[RDC]

Hola Luis

El menor estricto te lo inventas. ¿Dónde ves el en Teorema 2.3 qué diga algo de un menor estricto? Del Teorema 2.3 con ese argumento sólo puedes deducir que \( \epsilon_2\leq \epsilon_1 \).

No es que me lo invente, tal cual, sino que interpreto que el teorema plantea diferentes posibilidades, lo que pasa es que lo simplifica en una única expresión para no dilatar el enunciado (En realidad no especifica nada en contra de esta interpretación que hago). Y entiendo que estas posibilidades son 4:

1) $$a_i<a'_i$$ y $$b_j<b'_j$$, entonces entiendo que $$\left\{{A|B}\right\}<\left\{{A'|B'}\right\}$$

2) $$a_i=a'_i$$ y $$b_j<b'_j$$, entonces entiendo que $$\left\{{A|B}\right\}<\left\{{A'|B'}\right\}$$ (este es nuestro caso)

3)1) $$a_i=a'_i$$ y $$b_j=b'_j$$, entonces entiendo que $$\left\{{A|B}\right\}=\left\{{A'|B'}\right\}$$

4)1) $$a_i<a'_i$$ y $$b_j=b'_j$$, entonces entiendo que $$\left\{{A|B}\right\}<\left\{{A'|B'}\right\}$$


Por otro lado, tenemos que la demostración de geometracat era esta:

Spoiler

Sí, bastante seguro. A ver, la idea de los surreales es muy sencilla. Se construyen iterativamente como \( x=\{X_L | X_R \} \) a partir de dos conjuntos de surreales ya definidos \( X_L, X_R \) que deben cumplir que \( y<z \) para todo \( y \in X_L \) y \( z \in X_R \). La idea es entonces que \( x=\{X_L | X_R \} \) es un nuevo número que está estrictamente comprendido entre todos los números de \( X_L \) y todos los de \( X_R \).

Además, se define una relación de orden: \( x = \{X_L | X_R\} \) es menor o igual que \( y = \{ Y_L | Y_R \} \) si y solo si \( a < y \) para todo \( a \in X_L \) y \( x<b \) para todo \( b \in Y_R \).

Si defines:
$$\epsilon_1=\left\{{0|\left\{{1/n:n\in{\Bbb N}}\right\}}\right\}$$
$$\epsilon_2=\left\{{0|\left\{{\displaystyle\frac{\pi-3}{n}:n\in{\Bbb N}}\right\}}\right\}$$
puedes ver que con la definición anterior \( \epsilon_1 \leq \epsilon_2 \) y \( \epsilon_2 \leq \epsilon_1 \), luego \( \epsilon_1 = \epsilon_2 \).

En efecto, por ejemplo para ver que \( \epsilon_1 \leq \epsilon_2 \) hay que ver por la definición que \( 0 < \epsilon_2 \) (que lo es por construcción, porque \( \epsilon_2 \) es estrictamente mayor que cualquier elemento de su conjunto izquierdo) y que \( \epsilon_1 < \frac{\pi-3}{n} \) para todo \( n \). Pero esto último se sigue de que \( \epsilon_1 < 1/m \) para todo \( m \) natural (pues es menor que todos los elementos de su conjunto derecho) y de que existe un \( m \) tal que \( 1/m < \frac{\pi-3}{n} \).

Análogamente se ve que \( \epsilon_2 \leq \epsilon_1 \).

[cerrar]

Aquí tengo mis dudas, porque geometracat se basa en una idea que rompe, precisamente, este teorema cuando dice que si  $$a_i=\displaystyle\frac{\pi-3}{n}:n\in{\Bbb N}$$ y $$a'_i=1/n:n\in{\Bbb N}$$, entonces, aún siendo cierto que para todo $$a_i<a'_i$$, siempre existirá un $$m\in{\Bbb N}: m>i$$ tal que $$a_m>a'_i$$. Y, entonces, de esto saca la conclusión de que estamos ante el mismo número surreal.

Pero, ¿acaso esto no se lo inventa geometracat sin más?

De hecho me parece que semejante razonamiento no atiende al teorema 2.3, pero como es un razonamiento típico del modelo estandar, quizás parezca obvio. Sin embargo yo no lo veo dentro de los surreales, porque la noción de límite no tiene sentido. Aquí todos los elementos estan especificados bajo la teoria de conjuntos. De hecho, no hay infinitos, hay ordinales transfirnitos.

Es más, afirmo que este argumento de geometracat no se puede emplar aquí porque con este argumento se "demuestra" que entre 0 y el conjunto de todos los elementos de $$a_i$$ no existe ningún otro elemento; del mismo modos que entre 0 y el conjunto de todos los elementos de $$a'_i$$ tampoco existe ningún otro elemento. Pero en el modelo de los surreales esto es falso, de modo que, entiendo, que ese argumento no se puede aplicar en los surreales para demostrar nada.

No. El "número" de elementos es el CARDINAL de los naturales, \( \aleph_0 \) si quieres.

No estoy de acuerdo. Veo que en los surreales se trabaja directamente con los ordinales transfinitos, y con ello, se engloba indirectamente también a los cardinales. Esto se explica en el tema 5, pagina 43-44 del pdf.

Tenemos que $$w=\left\{{\Bbb N|}\right\}$$. Y está especificado que este surreal $$w$$ es el primer ordinal transfinito.

Luego podemos generar el $$w+1=\left\{{w|}\right\}$$

O podemos generar el $$w-1=\left\{{\Bbb N|w}\right\}$$

Y aquí rectifico, porque afirmé que $$w-1$$ sería el último natural. No es cierto $$w-1$$ es el primer número surreal entre todos los naturales y el primer ordinal transfinito.

Esto ya no tiene sentido ninguno. Los conjuntos \( B \) y \( B' \) son respectivamente:

\( B=\{(\pi-3)/n:n\in \Bbb N\} \) es decir sus elementos son \( b_j=(\pi-3)/j \) con \( j \) un número natural.

\( B'=\{1/n:n\in \Bbb N\} \) es decir sus elementos son \( b'_j=1/j \) con \( j \) un número natural.

\( j=w-1 \) no es un número natural y no tiene sentido hablar de \( b_{w-1},b'_{w-1} \) porque no están definidos, no pertenecen a los conjuntos anteriores.

Menos aún hacer demostración alguna por inducción de que propiedades pueden tener, porque simplemente no son elementos de \( B,B' \) no están definidos (tampoco se podría usar inducción, pero eso es otra historia).

A partir de aquí todo es "ciencia"-ficción.

Sí, eso estaba mal.

Pero la cuestión es que si $$a_i<a'_i$$, entonces esta relación la respetarán todos los elementos de A y de A'. Esto significa que el conjunto de todos los elementos de A genera un número más pequeño que el conjunto de todos los elementos de A' cuando $$\left\{{0|A}\right\}$$ y $$\left\{{0|A'}\right\}$$. Y entiendo que esto, precisamente, es lo que expresa el teorema 2.3, auqnue luego no podamos transformarlo en el teorema 2.9 porque ambos conjuntos carecen de un último elemento mínimo.

Saludos

[feriva]

No. El "número" de elementos es el CARDINAL de los naturales, \( \aleph_0 \) si quieres.

No estoy de acuerdo. Veo que en los surreales se trabaja directamente con los ordinales transfinitos, y con ello, se engloba indirectamente también a los cardinales. Esto se explica en el tema 5, pagina 43-44 del pdf.

El cardinal de \( \omega  \), o de \( \omega+1  \)... o de \( 2\omega  \)... o de \( \omega^{\omega}  \)... es el de los naturales en todos los casos, porque los pasos son numerables en la construcción.

Saludos.

[geómetracat]

Después de este mensaje ya me queda definitivamente claro (por si no quedaba antes) de que es imposible cualquier conversación matemática.

No es que me lo invente, tal cual, sino que interpreto que el teorema plantea diferentes posibilidades, lo que pasa es que lo simplifica en una única expresión para no dilatar el enunciado (En realidad no especifica nada en contra de esta interpretación que hago). Y entiendo que estas posibilidades son 4:

1) $$a_i<a'_i$$ y $$b_j<b'_j$$, entonces entiendo que $$\left\{{A|B}\right\}<\left\{{A'|B'}\right\}$$

2) $$a_i=a'_i$$ y $$b_j<b'_j$$, entonces entiendo que $$\left\{{A|B}\right\}<\left\{{A'|B'}\right\}$$ (este es nuestro caso)

3)1) $$a_i=a'_i$$ y $$b_j=b'_j$$, entonces entiendo que $$\left\{{A|B}\right\}=\left\{{A'|B'}\right\}$$

4)1) $$a_i<a'_i$$ y $$b_j=b'_j$$, entonces entiendo que $$\left\{{A|B}\right\}<\left\{{A'|B'}\right\}$$

Eso es inventarte el teorema. Los teoremas no se "interpretan" en matemáticas, el teorema dice una cosa muy concreta, y tiene una conclusión muy concreta, con un menor o igual. Te puedes preguntar si valdría el mismo teorema con el menor estricto (respuesta: NO, es falso, y si sigues la demostración verás que es imposible llegar a tal conclusión), pero nunca, en ningún caso, "interpretar" (es decir, inventarte) lo que dice el enunciado de un teorema según tus intereses. En matemáticas los teoremas afirman lo que afirman y no otras cosas, no hay lugar a interpretaciones.

Por otro lado, tenemos que la demostración de geometracat era esta:

Spoiler

Sí, bastante seguro. A ver, la idea de los surreales es muy sencilla. Se construyen iterativamente como \( x=\{X_L | X_R \} \) a partir de dos conjuntos de surreales ya definidos \( X_L, X_R \) que deben cumplir que \( y<z \) para todo \( y \in X_L \) y \( z \in X_R \). La idea es entonces que \( x=\{X_L | X_R \} \) es un nuevo número que está estrictamente comprendido entre todos los números de \( X_L \) y todos los de \( X_R \).

Además, se define una relación de orden: \( x = \{X_L | X_R\} \) es menor o igual que \( y = \{ Y_L | Y_R \} \) si y solo si \( a < y \) para todo \( a \in X_L \) y \( x<b \) para todo \( b \in Y_R \).

Si defines:
$$\epsilon_1=\left\{{0|\left\{{1/n:n\in{\Bbb N}}\right\}}\right\}$$
$$\epsilon_2=\left\{{0|\left\{{\displaystyle\frac{\pi-3}{n}:n\in{\Bbb N}}\right\}}\right\}$$
puedes ver que con la definición anterior \( \epsilon_1 \leq \epsilon_2 \) y \( \epsilon_2 \leq \epsilon_1 \), luego \( \epsilon_1 = \epsilon_2 \).

En efecto, por ejemplo para ver que \( \epsilon_1 \leq \epsilon_2 \) hay que ver por la definición que \( 0 < \epsilon_2 \) (que lo es por construcción, porque \( \epsilon_2 \) es estrictamente mayor que cualquier elemento de su conjunto izquierdo) y que \( \epsilon_1 < \frac{\pi-3}{n} \) para todo \( n \). Pero esto último se sigue de que \( \epsilon_1 < 1/m \) para todo \( m \) natural (pues es menor que todos los elementos de su conjunto derecho) y de que existe un \( m \) tal que \( 1/m < \frac{\pi-3}{n} \).

Análogamente se ve que \( \epsilon_2 \leq \epsilon_1 \).

[cerrar]

Aquí tengo mis dudas, porque geometracat se basa en una idea que rompe, precisamente, este teorema cuando dice que si  $$a_i=\displaystyle\frac{\pi-3}{n}:n\in{\Bbb N}$$ y $$a'_i=1/n:n\in{\Bbb N}$$, entonces, aún siendo cierto que para todo $$a_i<a'_i$$, siempre existirá un $$m\in{\Bbb N}: m>i$$ tal que $$a_m>a'_i$$. Y, entonces, de esto saca la conclusión de que estamos ante el mismo número surreal.

Pero, ¿acaso esto no se lo inventa geometracat sin más?

No, me baso exclusivamente en las definiciones de menor o igual de números surreales que da Conway (en realidad, una variante que vale si los conjuntos son no vacíos, como es el caso). Eso no contradice en nada el teorema. Para contradecir el teorema tendrías que tener dos números surreales \( \{A|B\} \) y \( \{A'|B'\} \), con \( A, A' \) mismo número de elementos y \( a_i\leq a_i' \) para toda \( i \), \( B,B' \) con mismo número de elementos y \( b_i\leq b_i' \) para toda \( i \), pero sin embargo \( \{A|B\} > \{A'|B'\} \) (con mayor estricto). Por lo tanto, difícilmente puede mi argumento contradecir el teorema cuando en mi argumento nunca llego a una conclusión con una desigualdad estricta. Esto lo recalco porque es importante: incluso aunque mi argumento estuviera mal, no contradeciría al teorema.

De hecho me parece que semejante razonamiento no atiende al teorema 2.3, pero como es un razonamiento típico del modelo estandar, quizás parezca obvio. Sin embargo yo no lo veo dentro de los surreales, porque la noción de límite no tiene sentido. Aquí todos los elementos estan especificados bajo la teoria de conjuntos. De hecho, no hay infinitos, hay ordinales transfirnitos.

No es ningún razonamiento del modelo estándar (de los reales, entiendo que quieres decir). Cómo va a ser un razonamiento estándar si estoy hablando de infinitesimales (\( \epsilon_1 \) y \( \epsilon_2 \), al margen de que sean iguales o no, son números comprendidos estrictamente entre \( 0 \) y todos los \( 1/n \) con \( n \in \Bbb N \)). Tampoco uso en ningún momento la noción de límite, ni cardinales, ni ordinales, ni nada del estilo. Si crees eso es que no estás entendiendo nada de mi argumento.

Es más, afirmo que este argumento de geometracat no se puede emplar aquí porque con este argumento se "demuestra" que entre 0 y el conjunto de todos los elementos de $$a_i$$ no existe ningún otro elemento; del mismo modos que entre 0 y el conjunto de todos los elementos de $$a'_i$$ tampoco existe ningún otro elemento. Pero en el modelo de los surreales esto es falso, de modo que, entiendo, que ese argumento no se puede aplicar en los surreales para demostrar nada.

Esto no sé de dónde lo sacas. De mi argumento lo único que se deduce es que \( \epsilon_1 = \epsilon_2 \), pero claro que entre \( 0 \) y el conjunto \( \{1/n : n \in \Bbb N\} \) hay (infinitos) números surreales. ¡El propio \( \epsilon_1 \) es uno de ellos! Y tienes muchos (infinitos) más: \( \{0|\epsilon_1\} \), \( \{\epsilon_1|\{1/n: n \in \Bbb N\} \), etc.

De tus críticas a mi argumento lo único que veo es que no entiendes absolutamente nada de él.

No. El "número" de elementos es el CARDINAL de los naturales, \( \aleph_0 \) si quieres.

No estoy de acuerdo. Veo que en los surreales se trabaja directamente con los ordinales transfinitos, y con ello, se engloba indirectamente también a los cardinales. Esto se explica en el tema 5, pagina 43-44 del pdf.

Sí, pero cuando en el enunciado del teorema habla del "número de elementos" se está refiriendo a los cardinales del conjunto que aparece en la definición de los números surreales. Que esos cardinales se puedan interpretar a su vez como otros números surreales es cierto pero irrelevante.

Tenemos que $$w=\left\{{\Bbb N|}\right\}$$. Y está especificado que este surreal $$w$$ es el primer ordinal transfinito.

Luego podemos generar el $$w+1=\left\{{w|}\right\}$$

O podemos generar el $$w-1=\left\{{\Bbb N|w}\right\}$$

Y aquí rectifico, porque afirmé que $$w-1$$ sería el último natural. No es cierto $$w-1$$ es el primer número surreal entre todos los naturales y el primer ordinal transfinito.

Pues te va a tocar rectificar otra vez: no hay "primer número surreal entre todos los naturales y el primer ordinal transfinito". ¿Qué pasa con \( \omega - 2 = \{\Bbb N| \omega -1\} \)? Y de forma similar puedes obtener \( \omega-n \) para todo \( n \in \Bbb N \). Y es más, supón que hay un primer número surreal, digamos \( \alpha \), tal que \( \alpha>n \) para todo \( n \in \Bbb N \). Define \( \beta := \{ \Bbb N | \alpha\} \) y ya tienes un número surreal estrictamente mayor que todos los naturales pero menor que el supuesto "primero número mayor que todos los naturales". Conclusión: no existe tal primer número.

Pero la cuestión es que si $$a_i<a'_i$$, entonces esta relación la respetarán todos los elementos de A y de A'. Esto significa que el conjunto de todos los elementos de A genera un número más pequeño que el conjunto de todos los elementos de A' cuando $$\left\{{0|A}\right\}$$ y $$\left\{{0|A'}\right\}$$. Y entiendo que esto, precisamente, es lo que expresa el teorema 2.3, auqnue luego no podamos transformarlo en el teorema 2.9 porque ambos conjuntos carecen de un último elemento mínimo.

Pues entiendes mal, porque como ha venido siendo habitual en este hilo, cuando lees no lees lo que pone, sino lo que quieres leer.

En fin, es tan evidente que no entiendes los argumentos matemáticos y que además no los quieres entender, ni vas a hacer ningún esfuerzo por entenderlos, que no creo que tenga mucho sentido seguir replicando a este hilo ad infinitum.

PD: Después de este hilo empiezo a creer que Carlos Ivorra tenía razón cuando dijo aquello de que, al menos en muchos casos, estudiar filosofía te incapacita para las matemáticas.

[Luis Fuentes]

Hola

 Sinceramente RDC no se que sentido tiene seguir con esto si, al menos en este hilo, eres incapaz de entender correctamente un enunciado sencillo de una proposición; si no pareces poder distinguir lo que es una mera afirmación subjetiva de, una objetiva; si cometes aberrraciones lógicas bastante gruesas sin pestañear. Y lo que es peor no muestras ningún síntoma de autocrítica, de querer aprender, diría de prudencia intelectual (estoy contradiciendo afirmaciones aceptadas por la matemática; y, caramba, seis o siete personas que participan activamente en un foro de matemáticas me dicen que esto es así y no como yo digo: me lo voy pensar de verdad; voy a ESTUDIAR un poco sobre el tema).

 ¿De qué vale que yo u otro te escribamos demostraciones de un resultado si no eres capaz de entenderlas ni siquiera en sus pasos más sencillos? Ojo, porque en ese caso podrías preguntar para que las aclarasen. Pero las niegas con afirmaciones totalmente gratuitas, fundamentadas en NADA (todavía no sé, si conscientemente o no).

 Tu puedes pensar que no: que estamos todos equivocados, los del foro y la matemática oficial. Y que tú llevas razón. Suerte con ello.

 Dicho esto si voy a responder a tu último mensaje, aunque con poca o nula esperanza de que sirva para algo.

No es que me lo invente, tal cual, sino que interpreto que el teorema plantea diferentes posibilidades, lo que pasa es que lo simplifica en una única expresión para no dilatar el enunciado (En realidad no especifica nada en contra de esta interpretación que hago). Y entiendo que estas posibilidades son 4:

Si, si. Lo inventas. No hay vuelta de hoja. Si una conclusión dice \( A\leq B \) y tu simplemente basándote en el teorema concluyes que \( A<B \). Inventas. Punto.

1) $$a_i<a'_i$$ y $$b_j<b'_j$$, entonces entiendo que $$\left\{{A|B}\right\}<\left\{{A'|B'}\right\}$$

2) $$a_i=a'_i$$ y $$b_j<b'_j$$, entonces entiendo que $$\left\{{A|B}\right\}<\left\{{A'|B'}\right\}$$ (este es nuestro caso)

3)1) $$a_i=a'_i$$ y $$b_j=b'_j$$, entonces entiendo que $$\left\{{A|B}\right\}=\left\{{A'|B'}\right\}$$

4)1) $$a_i<a'_i$$ y $$b_j=b'_j$$, entonces entiendo que $$\left\{{A|B}\right\}<\left\{{A'|B'}\right\}$$

Tu entenderás cualquier cosa. Pero no es lo que dice.

Lo tendrías tan fácil como revisar la demostración del teorema y mostrar que en los casos que indicas esa demostración sirve para probar lo que afirmas. Pero es absurdo pedirte eso por los motivos que indiqué al principio del hilo; no pareces ser capaz de entender una demostración; y muchos menos de hacer razonamientos coherentes para desarrollar una propia. Así que probablemente lo que escribirías sería una serie de afirmaciones gratuitas hasta tu gratuita conclusión final.

Ah y no quiero dejar pasar esta frase:

En realidad no especifica nada en contra de esta interpretación que hago

que es una de esas aberraciones lógicas que comentaba al principio y que haces frecuentemente.

Si un Teorema no especifica nada en contra de una afirmación, para ti parece que automáticamente esta es cierta.

Como el Teorema no especifica nada en contra de que \( 0=2 \), pues \( 0=2 \).
Como el Teorema no especifica nada en contra de que \( (x+y)^2=x^2+y^2 \), pues sea ,\( (x+y)^2=x^2+y^2 \).
Como el Teorema no especifica nada en contra de que \( 1/1=666 \) (el número de la bestia), pues sea, \( 1/1=666 \).
Y ya puestos como el Teorema no especifica nada en contra de \( \left\{{A|B}\right\}=\left\{{A'|B'}\right\} \), pues se tiene la igualdad por narices.

Una ultima curiosidad para ver si te hace reflexionar y replantearte tus invenciones ("interpretaciones" como dices tú):

Spoiler

Con tu "interpretación" del Teorema 2.3 y el Teorema 2.9 se puede llegar a la curiosa conclusión de que \( A<A \) con \( A=\{0|\{1/n:n\in \Bbb n\}\} \).

Por el teorema 2.9:

\( A=\{0|\{1/n:n\in \Bbb N\}\}=\{0|\{1/(n+1):n\in \Bbb N\}=B \)

ya que en \( B \) respecto a \( A \) simplemente hemos quitado del conjunto de la derecha \( \{1/n:n\in \Bbb N\} \) el \( 1 \), que es su mayor valor.

Ahora tenemos que \( A=\{0|\{a_n|n\in \Bbb n\}\} \) y \( B=\{0|\{b_n|n\in \Bbb n\}\} \) con \( a_n=1/n \) y \( b_n=1/(n+1) \)

Se tiene que:

\( 0=0 \) y \( b_n<a_n \) para todo \( n\in \Bbb N \)

luego según tú "interpretación" del Teorema 2.3 se deduce que \( B<A \).

Pero por el Teorema 2.9 teníamos que \( A=B \). Así que tenemos que \( A<A \). 

[cerrar]

Saludos.

[RDC]

No. El "número" de elementos es el CARDINAL de los naturales, \( \aleph_0 \) si quieres.

No estoy de acuerdo. Veo que en los surreales se trabaja directamente con los ordinales transfinitos, y con ello, se engloba indirectamente también a los cardinales. Esto se explica en el tema 5, pagina 43-44 del pdf.

El cardinal de \( \omega  \), o de \( \omega+1  \)... o de \( 2\omega  \)... o de \( \omega^{\omega}  \)... es el de los naturales en todos los casos, porque los pasos son numerables en la construcción.

Saludos.

Hola feriva, en principio al diferencia entre cardinales y ordinales parece ser, que los cardinales transfinitos se enfocan en la cantidad de elementos en conjuntos infinitos, mientras que los ordinales transfinitos se enfocan en la posición y el orden dentro de secuencias bien ordenadas.

En otras palabras: Los ordinales transfinitos extienden el concepto de orden de los números naturales a secuencias bien ordenadas infinitas. Es decir, representan posiciones o índices en una secuencia bien ordenada.

En este sentido, parece ser que lo correcto es tratar las secuencias de elementos de un conjunto mediante ordinales y no cardinalidades. En tal caso, tendrás las secuencias de un número finito, $$n$$, de elementos. Pero luego tendrás ya las secuencias de $$w$$ elementos (el mismo número de elementos que la secuencia de todos los naturales). Y también tendrás las secuencias de $$w+n$$ elementos (secuencias con más elementos que todos los naturales). Y aún así, todas estas secuencias expresan conjuntos con la misma cardinalidad: $$\aleph_0$$. ¿Por qué? Porque la diferencia de un número finito de elementos no cambia la cardinalidad de un conjunto infinito, dado que si se cambia el orden de los elementos entonces ya se peude establecer una biyección.

Por ejemplo:

El conjunto $$\Bbb N=\left\{{0,1,2,3,4,5,...}\right\}$$ es una secuencia de números que tiene por cardinal $$\aleph_0$$ y ordinal $$w$$, siendo $$w$$ el primer ordinal transfinito.

El conjunto $$\left\{{2^n:n\in{\Bbb N}}\right\}$$ también tiene de cardinal $$\aleph_0$$ y de ordinal $$w$$, porque hay una relación biyectiva estricta entre sus elementos y los de $$\Bbb N$$.

Pero el conjunto $$\left\{{0,1,2,3,4,5,...,w}\right\}$$ tiene por ordinal $$w+1$$, al igual que el conjunto $$\left\{{1,2,3,4,5,...,0}\right\}$$. Ambos conjuntos tienen todos los elementos de los naturales más uno más. Es decir, si se intentan poner los elementos de este conjunto en relación biyectiva siguiendo el orden de los naturales sobra uno. Sin embargo, este conjunto también tiene por cardinal $$\aleph_0$$, porque la diferencia entre los dos ordinales solo es de 1, y por un único elemento la cardinalidad de un conjunto no cambia a una cardinalidad mayor.

Dicho esto, entonces, cabe preguntarse:
Si el ordinal sirve para medir el orden de una secuencia de elementos de un conjunto, ¿acaso se podrá emplear, también, para medir el orden de una cadena de infinitas cifras?

Parece ser factible usar el ordinal transfinito para tratar cadenas de infinitas cifras si éstas se pueden representar como $$a_1,a_2,a_3,a_4,...a_i$$, donde cada $$a_i$$ es la posición que ocupa cada una de las cifras dentro de la cadena. Y si podemos hacer esto con cadenas de infinitas cifras, entonces, lo podemos hacer con las cadenas de infinitos decimales de los números que pertenecen al intervalo [0.1]:

Spoiler

Podemos tomar un número $$r:r\in{[0,1]}$$, por ejemplo $$r=0,43457$$, y su parte decimal convertirla en una cadena de cifras tal que:
$$a_1=4$$
$$a_2=3$$
$$a_3=4$$
$$a_4=5$$
$$a_5=7$$

Y luego podemos generar el conjunto $$C_r=\left\{{\textrm{el conjunto de todas las cifras del elemento r}}\right\}$$, por ejemplo de tal modo:
$$C_r=\left\{{\left\{{i, a_i}\right\}}\right\}$$

Por tanto: $$C_r=\left\{{\left\{{1,4}\right\},\left\{{2,3}\right\},\left\{{3,4}\right\},\left\{{4,5}\right\},\left\{{5,7}\right\}}\right\}$$

La variable $$i$$ representa, pues, el ordinal de la secuencia de elementos del conjunto $$C_r$$, y por tanto de la cadena de dígitos de $$r$$.

[cerrar]

Si todo esto es correcto, entonces podemos tener un número $$r$$ tal que $$C_r$$ tenga por ordinal $$i=w$$. En tal caso tendrá el mismo número de elementos que $$\Bbb N$$. POr ejemplo el número $$r=\pi-3$$. Pero también podemos pensar que existirá un $$r$$ tal que $$C_r$$ tenga por ordinal $$w+10^100$$.

Además, que este $$r$$ sea dle tipo:

Si $$i\leq{w}\longrightarrow{a_i=0}$$

Si $$i>w\longrightarrow{a_i>0}$$

Este número $$r$$ mostrará sólo ceros en sus $$n$$ cifras primeras, y sin embargo, claramente, $$r>0$$. De hecho será un número infinitesimal porque $$n·r<<1$$.



Sobre ello, pues, obtenemos una cadena de orden $$w$$ elementos que representa al número $$\pi$$. Y, luego, podemos tener una cadena de orden $$w+10^{100}$$ cuyos $$w$$ primeros elementos representen los decimales de $$\pi$$, mientras que el resto $$10^{100}$$ elementos representan otros decimales.

En este sentido, y si todo esto es plausible, entonces se puede afirmar: hay cadenas de decimales del orden $$w+n$$ elementos cuyos primeros $$w$$ decimales sean puros 0 y, luego, los siguiente $$n$$ elementos sean cifras cuyo valor sea mayor que 0.

Estas cadenas representan, como se ha dicho, a los decimales de un número que está contenido en el intervalo [0,1]. Y está claro que no existe ningún número natural que multiplicando un número como este (que tiene $$w$$ ceros y luego una cadena finita de otros valores), se acerque a 1.

Ahora bien, si se prohibe hacer este tipo de extensión en el ordenamiento de cadenas de decimales, este tipo de números infinitesimales no son posibles.

Un saludo.

[RDC]

Hola, geometracat.

Para recordar dije esto:

Dije que yo entendía que el teorema no exigía una desigualdad explícita porque simplificaba, y por tanto del enunciado que se podían interpretar estas 4 posibilidades:

1) $$a_i<a'_i$$ y $$b_j<b'_j$$, entonces entiendo que $$\left\{{A|B}\right\}<\left\{{A'|B'}\right\}$$

2) $$a_i=a'_i$$ y $$b_j<b'_j$$, entonces entiendo que $$\left\{{A|B}\right\}<\left\{{A'|B'}\right\}$$ (este es nuestro caso)

3)1) $$a_i=a'_i$$ y $$b_j=b'_j$$, entonces entiendo que $$\left\{{A|B}\right\}=\left\{{A'|B'}\right\}$$

4)1) $$a_i<a'_i$$ y $$b_j=b'_j$$, entonces entiendo que $$\left\{{A|B}\right\}<\left\{{A'|B'}\right\}$$

Hecho es que luego vas al corolario 2.4, que se encuentra justo después de la demostración del teorema 2.3, y éste te especifica lo que yo he marcado como opción 3.

Corolario 2.4
Si \( A = A' \) y \( B = B' \), entonces:
\[ \{ A \mid B \} = \{ A' \mid B' \} \]

Demostración
\( A = A' \) significa que \( a_i \leq a'_i \) y \( a'_i \leq a_i \) para toda \( i \), y de manera análoga para \( B = B' \), así que:
\[ \{ A \mid B \} \leq \{ A' \mid B' \} \quad \text{y} \quad \{ A' \mid B' \} \leq \{ A \mid B \} \]
lo que implica que:
\[ \{ A \mid B \} = \{ A' \mid B' \} \]

De aquí yo interpreto que:

El Corolario 2.4 establece que si los conjuntos izquierdos \( A \) y \( A' \) son iguales y los conjuntos derechos \( B \) y \( B' \) son iguales, entonces los números surreales formados por estos conjuntos también son iguales. Es una consecuencia directa del Teorema 2.3, que garantiza una relación de igualdad bajo estas condiciones específicas.

Por tanto, el corolario dice que cuando A=A' y B=B' entonces hay una igualdad estricta en \[ \{ A \mid B \} = \{ A' \mid B' \} \]. Por cierto, no sé cómo lo que argumenta geométracat cuadra con este corolario, porque está claro que \( B\neq B' \). Si me lo podéis aclarar, gracias.


Si vamos ahora al caso que concreto que estamos discutiendo, tenemos que \( A=A'=0 \), pero luego tenemos que:

$$B=\left\{{\displaystyle\frac{\pi-3}{n}: n\in{\Bbb N}}\right\}$$

$$B'=\left\{{\displaystyle\frac{1}{n}: n\in{\Bbb N}}\right\}$$

Obviamente \( B\neq B' \). Ahora bien, lo que podemos discutir es si $$b_j<b'_j$$ es estrictamente o no.

Entiendo que para saber si aquí podemos aplicar una desigualdad estricta, o no, entre \[ \{ A \mid B \} , \{ A' \mid B' \} \] lo que hay que mirar es si $$b_j<b'_j$$, o bien, si lo único que podemos decir es que $$b_j\leq{b'_j}$$.

Si se puede demostrar el primer caso (que $$b_j<b'_j$$), entonces tendremos una desigualdad estricta, pero si sólo se puede demostrar el segundo caso (que $$b_j\leq{b'_j}$$), entonces no se puede aplicar una desigualdad. Nada más.

Para mí éste es el punto clave a discutir, no lo otro.

Entiendo que según geométracat no es cierto que $$b_j<b'_j$$, porque atiende al hecho de que siempre es posible encontrar un $$m$$ tal que $$b_j>b'_m$$. Y eso es cierto, al carecer ambos conjuntos de un último elemento y aproximarse todos sus elementos a 0.

Ahora bien, lo que ocurre es que resulta notoriamente falso que exista un $$m$$ para el cual $$b_j=b'_m$$; a fin de cuentas $$b_j$$ es siempre un irracional y $$b'_n$$ siempre será un racional. Por tanto es completamente falso plantear que $$b_j\leq{b'_j}$$. Lo correcto es plantear una desigualdad estricta.

De hecho, geométracat, si recordamos tu argumento:

Spoiler

Si defines:
$$\epsilon_1=\left\{{0|\left\{{1/n:n\in{\Bbb N}}\right\}}\right\}$$
$$\epsilon_2=\left\{{0|\left\{{\displaystyle\frac{\pi-3}{n}:n\in{\Bbb N}}\right\}}\right\}$$
puedes ver que con la definición anterior \( \epsilon_1 \leq \epsilon_2 \) y \( \epsilon_2 \leq \epsilon_1 \), luego \( \epsilon_1 = \epsilon_2 \).

En efecto, por ejemplo para ver que \( \epsilon_1 \leq \epsilon_2 \) hay que ver por la definición que \( 0 < \epsilon_2 \) (que lo es por construcción, porque \( \epsilon_2 \) es estrictamente mayor que cualquier elemento de su conjunto izquierdo) y que \( \epsilon_1 < \frac{\pi-3}{n} \) para todo \( n \). Pero esto último se sigue de que \( \epsilon_1 < 1/m \) para todo \( m \) natural (pues es menor que todos los elementos de su conjunto derecho) y de que existe un \( m \) tal que \( 1/m < \frac{\pi-3}{n} \).

Análogamente se ve que \( \epsilon_2 \leq \epsilon_1 \).

[cerrar]

 En el spoiler se ve que terminas afirmando que $$\epsilon_1\leq{\epsilon_2}$$ y $$\epsilon_1\geq{\epsilon_2}$$, deduciendo de eso que $$\epsilon_1=\epsilon_2$$, cuando en ningún caso los elementos de B son iguales a los elementos de B' ¿cómo puedes concluir entonces eso? No lo entiendo. 

Siendo estrictos a los sumo sólo se puede decir que $$\epsilon_1<\epsilon_2$$ y $$\epsilon_1>\epsilon_2$$ porque no existe ningún elemento de B que sea igual a ningún elemento de B'. Ahora bien, tal conclusión resulta absurda, aunque en los límites sí se permite porque se considera que ambos conjuntos tienen un único y mismo Infimo, el cero. Pero tal razonamiento no se puede aplicar aquí porque eso no existe y aún en el infinito debe conservarse el orden.

Por todo lo dicho, pues, entiendo que esa es una conclusión errónea.


Por otro lado, hola Luís.

Aunque confieso que me ha hecho reír que me soltaras una falacia de hombre de paja :

Ah y no quiero dejar pasar esta frase:

En realidad no especifica nada en contra de esta interpretación que hago

que es una de esas aberraciones lógicas que comentaba al principio y que haces frecuentemente.

Si un Teorema no especifica nada en contra de una afirmación, para ti parece que automáticamente esta es cierta.

Como el Teorema no especifica nada en contra de que \( 0=2 \), pues \( 0=2 \).
Como el Teorema no especifica nada en contra de que \( (x+y)^2=x^2+y^2 \), pues sea ,\( (x+y)^2=x^2+y^2 \).
Como el Teorema no especifica nada en contra de que \( 1/1=666 \) (el número de la bestia), pues sea, \( 1/1=666 \).
Y ya puestos como el Teorema no especifica nada en contra de \( \left\{{A|B}\right\}=\left\{{A'|B'}\right\} \), pues se tiene la igualdad por narices.

Para quien no la conozca:

Spoiler

La falacia del hombre de paja consiste en distorsionar o exagerar la posición de un oponente para hacerla más fácil de atacar o ridiculizar. En lugar de enfrentar el argumento real, se crea una versión simplificada o extrema de ese argumento, que es más fácil de refutar. Esta táctica desvía la atención del verdadero debate y puede engañar a la audiencia, haciendo que la postura original parezca débil o ridícula.

[cerrar]

Debo añadir que me ha gustado mucho tu contraejemplo:

Spoiler

Con tu "interpretación" del Teorema 2.3 y el Teorema 2.9 se puede llegar a la curiosa conclusión de que \( A<A \) con \( A=\{0|\{1/n:n\in \Bbb n\}\} \).

Por el teorema 2.9:

\( A=\{0|\{1/n:n\in \Bbb N\}\}=\{0|\{1/(n+1):n\in \Bbb N\}=B \)

ya que en \( B \) respecto a \( A \) simplemente hemos quitado del conjunto de la derecha \( \{1/n:n\in \Bbb N\} \) el \( 1 \), que es su mayor valor.

Ahora tenemos que \( A=\{0|\{a_n|n\in \Bbb n\}\} \) y \( B=\{0|\{b_n|n\in \Bbb n\}\} \) con \( a_n=1/n \) y \( b_n=1/(n+1) \)

Se tiene que:

\( 0=0 \) y \( b_n<a_n \) para todo \( n\in \Bbb N \)

luego según tú "interpretación" del Teorema 2.3 se deduce que \( B<A \).

Pero por el Teorema 2.9 teníamos que \( A=B \). Así que tenemos que \( A<A \). 

Saludos.

[cerrar]

Aquí, a diferencia de antes, tenemos que sí existe un $$m$$ tal que $$b_j\leq{b'_m}$$, es decir, exceptos algunos elementos de B' que no están en B, los demás si lo están todos. Entonces, aquí no es correcto aplicar una desigualdad estricta.

Saludos

[manooooh]

Hola

Hola, geometracat.

Para recordar dije esto:

Dije que yo entendía que el teorema no exigía una desigualdad explícita porque simplificaba, y por tanto del enunciado que se podían interpretar estas 4 posibilidades:

1) $$a_i<a'_i$$ y $$b_j<b'_j$$, entonces entiendo que $$\left\{{A|B}\right\}<\left\{{A'|B'}\right\}$$

2) $$a_i=a'_i$$ y $$b_j<b'_j$$, entonces entiendo que $$\left\{{A|B}\right\}<\left\{{A'|B'}\right\}$$ (este es nuestro caso)

3)1) $$a_i=a'_i$$ y $$b_j=b'_j$$, entonces entiendo que $$\left\{{A|B}\right\}=\left\{{A'|B'}\right\}$$

4)1) $$a_i<a'_i$$ y $$b_j=b'_j$$, entonces entiendo que $$\left\{{A|B}\right\}<\left\{{A'|B'}\right\}$$

Hecho es que luego vas al corolario 2.4, que se encuentra justo después de la demostración del teorema 2.3, y éste te especifica lo que yo he marcado como opción 3.

Corolario 2.4
Si \( A = A' \) y \( B = B' \), entonces:
\[ \{ A \mid B \} = \{ A' \mid B' \} \]

Demostración
\( A = A' \) significa que \( a_i \leq a'_i \) y \( a'_i \leq a_i \) para toda \( i \), y de manera análoga para \( B = B' \), así que:
\[ \{ A \mid B \} \leq \{ A' \mid B' \} \quad \text{y} \quad \{ A' \mid B' \} \leq \{ A \mid B \} \]
lo que implica que:
\[ \{ A \mid B \} = \{ A' \mid B' \} \]

De aquí yo interpreto que:

El Corolario 2.4 establece que si los conjuntos izquierdos \( A \) y \( A' \) son iguales y los conjuntos derechos \( B \) y \( B' \) son iguales, entonces los números surreales formados por estos conjuntos también son iguales. Es una consecuencia directa del Teorema 2.3, que garantiza una relación de igualdad bajo estas condiciones específicas.

Por tanto, el corolario dice que cuando A=A' y B=B' entonces hay una igualdad estricta en \[ \{ A \mid B \} = \{ A' \mid B' \} \]. Por cierto, no sé cómo lo que argumenta geométracat cuadra con este corolario, porque está claro que \( B\neq B' \). Si me lo podéis aclarar, gracias.


Si vamos ahora al caso que concreto que estamos discutiendo, tenemos que \( A=A'=0 \), pero luego tenemos que:

$$B=\left\{{\displaystyle\frac{\pi-3}{n}: n\in{\Bbb N}}\right\}$$

$$B'=\left\{{\displaystyle\frac{1}{n}: n\in{\Bbb N}}\right\}$$

Obviamente \( B\neq B' \). Ahora bien, lo que podemos discutir es si $$b_j<b'_j$$ es estrictamente o no.

Entiendo que para saber si aquí podemos aplicar una desigualdad estricta, o no, entre \[ \{ A \mid B \} , \{ A' \mid B' \} \] lo que hay que mirar es si $$b_j<b'_j$$, o bien, si lo único que podemos decir es que $$b_j\leq{b'_j}$$.

Si se puede demostrar el primer caso (que $$b_j<b'_j$$), entonces tendremos una desigualdad estricta, pero si sólo se puede demostrar el segundo caso (que $$b_j\leq{b'_j}$$), entonces no se puede aplicar una desigualdad. Nada más.

Para mí éste es el punto clave a discutir, no lo otro.

Entiendo que según geométracat no es cierto que $$b_j<b'_j$$, porque atiende al hecho de que siempre es posible encontrar un $$m$$ tal que $$b_j>b'_m$$. Y eso es cierto, al carecer ambos conjuntos de un último elemento y aproximarse todos sus elementos a 0.

Ahora bien, lo que ocurre es que resulta notoriamente falso que exista un $$m$$ para el cual $$b_j=b'_m$$; a fin de cuentas $$b_j$$ es siempre un irracional y $$b'_n$$ siempre será un racional. Por tanto es completamente falso plantear que $$b_j\leq{b'_j}$$. Lo correcto es plantear una desigualdad estricta.

De hecho, geométracat, si recordamos tu argumento:

Spoiler

Si defines:
$$\epsilon_1=\left\{{0|\left\{{1/n:n\in{\Bbb N}}\right\}}\right\}$$
$$\epsilon_2=\left\{{0|\left\{{\displaystyle\frac{\pi-3}{n}:n\in{\Bbb N}}\right\}}\right\}$$
puedes ver que con la definición anterior \( \epsilon_1 \leq \epsilon_2 \) y \( \epsilon_2 \leq \epsilon_1 \), luego \( \epsilon_1 = \epsilon_2 \).

En efecto, por ejemplo para ver que \( \epsilon_1 \leq \epsilon_2 \) hay que ver por la definición que \( 0 < \epsilon_2 \) (que lo es por construcción, porque \( \epsilon_2 \) es estrictamente mayor que cualquier elemento de su conjunto izquierdo) y que \( \epsilon_1 < \frac{\pi-3}{n} \) para todo \( n \). Pero esto último se sigue de que \( \epsilon_1 < 1/m \) para todo \( m \) natural (pues es menor que todos los elementos de su conjunto derecho) y de que existe un \( m \) tal que \( 1/m < \frac{\pi-3}{n} \).

Análogamente se ve que \( \epsilon_2 \leq \epsilon_1 \).

[cerrar]

 En el spoiler se ve que terminas afirmando que $$\epsilon_1\leq{\epsilon_2}$$ y $$\epsilon_1\geq{\epsilon_2}$$, deduciendo de eso que $$\epsilon_1=\epsilon_2$$, cuando en ningún caso los elementos de B son iguales a los elementos de B' ¿cómo puedes concluir entonces eso? No lo entiendo. 

Siendo estrictos a los sumo sólo se puede decir que $$\epsilon_1<\epsilon_2$$ y $$\epsilon_1>\epsilon_2$$ porque no existe ningún elemento de B que sea igual a ningún elemento de B'. Ahora bien, tal conclusión resulta absurda, aunque en los límites sí se permite porque se considera que ambos conjuntos tienen un único y mismo Infimo, el cero. Pero tal razonamiento no se puede aplicar aquí porque eso no existe y aún en el infinito debe conservarse el orden.

Por todo lo dicho, pues, entiendo que esa es una conclusión errónea.


Por otro lado, hola Luís.

Aunque confieso que me ha hecho reír que me soltaras una falacia de hombre de paja :

Ah y no quiero dejar pasar esta frase:

En realidad no especifica nada en contra de esta interpretación que hago

que es una de esas aberraciones lógicas que comentaba al principio y que haces frecuentemente.

Si un Teorema no especifica nada en contra de una afirmación, para ti parece que automáticamente esta es cierta.

Como el Teorema no especifica nada en contra de que \( 0=2 \), pues \( 0=2 \).
Como el Teorema no especifica nada en contra de que \( (x+y)^2=x^2+y^2 \), pues sea ,\( (x+y)^2=x^2+y^2 \).
Como el Teorema no especifica nada en contra de que \( 1/1=666 \) (el número de la bestia), pues sea, \( 1/1=666 \).
Y ya puestos como el Teorema no especifica nada en contra de \( \left\{{A|B}\right\}=\left\{{A'|B'}\right\} \), pues se tiene la igualdad por narices.

Para quien no la conozca:

Spoiler

La falacia del hombre de paja consiste en distorsionar o exagerar la posición de un oponente para hacerla más fácil de atacar o ridiculizar. En lugar de enfrentar el argumento real, se crea una versión simplificada o extrema de ese argumento, que es más fácil de refutar. Esta táctica desvía la atención del verdadero debate y puede engañar a la audiencia, haciendo que la postura original parezca débil o ridícula.

[cerrar]

Debo añadir que me ha gustado mucho tu contraejemplo:

Spoiler

Con tu "interpretación" del Teorema 2.3 y el Teorema 2.9 se puede llegar a la curiosa conclusión de que \( A<A \) con \( A=\{0|\{1/n:n\in \Bbb n\}\} \).

Por el teorema 2.9:

\( A=\{0|\{1/n:n\in \Bbb N\}\}=\{0|\{1/(n+1):n\in \Bbb N\}=B \)

ya que en \( B \) respecto a \( A \) simplemente hemos quitado del conjunto de la derecha \( \{1/n:n\in \Bbb N\} \) el \( 1 \), que es su mayor valor.

Ahora tenemos que \( A=\{0|\{a_n|n\in \Bbb n\}\} \) y \( B=\{0|\{b_n|n\in \Bbb n\}\} \) con \( a_n=1/n \) y \( b_n=1/(n+1) \)

Se tiene que:

\( 0=0 \) y \( b_n<a_n \) para todo \( n\in \Bbb N \)

luego según tú "interpretación" del Teorema 2.3 se deduce que \( B<A \).

Pero por el Teorema 2.9 teníamos que \( A=B \). Así que tenemos que \( A<A \). 

Saludos.

[cerrar]

Aquí, a diferencia de antes, tenemos que sí existe un $$m$$ tal que $$b_j\leq{b'_m}$$, es decir, exceptos algunos elementos de B' que no están en B, los demás si lo están todos. Entonces, aquí no es correcto aplicar una desigualdad estricta.

Saludos

¿Cómo es que alguien puede pensar de esa manera? ¿Interpretando un teorema/corolario? Claro, los teoremas están ahí para que cualquiera pueda dar su propia interpretación, te saltas los pasos básicos de una demostración por las narices y no te importa.

Saludos

[feriva]

Hola, buenas tardes, RDC.

Dicho esto, entonces, cabe preguntarse:
Si el ordinal sirve para medir el orden de una secuencia de elementos de un conjunto, ¿acaso se podrá emplear, también, para medir el orden de una cadena de infinitas cifras?

Parece ser factible usar el ordinal transfinito para tratar cadenas de infinitas cifras si éstas se pueden representar como $$a_1,a_2,a_3,a_4,...a_i$$, donde cada $$a_i$$ es la posición que ocupa cada una de las cifras dentro de la cadena. Y si podemos hacer esto con cadenas de infinitas cifras, entonces, lo podemos hacer con las cadenas de infinitos decimales de los números que pertenecen al intervalo [0.1]:

Spoiler

Podemos tomar un número $$r:r\in{[0,1]}$$, por ejemplo $$r=0,43457$$, y su parte decimal convertirla en una cadena de cifras tal que:
$$a_1=4$$
$$a_2=3$$
$$a_3=4$$
$$a_4=5$$
$$a_5=7$$

Y luego podemos generar el conjunto $$C_r=\left\{{\textrm{el conjunto de todas las cifras del elemento r}}\right\}$$, por ejemplo de tal modo:
$$C_r=\left\{{\left\{{i, a_i}\right\}}\right\}$$

Por tanto: $$C_r=\left\{{\left\{{1,4}\right\},\left\{{2,3}\right\},\left\{{3,4}\right\},\left\{{4,5}\right\},\left\{{5,7}\right\}}\right\}$$

La variable $$i$$ representa, pues, el ordinal de la secuencia de elementos del conjunto $$C_r$$, y por tanto de la cadena de dígitos de $$r$$.

[cerrar]

Si todo esto es correcto, entonces podemos tener un número $$r$$ tal que $$C_r$$ tenga por ordinal $$i=w$$. En tal caso tendrá el mismo número de elementos que $$\Bbb N$$. POr ejemplo el número $$r=\pi-3$$. Pero también podemos pensar que existirá un $$r$$ tal que $$C_r$$ tenga por ordinal $$w+10^100$$.

Además, que este $$r$$ sea dle tipo:

Si $$i\leq{w}\longrightarrow{a_i=0}$$

Si $$i>w\longrightarrow{a_i>0}$$

Este número $$r$$ mostrará sólo ceros en sus $$n$$ cifras primeras, y sin embargo, claramente, $$r>0$$. De hecho será un número infinitesimal porque $$n·r<<1$$.



Sobre ello, pues, obtenemos una cadena de orden $$w$$ elementos que representa al número $$\pi$$. Y, luego, podemos tener una cadena de orden $$w+10^{100}$$ cuyos $$w$$ primeros elementos representen los decimales de $$\pi$$, mientras que el resto $$10^{100}$$ elementos representan otros decimales.

En este sentido, y si todo esto es plausible, entonces se puede afirmar: hay cadenas de decimales del orden $$w+n$$ elementos cuyos primeros $$w$$ decimales sean puros 0 y, luego, los siguiente $$n$$ elementos sean cifras cuyo valor sea mayor que 0.

Estas cadenas representan, como se ha dicho, a los decimales de un número que está contenido en el intervalo [0,1]. Y está claro que no existe ningún número natural que multiplicando un número como este (que tiene $$w$$ ceros y luego una cadena finita de otros valores), se acerque a 1.

Ahora bien, si se prohibe hacer este tipo de extensión en el ordenamiento de cadenas de decimales, este tipo de números infinitesimales no son posibles.

Un saludo.

Para serte sincero, no tengo ni idea de para qué se usan los ordinales transfinitos, he mirado por ahí y no me queda claro (si bien he mirado poco). Lo que puedo hacer es conjeturar para qué pueden ser servir según mi apreciación y lo que creo entender.

Cualquier número natural tiene una cantidad \( \aleph_{0} \) de cifras (o así se puede expresar añadiendo ceros) con lo que para ordenar las cifras bastará con usar como ordinal \( \omega \), supongo. Pero no le veo mayor interés,

Se me ocurre (no es algo que haya leído) que ese invento podría servir para “etiquetar” (no numerar, porque para numerar ya están los naturales) uniones de conjuntos infinitos numerables.

Por ejemplo, si consideramos todos los pares y los unimos a todos los múltiplos de cuatro, muchos números se repiten en forma de representantes. Y si unimos muchos conjuntos numerables va a haber infinitas de infinitas... etc., repeticiones de todos los números. Pero al seguir siendo esa unión un conjunto numerable, de alguna manera se tienen que poder poner todos en “fila india” (o eso nos sugiere la intuición). Y a mí me da la impresión de que los ordinales podrían servir para eso, para “colocarlos” o, mejor dicho, para fantasear con que los colocamos.

Por ejemplo, si empezamos a colocar infinitos doses repetidos 2,2,2,... no salimos del “bucle”, no hay maximiliano, no hay esto 2,2,2...2, pero hay que colocar a continuación los treses y todos los demás bucles, que son infinitos. Ahí veo una justificación para entender que “saltamos” de conjuntos infinitos numerables a otros, veo que se pueden justificar esas omegas mediante esa “necesidad”.

Para considerar el orden de los elementos propiamente dichos, únicos, de un conjunto numerable, sin tener en cuenta representaciones... no lo veo; ¿para qué tantísima simbología y para qué añadir símbolos para elementos que “están” en los “infinitos” de “detrás”? ¿Quién necesita eso?

Pero me lo estoy inventando, porque prácticamente no sé nada del tema.

Saludos.

[RDC]

Hola manooooh,

¿Cómo es que alguien puede pensar de esa manera? ¿Interpretando un teorema/corolario? Claro, los teoremas están ahí para que cualquiera pueda dar su propia interpretación, te saltas los pasos básicos de una demostración por las narices y no te importa.

Saludos

A ver, podría usted señalarme qué saltos básicos me salto?

El teorema 2.3 dice:

Enunciado: Sean \( A, A', B \) y \( B' \) conjuntos de números surreales, y sean \( a_1, a_2, a_3, \ldots \) los elementos de \( A \), \( a'_1, a'_2, a'_3, \ldots \) los elementos de \( A' \), \( b_1, b_2, b_3, \ldots \) los elementos de \( B \), y \( b'_1, b'_2, b'_3, \ldots \) los elementos de \( B' \). Si \( A \) y \( A' \) tienen el mismo número de elementos y \( a_i \leq a'_i \) para toda \( i \), y \( B \) y \( B' \) tienen el mismo número de elementos y \( b_j \leq b'_j \) para toda \( j \), entonces \(\{A | B\} \leq \{A' | B'\}\).

En el caso pertinente tenemos:

1. $$A=A'=\left\{{0}\right\}$$, con lo cual los conjuntos A y A' tienen un único y mismo elemento: $$a_1=a'_1=0$$. Por tanto cumplen la condición de que ambos conjuntos tienen el mismo número de elementos y, además,  $$a_i=a'_i$$.

2. $$B=\left\{{\displaystyle\frac{\pi-3}{n}:n\in{\Bbb N}}\right\}$$ y $$B'=\left\{{1/n:n\in{\Bbb N}}\right\}$$. Tenemos que el conjunto B y el B' tiene el mismo número de elementos: \( i=w \), que es el primer ordinal transfinito. Y además es claro que \( b_j<b'_j \).

Entiendo que la condición que expone el teorema cuando dice que $$a_i\leq{a'_i}$$ y $$b_j\leq{b'_j}$$ es una simplificación y que quiere decir que los elementos $$a_i$$ o son iguales o son menores que los elementos $$a'_i$$, del mismo modo que los elementos $$b_j$$ o son iguales o son menores que los de $$b'_j$$.

Y entiendo que es así porque precisamente hay el corolario 2.4 donde se específica la situación en que los elementos $$a_i=a'_i$$ y los elementos $$b_j=b'_j$$.

Por tanto, entiendo que el teorema abarca, también, el caso específico expuesto:

-Cuando los elementos $$a_i=a'_i$$, en este caso $$a_i=0=a'_i$$

-Cuando los elementos $$b_j<b'_j$$, en este caso $$\displaystyle\frac{\pi-3}{j}<\displaystyle\frac{1}{j}$$

La demostración del teorema es:

Para demostrar que \(\{A \mid B\} \leq \{A' \mid B'\}\), es decir, que el número surreal \( s_1=\{A \mid B\} \) es menor o igual que el número surreal \( s_2=\{A' \mid B'\} \),  debemos probar que no existe un elemento en \(A\) que sea mayor o igual que \(\{A' \mid B'\}\) y no existe un elemento en \(B'\) que sea menor o igual que \(\{A \mid B\}\). Formalmente, debemos probar que:

1. \( \neg \exists a \in A : \{A' \mid B'\} \leq a \)
2. \( \neg \exists b' \in B' : b' \leq \{A \mid B\} \)

En nuestro caso para probar que $$\left\{{0|\displaystyle\frac{\pi-3}{n}:n\in{\Bbb N}}\right\}$$ es menor que \( \left\{{0|\displaystyle\frac{1}{n}:n\in{\Bbb N}}\right\} \), debemos probar que:

1. $$0$$ no es mayor ni igual que el número surreal \( \left\{{0|\displaystyle\frac{1}{n}:n\in{\Bbb N}}\right\} \)
2. ningún elemento en B', $$b'_j=\displaystyle\frac{1}{j}$$, sea menor o igual al número surreal $$\left\{{0|\displaystyle\frac{\pi-3}{n}:n\in{\Bbb N}}\right\}$$. Y es que si hubiera un $$b'_j$$ que fuera menor o igual que el surreal  $$\left\{{0|\displaystyle\frac{\pi-3}{n}:n\in{\Bbb N}}\right\}$$, eso significaría que ese elemento de B', $$b_j$$, es menor que todos los elementos de B.


Luego viene la demostración de cada una de estas 2 partes:

Parte 1: Probar que \( \neg \exists a \in A : \{A' \mid B'\} \leq a \)

Supongamos por contradicción que existe un \( a \in A \) tal que \(\{A' \mid B'\} \leq a\). Esto significaría que:

\[ \{A' \mid B'\} \leq a \]

Por la definición de números surreales, esto implica que:

\[ \neg \exists a' \in A' : a \leq a' \quad \text{y} \quad \neg \exists b' \in B' : b' \leq a \]

Dado que \(a_i \leq a'_i\) para todos los elementos correspondientes de \(A\) y \(A'\), esto significa que no podemos tener un \(a\) en \(A\) que sea mayor o igual que \(\{A' \mid B'\}\) porque esto contradiría la definición de números surreales. Por lo tanto, la suposición es falsa y:

\[ \neg \exists a \in A : \{A' \mid B'\} \leq a \]

Parte 2: Probar que \( \neg \exists b' \in B' : b' \leq \{A \mid B\} \)

Supongamos por contradicción que existe un \( b' \in B' \) tal que \( b' \leq \{A \mid B\} \). Esto significaría que:

\[ b' \leq \{A \mid B\} \]

Por la definición de números surreales, esto implica que:

\[ \neg \exists a \in A : b' \leq a \quad \text{y} \quad \neg \exists b \in B : b \leq b' \]

Dado que \(b_j \leq b'_j\) para todos los elementos correspondientes de \(B\) y \(B'\), esto significa que no podemos tener un \(b'\) en \(B'\) que sea menor o igual que \(\{A \mid B\}\) porque esto contradiría la definición de números surreales. Por lo tanto, la suposición es falsa y:

\[ \neg \exists b' \in B' : b' \leq \{A \mid B\} \]

Conclusión:

Dado que ambas partes de la demostración son verdaderas, concluimos que:

\[ \{A \mid B\} \leq \{A' \mid B'\} \]


Vemos, pues, como esta demostración se basa en 2 ideas:

1) que si $$A$$ y $$A'$$ tienen el mismo ordinal (número de elementos), y $$a_i\leq{a'_j}$$, entonces es imposible que haya un elemento de $$A$$ $$a_i$$ que sea mayor o igual que $$a'_i$$ porque ello implicaría que ese elemento de a pudiera ser mayor o igual que el número surreal $$\left\{{A|B}\right\}$$. 

2)que si $$B$$ y $$B'$$ tienen el mismo ordinal (mismo número de elementos), y $$b_j\leq{b'_j}$$, entonces no existe ningún elemento de $$B'$$, $$b'_j$$, tal que sea menor o igual que $$b_j$$, porque ello implicaría que ese elemento pudiera ser menor o igual que el número surrreal $$\left\{{A'|B'}\right\}$$.

Lo que nosotros tenemos es:

que $$b_j$$ siempre será menor que $$b'_j$$ y nunca pueden ser iguales, dado que \( \displaystyle\frac{\pi-3}{j}<\displaystyle\frac{1}{j} \). Entre otras razones porque $$b_j$$ es siempre un irracional y $$b'_j$$ es un racional. Por tanto no es posible que  $$\left\{{0|\displaystyle\frac{\pi-3}{n}:n\in{\Bbb N}}\right\}\neq \left\{{0|\displaystyle\frac{1}{n}:n\in{\Bbb N}}\right\}$$. Lo que sí puede ser es que $$\left\{{0|\displaystyle\frac{\pi-3}{n}:n\in{\Bbb N}}\right\}<\left\{{0|\displaystyle\frac{1}{n}:n\in{\Bbb N}}\right\}$$



Dicho todo esto, continuo entendiendo que cuando el teorema dice \(\{A \mid B\} \leq \{A' \mid B'\}\), quiere decir que el número surreal \( s_1=\{A \mid B\} \) puede ser menor o igual que el número surreal \( s_2=\{A' \mid B'\} \) según sea la relación que mantienen $$a_i$$ con $$a'_i$$ (si esta relación es $$a_i=a'_i$$ o bien es $$a_i<a'_i$$), y a su vez, $$b_j$$ con $$b'_j$$ (si esta relación es $$b_j=b'_j$$ o bien $$b_j<b'_j$$).

Lo que sí tenemos por el corolario 2.4 es que si fuera el casio que $$A=A'$$ y $$B=B'$$, entonces dado que $$a_i=a'_i$$ y $$b_j=b'_j$$, tenemos que \(\{A \mid B\} =\{A' \mid B'\}\). Nada más.

Gracias

[RDC]

Hola, buenas tardes, RDC.

Dicho esto, entonces, cabe preguntarse:
Si el ordinal sirve para medir el orden de una secuencia de elementos de un conjunto, ¿acaso se podrá emplear, también, para medir el orden de una cadena de infinitas cifras?

Parece ser factible usar el ordinal transfinito para tratar cadenas de infinitas cifras si éstas se pueden representar como $$a_1,a_2,a_3,a_4,...a_i$$, donde cada $$a_i$$ es la posición que ocupa cada una de las cifras dentro de la cadena. Y si podemos hacer esto con cadenas de infinitas cifras, entonces, lo podemos hacer con las cadenas de infinitos decimales de los números que pertenecen al intervalo [0.1]:

Spoiler

Podemos tomar un número $$r:r\in{[0,1]}$$, por ejemplo $$r=0,43457$$, y su parte decimal convertirla en una cadena de cifras tal que:
$$a_1=4$$
$$a_2=3$$
$$a_3=4$$
$$a_4=5$$
$$a_5=7$$

Y luego podemos generar el conjunto $$C_r=\left\{{\textrm{el conjunto de todas las cifras del elemento r}}\right\}$$, por ejemplo de tal modo:
$$C_r=\left\{{\left\{{i, a_i}\right\}}\right\}$$

Por tanto: $$C_r=\left\{{\left\{{1,4}\right\},\left\{{2,3}\right\},\left\{{3,4}\right\},\left\{{4,5}\right\},\left\{{5,7}\right\}}\right\}$$

La variable $$i$$ representa, pues, el ordinal de la secuencia de elementos del conjunto $$C_r$$, y por tanto de la cadena de dígitos de $$r$$.

[cerrar]

Si todo esto es correcto, entonces podemos tener un número $$r$$ tal que $$C_r$$ tenga por ordinal $$i=w$$. En tal caso tendrá el mismo número de elementos que $$\Bbb N$$. POr ejemplo el número $$r=\pi-3$$. Pero también podemos pensar que existirá un $$r$$ tal que $$C_r$$ tenga por ordinal $$w+10^100$$.

Además, que este $$r$$ sea dle tipo:

Si $$i\leq{w}\longrightarrow{a_i=0}$$

Si $$i>w\longrightarrow{a_i>0}$$

Este número $$r$$ mostrará sólo ceros en sus $$n$$ cifras primeras, y sin embargo, claramente, $$r>0$$. De hecho será un número infinitesimal porque $$n·r<<1$$.



Sobre ello, pues, obtenemos una cadena de orden $$w$$ elementos que representa al número $$\pi$$. Y, luego, podemos tener una cadena de orden $$w+10^{100}$$ cuyos $$w$$ primeros elementos representen los decimales de $$\pi$$, mientras que el resto $$10^{100}$$ elementos representan otros decimales.

En este sentido, y si todo esto es plausible, entonces se puede afirmar: hay cadenas de decimales del orden $$w+n$$ elementos cuyos primeros $$w$$ decimales sean puros 0 y, luego, los siguiente $$n$$ elementos sean cifras cuyo valor sea mayor que 0.

Estas cadenas representan, como se ha dicho, a los decimales de un número que está contenido en el intervalo [0,1]. Y está claro que no existe ningún número natural que multiplicando un número como este (que tiene $$w$$ ceros y luego una cadena finita de otros valores), se acerque a 1.

Ahora bien, si se prohibe hacer este tipo de extensión en el ordenamiento de cadenas de decimales, este tipo de números infinitesimales no son posibles.

Un saludo.

Para serte sincero, no tengo ni idea de para qué se usan los ordinales transfinitos, he mirado por ahí y no me queda claro (si bien he mirado poco). Lo que puedo hacer es conjeturar para qué pueden ser servir según mi apreciación y lo que creo entender.

Cualquier número natural tiene una cantidad \( \aleph_{0} \) de cifras (o así se puede expresar añadiendo ceros) con lo que para ordenar las cifras bastará con usar como ordinal \( \omega \), supongo. Pero no le veo mayor interés,

Se me ocurre (no es algo que haya leído) que ese invento podría servir para “etiquetar” (no numerar, porque para numerar ya están los naturales) uniones de conjuntos infinitos numerables.

Por ejemplo, si consideramos todos los pares y los unimos a todos los múltiplos de cuatro, muchos números se repiten en forma de representantes. Y si unimos muchos conjuntos numerables va a haber infinitas de infinitas... etc., repeticiones de todos los números. Pero al seguir siendo esa unión un conjunto numerable, de alguna manera se tienen que poder poner todos en “fila india” (o eso nos sugiere la intuición). Y a mí me da la impresión de que los ordinales podrían servir para eso, para “colocarlos” o, mejor dicho, para fantasear con que los colocamos.

Por ejemplo, si empezamos a colocar infinitos doses repetidos 2,2,2,... no salimos del “bucle”, no hay maximiliano, no hay esto 2,2,2...2, pero hay que colocar a continuación los treses y todos los demás bucles, que son infinitos. Ahí veo una justificación para entender que “saltamos” de conjuntos infinitos numerables a otros, veo que se pueden justificar esas omegas mediante esa “necesidad”.

Para considerar el orden de los elementos propiamente dichos, únicos, de un conjunto numerable, sin tener en cuenta representaciones... no lo veo; ¿para qué tantísima simbología y para qué añadir símbolos para elementos que “están” en los “infinitos” de “detrás”? ¿Quién necesita eso?

Pero me lo estoy inventando, porque prácticamente no sé nada del tema.

Saludos.

A partir de la pagina 299 se explica un poco.

https://www.uv.es/ivorra/Libros/Logica.pdf