Hola feriva
Hola, RDC.
Tú puedes entender o interpretar lo que quieras, pero lo que define Neumann es eso que he dicho. En pocas palabras es la inclusión de unos conjuntos en otros que van dando los ordinales en orden natural. Es un conjunto de símbolos, no de valores, así que, considerando el infinito actual, no hay ningún problema con la paradoja de Rusell, lo habría si se consideraran valores; es decir, números, no símbolos.
Lo que hace Neumann es:
1. Define los ordinales tal que así:
un ordinal es el conjunto de todos ordinales anteriores. 2. Empieza por el primer ordinal, el conjunto vacío: $$\emptyset$$. Y dice que le podemos atribuir el símbolo 0 si queremos: $$0=\emptyset$$.
3. El segundo ordinal es el conjunto que contiene el primer ordinal: $$\left\{{\emptyset}\right\}$$. Y si queremos lo identificamos con el símbolo 1: $$1=\left\{{\emptyset}\right\}$$.
4.El tercer ordinal es el conjunto de los dos ordinales anteriores: $$\left\{{\emptyset},\left\{{\emptyset}\right\}\right\}$$. Y si queremos lo identificamos con el símbolo 2. $$2=\left\{{\emptyset},\left\{{\emptyset}\right\}\right\}$$
Y así se va repitiendo el proceso indefinidamente para construir todos los ordinales finitos $$n$$. ¿Y qué sucede una vez tienes construidos todos los ordinales finitos $$n$$? Pues, obtienes
el conjunto de todos los naturales, y este
debe ser un ordinal,
¡si es que se pretende que sea realmente un conjunto! Pero no puede ser un ordinal natural, porque si no entramos en contradicción, puesto que ya contiene a TODOS los naturales. Por consiguiente, será un ordinal que no puede ser ningún natural. Es, pues, el primer ordinal transfinito, que simbolizamos o identificamos como $$w$$.
Por tanto $$w$$ simboliza directamente: el conjunto de todos los ordinales finitos naturales. E insisto, no puede ser finito natural, porque él los contiene ya a todos; por tanto es un transfinito.
Visto así es evidente que los símbolos son meramente identificativos, y lo que subyace en el fondo es la idea de poder definir la secuencia de naturales como un conjunto y por tanto, como un agregado de elementos perfectamente coherente y perfecto (que contiene a todos los naturales), porque luego se puede tomar como un elemento de un agregado de elementos mayor. Y así indefinidamente.
Por todo esto, es perfectamente plausible y natural hacer lo siguiente en teoría de conjuntos: - Sea \( r \in [0, 1] \) y su representación decimal sea:
\[ r = 0.d_1 d_2 d_3 \ldots d_i \], donde \( d_i \) es el \( i \)-ésimo dígito decimal de \( r \).
- A partir de $$r=0,d_1d_2d_3...d_i$$ obtenemos la secuencia de dígitos decimales $$d_1,d_2,d_3,...d_i$$, donde \( i \) es la posición de cada cifra de la secuencia:
Entonces:
- Definimos la función \( f \) que toma un número real \( r \) y lo mapea a una secuencia de pares \((i, d_i)\) donde \( i \) pasa a ser un ordinal.
- Definimos una función \( f : [0, 1] \to \alpha \times \{0, 1, 2, \ldots, 9\} \) tal que:
\[
f(r) = \{(i, d_i) : i \in \alpha\}
\]
donde \( \alpha \) es un ordinal transfinito que define el alcance de la secuencia.
Luego:
- Definimos el conjunto \( A \) como el conjunto de todos los pares \((i, d_i)\) para \( i \in \alpha \):
\[
A = \{a_i : i \in \alpha\}
\]
- Donde cada elemento \( a_i \) es un conjunto que contiene dos elementos: el índice \( i \) y el dígito decimal \( d_i \):
\[
a_i = \{i, d_i\}
\]
Pongamos un ejemplo: Supongamos que queremos un número \( r \) cuya secuencia decimal se extiende hasta \(\omega + 10\).
Esta secuencia de dígitos puede ser:
\[
r = 0.d_1 d_2 d_3 \ldots d_\omega d_{\omega+1} \ldots d_{\omega+10}
\]
Por ejemplo:
\[
r = 0.00000 \ldots \underbrace{1111111111}_{\text{10 unos después de \(\omega\)}}
\]
Ahora:
Aplicamos la función \( f \) para mapear \( r \) a una secuencia de pares:
\[
f(r) = \{(i, d_i) : i = \omega + 10\}
\]
Con lo cual:
El conjunto \( A \) correspondiente sería:
\[
A = \{a_i : i = \omega + 10\}
\]
Donde cada \( a_i \) es un conjunto tal que:
\[
a_i = \{i, d_i\}
\]
Ejemplo de los primeros elementos:
\[ a_1 = \{1, 0\}, \, a_2 = \{2, 0\}, \, a_3 = \{3, 0\}, \, \ldots, \, a_\omega = \{\omega, 1\}, \, a_{\omega+1} = \{\omega+1, 1\}, \, \ldots, \, a_{\omega+9} = \{\omega+9, 1\}, a_{\omega+10} = \{\omega+10, 1\}
\]
Este número $$r$$ es más pequeño que cualquier número racional, si entendemos que todo número racional es siempre del tipo $$\displaystyle\frac{m}{10^n}:n,m\in{\Bbb N}$$, pero es más grande que 0. Es claramente un infinitesimal -
no cumple la propiedad arquimedianaVisto esto tenemos que:
$$1/n$$:
$$n=1: 1$$
$$n=2: 0,5$$
$$n=3: 0,33...$$
$$n=7:0,142857142857...$$
Aquí cabe preguntarnos: ¿cuántos decimales tiene $$1/n$$? $$w$$? $$n·w$$?
Dado que el conjunto A de cualquier racional del tipo $$1/n$$ se puede poner en biyección con el ordinal $$w=\left\{{0,1,2,3,4,...}\right\}$$, entonces su tamaño es $$w$$.
Ello implica, pero, que resulta
imposible dividir nuestro $$r$$ del ejemplo por un natural cualquiera, $$n$$, y que dé un valor diferente a 0. Es decir, $$\displaystyle\frac{r = 0.00000 \ldots \underbrace{1111111111}_{\text{10 unos después de \(\omega\)}} }{n}=0$$, por ejemplo $$\displaystyle\frac{ r = 0.00000 \ldots \underbrace{1111111111}_{\text{10 unos después de \(\omega\)}}}{2}=0$$.
Por tanto, se demuestra que cuando tenemos números $$r$$ infinitesimalmente pequeños como, por ejemplo, \[ r = 0.00000 \ldots \underbrace{1111111111}_{\text{10 unos después de \(\omega\)}} \], entonces resulta imposible dividirlos racionalmente, porque racionalmente esos valores tan pequeños son, simplemente, o.
Ejemplo: dado $$r$$ y $$r_2$$, donde $$ r = 0.00000 \ldots 1111111111 $$ y$$r_2=r = 0.00000 \ldots 1111111112$$, existe un intervalo infinitesimal, pero que no puede dividirse racionalmente, porque racionalmente ese intervalo es 0.
Saludos
