Hola,
he editado el msg anterior porque no se publicó bien
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Decía que:
Tomar el 0 o no tomarlo como número natural es a conveniencia. Parece ser que para Cantor le era conveniente tomarlo. Pero en cualquier caso, el conjunto $$\Bbb N_0=\left\{{1,2,3,4,5,...}\right\}$$, el conjunto $$\Bbb N=\left\{{1,2,3,4,5,...}\right\}$$ o el conjunto $$M=\left\{{7,8,9,10,11,...}\right\}$$ tienen, todos ellos el mismo ordinal, $$w$$.
Hola otra vez, RDC.
Apenas estoy empezando a pensar un poco en los transfinitos, pero no creo que Cantor considerara los ordinales transfinitos como números naturales. Él tenía que saber muy bien que los naturales o son pares o son impares y, por tanto, tienen que acabar en ciertas cifras para cumplir eso (si yo me di cuenta hace mucho sin que me lo dijera nadie... imagínate Cantor, que era un genio de las matemáticas, un adelantado a su tiempo). Él simplemente trataba de “naturalizar” los reales.
Feriva, me he perdido: ¿Quien dice que los transfinitos sean como naturales? Todo lo contrario!!
$$\aleph_0$$ significa, simplemente, "
el tamaño de todos los naturales. Nada más. ¿Cuál es ese tamaño? Pues el de todos los naturales, y punto.
Y, ¿qué sabemos de semejante tamaño? Sabemos que el tamaño
de todos los naturales no puede ser ningún natural, porque si lo fuera nos llevaría a una paradoja (contradicción); una paradoja que es
precursora a la de Russell, y nos imposibilitaría hablar del conjunto de los naturales como un objeto matemático bien definido, y por tanto, como elemento, a su vez, de otros conjuntos mayores -
Cantor llamaba a estas secuencias que no pueden ser conjuntos "agrupación inconsistente de elementos".
Por tanto, lo que digo es que la noción de transfinito surge como necesidad lógica de considerar que la secuencia de los naturales se puede concebir como un "todo", como una lista completa, coherente y perfecta de elementos:
ni le falta ni le sobra natural alguno. Sin embargo, es una lista que no se puede contar mediante ningún natural, pero sí puede usarse
como unidad para contar lo transfinito. Sin embargo, esta idea de Cantor acarrea problemas.
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Para entender la idea de dar tamaño a la secuencia de todos los naturales basta con recordar lo que era "el Absoluto" para Hegel: es el Todo, completo y perfecto, pero desplegado de forma iterativa (dinámica) mostrando todas sus posibilidades, que son imposibles de contar una a una (iterativamente).
Fijate que $$\aleph_1$$, que define el tamaño del continuo, es, de hecho, el conjunto potencia de los naturales. Y sin embargo, no puede existir ningún conjunto que su conjunto potencia sea $$\aleph_0$$. Por tanto, visto así parece que $$aleph_0$$ podría actuar como unidad de los transfinitos.
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Demostración:
- Supongamos que existe un conjunto \(A\) tal que \(|\mathcal{P}(A)| = \aleph_0\).
- Por la propiedad del conjunto potencia, si \(A\) tiene cardinalidad finita \(n\), entonces \(|\mathcal{P}(A)| = 2^n\), que es finito.
- Si \(A\) tiene cardinalidad infinita \(\kappa\), entonces \(|\mathcal{P}(A)| = 2^\kappa\). Si \(\kappa = \aleph_0\), entonces \(|\mathcal{P}(\aleph_0)| = 2^{\aleph_0} = \mathfrak{c}\), el cardinal del continuo, que es mayor que \(\aleph_0\).
En resumen, pues, no existe ningún conjunto \(A\) tal que su conjunto potencia tenga cardinalidad \(\aleph_0\). La cardinalidad del conjunto potencia de cualquier conjunto siempre es mayor que la cardinalidad del conjunto original. Por lo tanto, un conjunto \(A\) tal que \(|\mathcal{P}(A)| = \aleph_0\) no puede existir.
Ahora bien, justo aquí entra
la hipótesis del continuo, que si la generalizamos viene a decir: el conjunto potencia de un conjunto de tamaño $$\aleph_n$$ será siempre de tamaño $$\aleph_{n+1}$$, y entre ambos no existe ninguna otra cardinalidad. De algún modo, pues, la hipótesis del continuo es la hipótesis de poder considerar que $$\aleph_0$$ actúa, realmente, la unidad de los transfinitos. Pero ya sabemos que tal hipótesis es completamente independiente de los axiomas ZFC. Por tanto, se puede y no se puede considerar a $$\aleph_0$$ como unidad de los transfinitos; eso dependerá del modelo que desarrollemos.
La frase “todos los naturales” o “todos” los elementos de cualquier conjunto infinito hay que entenderla en su contexto; que Cantor pensara en números transfinitos no implica que pensara en que realmente estuvieran “todos” ahí como en una estantería literalmente. Aunque es verdad que no sé exactamente la visión que tenía, no estoy en su cabeza.
No estoy de acuerdo. Precisamente significa que están todos. Lo que ocurre es que eso genera una lista de elementos que no se puede contar mediante ningún natural. La única forma de contarla es mediante la propia lista de todos los naturales, que por definición, se toma como un transfinito.
El asunto es más fácil de ver con al idea de Paul Newman (o como se llamara de nombre, que no me sale ahora) que es la que puse
{0} ordinal con cardinal 1; lo incluimos y tenemos el siguiente ordinal
{0,1} ordinal con cardinal 2; lo incluimos y obtenemos el siguiente ordinal
{0,1,2}
etc.
Hay un primer ordinal bien definido, un segundo, un tercero... Un buen orden, como el de los naturales, con un mínimo. Y es como inductivo: con un siguiente, el siguiente del siguiente... Pero en vez de ir sumando 1 tal cual, va incluyendo un conjunto dentro de otro. Porque Peano trabaja con valores y ahí no va a poder sumar 1 a un número límite, porque, en todo caso, de considerarlo, la suma se quedaría igual, n=n+1, y desparecería la inducción.
Hasta ahí, hasta lo finito, los conjuntos son cardinales de números naturales. Pero ahora se piensa en “todos” y se ponen unos puntos suspensivos:
{0,1,2, 3...}
Y eso, desde antiguo, “vale” infinito, hay infinitos elementos.
{0,1,2, 3...} “aquí hay \( \infty \) números”.
De toda la vida; y ningún matemático hablaba de cuándo los había ni de dónde estaban los infinitos números.
Tampoco decían que hubiera un número ahí dentro que valiera infinito, sino que el cardinal era infinito.
No lo entiendo así. En teoría de conjuntos ya casi que no existe la vieja idea de tratar secuencias indefinidas como de "infinitos elementos". La noción de infinito pasa a ser muy "bruta", "miope", muy secundaria. Por eso decía que la noción de límite sería, para la teoría de conjuntos, una herramienta muy tosca. Aunque eso no quita que no sea lo más útil que tenemos por el momento.
Lo que te dice Von Newman es que una vez tienes, por inducción, el conjunto de todos los naturales, ese conjunto tiene un orden que no puede ser ya ningún natural (por lo dicho antes). Es un orden que debemos identificar, pues, como el primer orden transfinito, $$w$$. Y luego, si seguimos la inducción tenemos otro conjunto con un orden $$w+1$$, y proseguimos...
Por eso he dicho que en teoría de conjuntos, siendo rigurosos, no es que haya infinitos mayores que otros es que el infinito queda completamente relegado, especialmente en la propia teoría que desarrolla Von Newman (que, a mí parecer, entendió bastante bien todo esto, por eso pudo hacer todo lo que hizo).
Y ahora llega un hombre muy razonable y piensa que si ahí hay símbolos numéricos de 1 cifra, de 2 cifras... al haber infinitos símbolos numéricos, tiene que haber un primer símbolo numérico de infinitas cifras; aunque no sea un número natural. Porque si no, no podemos decir que hay infinitos símbolos de una base numérica. Es decir, el “pecado”, si acaso, está antes de afirmar eso, existe ya al decir que ahí hay infinitos números, es previo a Cantor.
[\quote]
Es que $$\aleph_0$$ no significa que un conjunto tenga infinitos elementos, así tal cual y a lo bruto 
, sino más bien que un conjunto tiene el tamaño de los naturales y los naturales son una lista completa con todos los naturales que puede haber: ni falta ni sobra ningún natural. No es pues, una mera situación simbólica. Hay toda una cosmovisión detrás.
[\quote]
Porque Cantor, recogiendo la idea de sus antepasados, tiene todo el derecho del mundo a escribir
\( card\{0,1,2,3...\}=card\{\infty\} \).
Fíjate bien en lo que pasa. El 1 está representado por el 0, el 2 por 1... o sea, cada símbolo numérico está representando a “n” con el símbolo de “n-1”. Por tanto, el primer símbolo de infinitas cifras sería n=\infty, que no esta ahí dentro. Entonces, lo metemos, porque es el siguiente símbolo numérico
\( ordinal\{0,1,2,3...\infty\}=ordinal\,\{\infty+1\} \).
Técnicamente el símbolo $$\infty$$ significa que una secuencia de valores, o iteraciones, no termina nunca; no tiene un último elemento. En cambio $$\aleph_0$$ significa algo muy diferente, aunque complementario en el fondo. Significa que tienes desplegada una secuencia, que si bien no tiene un último valor, este despliegue representa todos los valores posibles de la serie; no le falta ni le sobra ninguno. ¿Es una forma de concebirlo muy diferente, no?
Nadie dice que sea un número natural. Lo que pretende Cantor con esto es ver si de este modo, generando ordinales transfinitos (lícitamente, sin decir que existe un unicorinio porque sí), va a tener símbolos para etiquetar todos los puntos de la recta, no dice nada de que sean naturales. Tienen una construcción natural, pero no dice que sean naturales.
La idea del infinito actual sí aparece, porque no podemos llegar nunca a escribir un número de infinitas cifras; es una idea que Cantor recoge como herencia y la hace suya, no la inventa. Y, por supuesto, claro que tiene que ver en buena parte con el acervo religioso del ser humano (ya no tanto, pero en época de Cantor sí). ¿Crees que la letra omega es por casualidad? Quizá sí, quizá no. El Alfa y la Omega (lo primero y lo último) representa a Dios en las religiones cristianas, y eso lo sabía muy bien Cantor. (Apocalipsis 1:8).
Los matemáticos atan cabos, como los policías cuando investigan, los matemáticos descubren y también inventan para descubrir. Y quizá algunos filósofos lo hagan o lo hayan hecho (no te digo que no, porque no tengo ni idea, menos que de matemáticas) pero la mayoría de la gente no cataloga ese tipo de actividad como la propia de los filósofos.
La idea de tratar una secuencia infinita "en acto" obviamente es una idea anterior a Cantor (de hecho la encontramos de forma preliminar ya en Spinoza y Leibniz, o Parménides); y en Hegel es clarísima con lo del Absoluto. Cantor simplemente la introduce en esas matemáticas que unos cuantos están desarrollando a mediados del s.XIX.
De hecho, como ya he dicho, Leibniz ya la tantea de forma descarada con su famosa serie inifnita:
$$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty{\displaystyle\frac{(-1)^n}{2n+1}}=\displaystyle\frac{\pi}{4}$$
Para Leibniz esta serie se puede desplegar en acto y entonces su valor es $$\displaystyle\frac{\pi}{4}$$.
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De hecho, su visión de Dios era que Dios no es la causa primera que se encuentra al infinito de la cadena de todas las causas posibles, como se defendía tradicionalmente, acaso Aristóteles, Santo Tomas de Aquino o Descartes, sino que Dios es, precisamente, toda la cadena infinita de causas.
Saludos
