Pero del mismo modo que a raíz de lo que expuso EJ sobre la imposibilidad de demostrar los infinitesimales empleando cadenas de infinitas cifras había aceptado que no se puede emplear la idea de tomar listas de todos los elementos de un conjunto como $$A=\left\{{1/n}\right\}$$ y crear un real $$f(d_n)$$ , pues ahora tengo mis dudas si aceptamos que una cadena de infinitas cifras puede tener diferentes tamaños ordinales. Si $$w$$ es el tamaño de una cadena de cifras que tiene el mismo tamaño que el conjunto de los naturales, entonces una cadena $$w+1$$ es mayor. Pero bueno, este es otro tema, que seguramente le fascine más a feriva.
saludos
Hola, RDC.
Por luxaciones... digo, por alusiones.
Voy a recapitular un poco; será largo, pero así tienes todas is ideas en una sola respuesta.
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Vamos a centrar la cosa en una cuestión que me parece básica (aunque esto es opinable) y previa a otras cuestiones.
Hablo de números escritos en una base numérica. Pensemos en base 2, que es lo más sencillo y lo que encaja con el cardinal no numerable que obtiene Cantor (el cual podemos elegir definir como el siguiente cardinal mayor que el de los naturales, ya que, no hay pruebas de que esto dé problemas).
Con esto tenemos una representación de los elementos mediante cadenas de dos símbolos.
Dichas cadenas pueden repetir infinitamente una misma secuencia o no, pero siempre podemos elegir considerar que ninguna cadena tiene fin (por lo de añadir ceros).
De este modo no hay problema con eso de mirar a ver si son finitas o no las cadenas; todas son infinitas, no existen finitas y nos quitamos un lío de en medio (sólo en apariencia, no nos lo quitamos tanto).
Seguidamente, y especialmente importante desde mi punto de vista, surge la idea de cómo “alcanzar” los números que repiten solamente una vez un “periodo” (que entonces no se llama “periodo”).
Hay que abordar la idea de cómo pasar de los números periódicos a los no periódicos (que es equivalentemente a pensar en los números escritos en bases adecuadas para que el periodo siempre sea de ceros [en números mixtos o no] y quitar dichos ceros; con lo que, con eso, sí se podría ver como una distinción entre números de finitas o infinitas cifras).
Porque, relacionado con eso, surge, a la hora de considerar números con una parte entera infinitamente grande en valor (donde la parte no entera no tiene sentido ni considerarla) un problema de “conexión”: lo finito es cerrado, o sea, por mucho que sumemos finitos valores, no pasamos a infinito nunca, no salimos de los valores finitos (de ahí la idea de estar “encerrados”).
Esto surge de igual manera con la parte entera de los números reales (de valor finito) los cuales todos tienen mantisa, sea de ceros u otra (aquí sí tiene sentido decir que tienen mantisa, porque aparece una coma a partir de una última cifra en la parte entera. Si no existe una última cifra... pues a mí se me nubla la vista y ya no sé qué razonar con una “mantisa”).
La diferencia sólo está en la coma y en el valor; o sea, por mucho que sea periódico un número infinitamente largo y sin coma, nunca es un número real en el modelo estándar. La razón es que ya no es la representación de un número, es la representación de un representante (valga la redundancia) de una sola cosa: el cardinal infinito numerable.
El propio sistema numérico nos pone en un brete. Y la cuestión está precisamente en esto: por ejemplo. 0,1111... es un valor distinto de 0,2222; pero esto 111... no es un “valor” distinto de 222... ,es lo mismo, es infinito, es una representación de la misma cosa.
Cierto es que tampoco podemos ir paso a paso para escribir la mantisa de un irracional, pero no importa debido a que cada número tiene un valor único; o así podemos considerarlo teóricamente, por mucho que se puedan confundir los valores.
Y eso no tiene que ver directamente con la densidad, es aparte, pues también son densos los racionales. Sin embargo, sí tiene que ver con la no numerabilidad.
Mientras que podemos elegir los racionales de 1000 cifras (u otra cantidad) y encontrar cuál está al lado del otro, ordenarlos de mayor a menor y tal (con una restricción de cifras elegida) con los irracionales no se puede; no se puede elegir que tengan una cantidad finita de cifras.
Nota que esta restricción (elegir cantidad de cifras) es independiente del periodo; no importa que se corte:
4,567556755
si hemos elegido una mantisa de 9 dígitos, pues ponemos 9.
En cualquier caso, elijamos nueve o la cantidad que sea, los números no se transforman en los de otro conjunto extraño a él, siguen siendo racionales.
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En el ejemplo de la Wikipedia, en cuanto a la tabla de Cantor, vemos que al elegir los números entre 0 y 1 la elección no se presta para investigar qué puede pasar o no pasar con dicha cuestión (la de los “números” de valor infinito). Del mismo modo, con el conjunto de partes tampoco se ve, porque es otro tipo de representación.
En mi opinión, es mejor no meter la cabeza en el agujero del avestruz diciendo “es que son conjuntos”; sea lo que sea y antes que otra cosa, son valores y representaciones de valores (esto, si hablamos de matemáticas en el sentido más puro, porque si hablamos de algo más filosófico, entonces sí podemos evadirnos del concepto de valor y representación del mismo).
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A partir de aquí quiero insistir en lo que te comenté en mi última respuesta, el concepto de Cantor a la hora de considerar la posible biyección entre naturales y reales no es el concepto de “infinito actual” como tú lo entiendes, porque si fuera así eso supondría la aparición en la tabla de naturales infinitamente grandes (dado que en general se puede hacer para toda la recta, no sólo para el intervalo [0,1]). ¿Por qué tendrían que aparecer “actualmente”?, pues por lo explicado: si aparecen números de infinitas cifras no periódicas con un cero delante y una coma de “forma actual”... también tendrían que aparecer reales de esas características pero sin cero delante y sin coma.
En cambio, si simplemente lo entendemos por comprensión, la tabla de \( n\times n \) no implica un tamaño “terminado” o “actual”, la cantidad de números es infinita en un sentido numerable; es decir, sin que ningún “n” sea infinito en valor (y, con ello, sin que ningún real lo sea; puesto que la parte entera de cualquier real siempre existe y es un entero).
De este modo, \( \aleph_{0} \) no aparece nunca en la tabla, no es ningún “n”, simplemente es eso, el infinito numerable, el poder contar sin límite. Para mí no tiene que ver con lo actual ni con lo potencial; porque, como la idea sirve para todo “n”, no hay que ir contando nada para entenderla, no hay que analizar el “tamaño” de “n”; el cardinal no es un “tamaño”, es un concepto algo más sutil, esa palabra se emplea coloquialmente.
No obstante, es imprescindible pensar en rellenar con ceros los números que lo necesiten, porque, si no, no podemos justificar que en las filas pueda entrar un irracional y no un número de infinitas cifras “sin coma”; si todos los números tienen infinitas cifras, no hay problema con esto, porque lo que no pueden rebasar los números es el valor, no la cantidad de cifras. En resumen, la cantidad de cifras es \( \aleph_{0} \), pero el valor de los números no, nunca.
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No obstante, vale, nada nos impide pensar en una idea distinta a la de Cantor, considerando los números así 256... ó 5890.. ó los que quieras escribir al azar, como representantes de un mismo valor numérico llamado infinito.
Vale, ahora vamos a ver qué problemas pueden surgir con esa idea, qué cosas distintas, a qué propiedades afecta.
Yo sólo veo un problema serio en eso (quizá me equivoque) y consiste en el hecho de lo que había empezado diciendo: no se puede pasar de los valores finitos a los infinitos dando pasos de longitud finita (con la cantidad de cifras no importa, con los valores sí).
Aquí son los representantes de un mismo valor los que no tienen siguiente (por ser el mismo valor) con los reales son los distintos valores en sí mismos los que no tienen siguiente (o así nos vemos obligados a entenderlo teóricamente, aunque en la práctica no haya problema considerando la idea de límite).
Pero quizá, sí, podamos salirnos de lo matemático un poco para rozar lo filosófico; siempre y cuando consigamos mantener una coherencia matemática.
Tal vez podamos considerar esos representantes del infinito como valores o elementos distintos (sin olvidar que en cuanto a aspecto la diferencia es solamente una coma, pero en cuanto a concepto hay una diferencia vital). En matemáticas uno puede definir lo que quiera; siempre que sirva para armar un sistema de cosas que no se contradigan, porque, si no, a eso ya no se le puede llamar matemática.
La única pega seria que veo yo si se hace eso es que hay un salto, en valor, de lo finito a lo infinito, no es ya que los números no tengan siguiente, es distinto, aquí hay un salto de valor finito a infinito, en vez de un salto casi cero. Y eso rompe la continuidad (no en el sentido habitual que se entiende en el análisis estándar, pero la rompe de alguna manera, rompe la cerradura de los reales). Ocurre análogamente, por ejemplo, si queremos conservar la no continuidad de los enteros; no puedo, de repente, empezar a meter un continuo con reales de un cierto intervalo.
Se puede inventar cualquier juego coherente, pero habrá juegos que sirvan para más y otros que sirvan para menos (y esto no sólo referido a la matemática aplicada, si no en general). Pero se acepta cualquier juego mientras sea coherente (otra cosa es que a algunos nos pueda parecer un juego más “de verdad” o menos “de verdad”, independientemente de que pueda ser ingenioso o divertido [lo cual también puede ser subjetivo]).
Saludos.
