Hola geómetracat
Añadido:
Esto está mal, supongo que habrá sido un despiste:
Se define un cuarto valor como: $$1/2=\left\{{1|0}\right\}$$ (1/2 es el valor que hay entre 1 y 0).
Se define un quinto valor como: $$-1/2=\left\{{0|1}\right\}$$
Es \( 1/2=\{0|1\} \) y \( -1/2=\{-1|0\} \).
Sí, correcto, es un error.
No teníamos bastante con reales e hiperreales que ahora encima metes los surreales. 
jajaja es que la inquietud de fondo de todo esto es ?cómo se crean los números? Y obviamente hay diferentes modelos. Y luego la relación entre tales modelos.
Lo que sí que entiendo es que el modelo habitual y estandard, por así decirlo, define los reales como arquimedianos, meintras emplea procedimientos de iteración (el límite, el infimo o supremo, etc) para definirlos y trabajar con ellos.
Mi idea era emplear, estrictamente procedimientos que no fueran iterativos, tal y como se hace para en el modelo estandar por así decirlo.
Pero lo que veo es lo siguiente:
1) Cuando tenemos 2 conjuntos, A y B, donde B es subconjunto de A, queda claro que los elementos B también están en A. Por lo tanto, ningún elemento de B será jamás menor que cualquiera de A, o nunca tendrá una propiedad que no tenga algún elemento de A.
2) Cuando tenemos 2 conjuntos ordenados A y B, donde ningunos es subconjunto del otro (sean ambos subconjuntos de un C, o no lo sean), aunque $$a_n<b_n$$, no está nada claro si existe un elemento de A que sea, al final, menor que cualquier elemento de B.
Si para determinarlo usamos procedimeintos iterativos, como el limite, y con él empleamos la noción de "infimo", que son procedimientos estándar, obtenemos que ningún elemento de A es menor que ninguno de B , y viceversa. Esto es lo que has defendido des del principio del hilo, así como también Luís o recientemente Eren. Y es impepinable.
Pero no quería evaluar la pregunta, "¿tendrá un conjunto B que no es subconjunto de A, elementos menores que cualquier elemento de A, cuando $$a_<b_n$$?" empleando dichos procedimientos "estandard" (que se basan en la idea de ifninito en potencia), sino en otros que se basen en "el infnito en potencia", como la idea de tratar los elementos de un conjunto infininito como "todos los lemeentos del conjunto".
Por tanto, cuando interpretamos la fórmula $$a_n<b_n$$ de forma iterativa, nos lleva a considerar que si bien un elemento $$n$$ del conjunto A es inferior que cada elemento del conjunto $$b$$, igual el siguiente elemento de A, $$a_{n+1}$$, será mayor que el elemento $$b_n$$, de modo que, interpretado así, no hay forma de concluir si hay elementos de A inferiores a cualquier elemento de B. De hecho, sólo podemos concluir que habrán infinitos elementos de A que son tan cercanos a 0 como queramos, al igual que habrá infinitos elementos de B que lo sean. Y ciertamente eso cuadra a la perfección con la proiedad arquimediana de los reales y el principio de arquímides.
Pero a mi me parece que si cambiamos el procedimeinto, dejando de lado procedimeintos iterativos como el límite, para evaluar esta pregunta, entonces sí podemos considerar que la fórmula $$a_n<b_n$$ implica que hay almenos un valor de A menor que cualquiera de B.
Cuando he dicho esto (a mi me parece que) me habéis saltado encima diciendo: Las matemáticas son objetivas y no subjetivas; no depende de lo que a uno le parezca; las cosas son lo que son.
En realidad, eso sólo es así cuando uno está dentro de un modelo concreto de las matemáticas, sujeto a unas definiciones precisas y unos procedimeintos determinados. Y siempre he dicho que si no usamos procedimeintos iterativos esto se puede tratar de otra forma.
Solo para que queden claras las respuestas ortodoxas:
Según los surreales la siguiente afirmación es cierta?:
$$\epsilon=\left\{{0|\left\{{1/n:n\in{\Bbb N}}\right\}}\right\}=\left\{{0|\left\{{\displaystyle\frac{\pi-3}{n}:n\in{\Bbb N}}\right\}}\right\}$$
Sí, pero el por qué choca con lo que has ido exponiendo en el hilo. Esa igualdad es cierta precisamente porque no hay ningún elemento de \( \left\{{1/n:n\in{\Bbb N}}\right\} \) menor que todos los elementos de \( \left\{{\displaystyle\frac{\pi-3}{n}:n\in{\Bbb N}}\right\} \) ni tampoco hay ningún elemento de \( \left\{{\displaystyle\frac{\pi-3}{n}:n\in{\Bbb N}}\right\} \) menor que todos los elementos de \( \left\{{1/n:n\in{\Bbb N}}\right\} \).
Está seguro que en los surreales eso es así? Porque he visto en algún sitio que parece que no, pero no es muy fiable
Alguien Tiene más información al respecto?
En cualquier caso, si no fuera así tampoco se violaría nada de la aritmética estandard. Si consideraos que:
$$\epsilon_1=\left\{{0|\left\{{1/n:n\in{\Bbb N}}\right\}}\right\}$$
$$|epsilon_2=\left\{{0|\left\{{\displaystyle\frac{\pi-3}{n}:n\in{\Bbb N}}\right\}}\right\}$$
Desde un punto de vista de los reales $$\epsilon_1=\epsilon_2=0$$, por tanto, la propiedad arquimediana, en un hipotético mundo excluisvamente de reales, se mantiene siempre.
Para empezar, ya no podemos decir que el ínfimo del conjunto $$A=\left\{{1/n:n\in{\Bbb N}}\right\}=0$$. ¿Se dice entonces que el ínfimo de todos los subconjuntos de infinitos reales cuyos elementos se hacen arbitrariamente cada vez más pequeños es el mismo, y este infimo es $$\epsilon$$ y no 0?
No existe el ínfimo de ese conjunto en los surreales. Los surreales no son completos, así que un conjunto no tiene por qué tener ínfimo. Es muy fácil de ver que este en concreto no tiene ínfimo. Imagina que \( A \) tuviera un ínfimo \( r \). Entonces podrías considerar el número surreal \( \{r|A\} \), que sería un nuevo número estrictamente mayor que \( r \) y estrictamente menor que todos los elementos de \( A \), contradiciendo el hecho de que \( r \) era el ínfimo de \( A \).
Bueno, de hecho, el conjunto de todos los surreales no deja de ser el conjunto vacío, que internamente lo genera todo.
