<\dfrac{1}{n}<\dfrac{1}{y}\Longrightarrow n>y \)
Saludos

Que una sucesión puede converger a 0 no implica que no haya números reales menores que cualquiera de los que tenga la sucesión. Por ejemplo, los elementos del el conjunto $$A=\left\{{\displaystyle\frac{1}{(1+n)}}\right\}$$ tienden a 0 cuando $$n$$ es cada vez más grande, pero siempre existirá un real, que no pertenecerá a A, tal que  $$0<x<\displaystyle\frac{1}{(1+n)}$$, ¿o no?

Como he comentado antes, en realidad este real $$x$$ expresa un intervalo de reales no racionales de tamaño $$\aleph_1$$. Sería el intervalo $$[0,x]$$.

[RDC]

Hola ani_pascual.

Hola:

Tomémoslo de otra forma.

Tenemos que todo real cumpliría la propiedad arquimediana, según la cual para cualquier real $$x$$ siempre existirá un natural $$n$$ tal que $$n·x\geq{1}$$

La propiedad arquimediana de los reales lo que afirma es que dado un real arbitrario \( y \) existe un natural \( n \) tal que \( nx>y \), siendo \( x>0 \) un número real fijo.
Si es  \( y\leq 0 \), basta con tomar \( n=1 \). Si es \( y>0 \)  se trata de aplicar que la sucesión \( \left\{\dfrac{1}{m}\right\}_{m\in\mathbb{N}} \) converge a cero y que \( \dfrac{x}{y}>0 \), luego existirá un \( n\in\mathbb{N} \) tal que \( 0<\dfrac{1}{n}<\dfrac{x}{y}\Longrightarrow nx>y \)
Si se considera como número fijo \( x=1>0 \), entonces la propiedad arquimediana quedaría expresada así:
dado un real arbitrario \( y \) existe un natural \( n \) tal que \( n>y \).
Si es  \( y\leq 0 \), basta con tomar \( n=1 \). Si es \( y>0 \)  se trata de aplicar que la sucesión \( \left\{\dfrac{1}{m}\right\}_{m\in\mathbb{N}} \) converge a cero y que \( \dfrac{1}{y}>0 \), luego existirá un \( n\in\mathbb{N} \) tal que \( 0<\dfrac{1}{n}<\dfrac{1}{y}\Longrightarrow n>y \)
Saludos

Que una sucesión puede converger a 0 no implica que no haya números reales menores que cualquiera de los que tenga la sucesión. Por ejemplo, los elementos del el conjunto $$A=\left\{{\displaystyle\frac{1}{(1+n)}}\right\}$$ tienden a 0 cuando $$n$$ es cada vez más grande, pero siempre existirá un real, que no pertenecerá a A, tal que  $$0<x<\displaystyle\frac{1}{(1+n)}$$, ¿o no?

Como he comentado antes, en realidad este real $$x$$ expresa un intervalo de reales no racionales de tamaño $$\aleph_1$$. Sería el intervalo $$[0,x]$$.

Cabe darse cuenta, a demás, que no se puede hacer lo mismo con los irracionales. es decir, tomando el intervalo [0,1], es imposible definir un conjunto de infinitos irracionales del intervalo [0,1], llamado $$B$$, y que podamos garantizar que no existirá otro conjunto de irracionales contendidos en tal intervalo con un número irracional menor a cualquiera de los irracionales que contiene $$B$$. ¿o sí se puede hacer esto?



 

[ani_pascual]

Hola:

...
pero siempre existirá un real, que no pertenecerá a A, tal que  $$0<x<\displaystyle\frac{1}{(1+n)}$$, ¿o no?

Sí, claro.

Como he comentado antes, en realidad este real $$x$$ expresa un intervalo de reales no racionales de tamaño $$\aleph_1$$. Sería el intervalo $$[0,x]$$.

Pero es que ese intervalo no existe, al menos en el modelo estándar. Ten en cuenta, que si \(  x \) es un real mayor que cero, entonces habrá no uno solo sino \( \aleph_0 \) elementos \( a \) de \( A \) tales que \( a<x \)
Saludos