[RDC]

Hola:

...
Los infinitesimales solo se justifican si empleamos la idea de infinito en acto y comparamos "todos los elementos" de A "con todos los elementos" de B.

No termino de entender bien ese concepto de infinito en acto. En cualquier caso, me parece que no sirve para deducir la existencia de un elemento de \( A \) que sea menor que todos los elementos de \( B \). A lo sumo, quizás podría servir para afirmar que \( A \) "\( \leq \)" \( B \) para alguna relación de orden definida en el espacio \( \mathbb{R}^{\mathbb{N}} \), de sucesiones de números reales, del tipo:
Dadas \( A=\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}}, B=\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}}\in
\mathbb{R}^{\mathbb{N}} \), se dice que
\( A\leq B\Longleftrightarrow a_n\leq b_n,\,\forall\,n\in\mathbb{N} \)
 Saludos 🖐🏻

Gracias ani_pascual. Luego me lo mirare con mas atencion.

Un saludo

[EJ]

En principio no estoy haciendo nada de análisis, ni estandard ni no estandard, sino que me limito al ámbito de teoría de conjuntos.

Si quieres sacar consecuencias sobre los números reales, tienes que aceptar su definición como la completación de \(\mathbb{Q}\) o por los axiomas aritméticos más  el axioma del supremo. La definición del cuerpo de los reales es consistente (cualquiera de los dos caminos generan el mismo cuerpo).

1º demostrar que ningún subconjunto de los racionales tendrá, jamás, un elemento menor que cualquier elemento del conjunto A, formado por los elementos del tipo $$1/n$$, siendo $$n$$ un natural cualquiera. Para ello no uso ni límites, ni supremos, ni aproximaciones, simplemente la operación entre conjuntos llamada "diferencia simétrica".

Es trivial por el significado matemático de los reales.

2) Luego comparo todos los elementos del conjunto A con todos los elementos de un conjunto B, formado por todos los elementos irracionales del tipo $$(\pi-3)/n$$. Una de las formas que he hecho es empleando una lista de todos los elementos de A relacionados con todos los elementos de B de forma que $$(\pi-3)/n<1/n$$, para, ademas, generar una función $$f(d_n)$$, que al tomar la lista completa debe dar un valor inferior a cualquier racional posible.

Ahora bien, y por otro lado, también es cierto que mediante el concepto de ínfimo se puede demostrar que los reales son arquimedianos.

Luego si uno quiere emplear infintiesimales para hacer análisis, o no, es decisión suya y su capricho.

Esa argumentación no tiene ni pies ni cabeza, se te ha explicado de mil formas distintas. Esas "listas" deben generar reales entre 0 y 1, y para que una "lista" \(d=(d_n)\) genere eso tiene que tener expansión decimal. El cuerpo de los reales no es una definición  "opinable" ni es incompatible con la teoría de conjuntos. Tu número \(d\) irracional debe tener la forma \(0,p_1p_2,...,p_n\) que es una forma de expresar \(d=\sup_m\sum_{n=1}^{m}p_n10^{-n}\). Por las propiedades del cuerpo de los reales TODOS LOS NÚMEROS REALES (racionales o irracionales) en (0,1) admiten tal expansión. Si d es distinto de 0, existirá un \(n_0\) mínimo tal que \(p_{n_0}\neq 0\). Tampoco es opinable el buen orden de los naturales. Ese d es por tanto mayor que \(10^{-(n_0+1)}\), que está claramente en \(A\).

Ni teoría de conjuntos ni gaitas, si quieres sacar conclusiones sobre \(\mathbb{R}\) has de aceptar el axioma del supremo y el buen orden de los naturales. Lo demás, "infinito en acto", "infinito en potencia" y demás vaguedades, no justifican nada. Los conmutadores para cada y existe NO CONMUTAN. Esa inferencia no se permite en ninguna rama de las matemáticas.

Ya lo sé, ya lo sé "tú no lo ves así"...

[Restituto]

Quien quiera usar infinitesimales (numeros que no cumplen la propiedad arquimediana) para analizar series, convergencias, integrales, continuidad de funciones, , etc lo puede hacer desde hace 60 años.

Por tanto, qué me estás contando Restituto?

Claro, RDC, pero me quieres hacer creer que aún no te has enterado que eso se hace (entre otras maneras) con una extensión de los reales, los hiperreales, y no es posible (ni con tu peculiar demostración) en los reales, que es lo que tu llevas argumentando 28 páginas?

[feriva]

Pero si no es ningún problema construir infinitesimales aunque no haya definida una representación para ellos mediante cadenas de cifras. Lo que discutimos es si se pueden construir mediante estos argumentos, nada más.

Bien, te revelaré el secreto, aunque me juré no decirlo a nadie jamás nunca.

Los números escritos en una base numérica no tienen nada malo, ni los conjuntos tienen nada mágico que no tengan ellos, ambos sirven, por ejemplo, para hallar el cardinal de los reales; para contar los reales aunque no se puedan contar uno a uno.

Como no podemos poner un ejemplo con infinito, imagina que \( infinito=4 \).

Entonces tiene que haber cuatro naturales como máximo, no puede haber más de infinito (cuando Cantor empieza con esto no existe mas que el infinito numerable, es lo más grande que hay).

Los números más grandes tampoco podrán tener más de cuatro cifras (ceros y comas aparte; pero si añadimos ceros, siempre tendrán cuatro, pues los “llenamos” hasta el borde, hasta donde ya no se puede más).

Sin embargo, con conjuntos tendríamos cuatro cosas así {símbolo del elemento}.

Para contar los reales, Cantor usa combinaciones sin repetición (los elementos de un conjunto no tienen orden) y esa cantidad de combinaciones es la cantidad de partes que tiene el conjunto de partes P{1,2,3,4}.

Con un cardinal de cuatro, tenemos

4 combinaciones de un solo número,

6 combinaciones de dos,

4 combinaciones de tres números,

1 combinación de cuatro.

A éstas hay que añadir una combinación más por el conjunto vacío.

1

Son \( {\color{magenta}16} \) combinaciones y esta cantidad sería paralela al cardinal de los reales si el cardinal de los naturales fuera 4 (en vez de infinito); habría 12 elementos que quedarían sin corresponderse en el intento de biyección.

Ahora pensemos en calcular la cantidad de reales con la tabla de números.

La base canónica para expresar los naturales es la de un sólo símbolo; no necesitamos más, 1, 11,111... pero para expresar los reales sería de dos símbolos al menos; normalmente tomamos 0 y 1.

Todas las demás bases no son más que cosas que se usan por comodidad o razones técnicas; y darían lugar a un cardinal de reales más grande según tuvieran más símbolos, falseándolo.

Así que nos quedamos con la “canónica”, la binaria (digo “canónica” tomando la idea de las bases vectoriales; no sé si es costumbre decirlo así).

Si tenemos dos cifras símbolos y las colocamos de cuatro en cuatro, repitiéndolos y variándolos para formar todos los números posibles, usamos la fórmula de las variaciones con repetición para contar cuántos números habrá:

\( VR_{m}^{n}=m^{n} \) o sea, una cantidad de “m” elementos tomados de “n” en “n”.

O, para que se vea más claro

\( VR_{base\,num\acute{e}rica}^{cardinal\,de\,cifras}=base\,num\acute{e}rica^{cardinal\,de\,cifras} \)

En nuestro caso particular \( {\color{magenta}2^{4}}={\color{magenta}16}\, \) variaciones con repetición, es decir, 16 reales en total.

Si en vez de n=4 tenemos que el cardinal de los naturales es \( n=\aleph_{0} \), el cardinal de los reales expresado en la misma base binaria será

\( VR_{m}^{n}={\color{magenta}2}^{{\color{magenta}\aleph_{0}}} \). Porque \( VR_{base\,num\acute{e}rica}^{cardinal\,de\,cifras}={\color{magenta}base\,num\acute{e}rica^{cardinal\,de\,cifras}} \).

Así que, “pongamos que hablo de Madrid”, que decía la canción; ponle que todo lo que he dicho se refiere a base 2; y ya no hay problema con expresar los números como su madre los trajo al mundo en vez de expresarlos con conjuntos, es lo mismo vestido con otro traje.

La tabla de números sería de 4x4 y en la diagonal podríamos formar hasta 12 reales que no aparecen; pero todos de 4 cifras.

¿Y los de 5 cifras? Pues directamente no están, sin demostración, es obvio, y además no podemos afirmar si existen o no porque no los encontramos en la diagonal haciendo variaciones, como ocurre con los otros.

Saludos.

[RDC]

Pero si no es ningún problema construir infinitesimales aunque no haya definida una representación para ellos mediante cadenas de cifras. Lo que discutimos es si se pueden construir mediante estos argumentos, nada más.

Bien, te revelaré el secreto, aunque me juré no decirlo a nadie jamás nunca.

Los números escritos en una base numérica no tienen nada malo, ni los conjuntos tienen nada mágico que no tengan ellos, ambos sirven, por ejemplo, para hallar el cardinal de los reales; para contar los reales aunque no se puedan contar uno a uno.

Como no podemos poner un ejemplo con infinito, imagina que \( infinito=4 \).

Entonces tiene que haber cuatro naturales como máximo, no puede haber más de infinito (cuando Cantor empieza con esto no existe mas que el infinito numerable, es lo más grande que hay).

Los números más grandes tampoco podrán tener más de cuatro cifras (ceros y comas aparte; pero si añadimos ceros, siempre tendrán cuatro, pues los “llenamos” hasta el borde, hasta donde ya no se puede más).

Sin embargo, con conjuntos tendríamos cuatro cosas así {símbolo del elemento}.

Para contar los reales, Cantor usa combinaciones sin repetición (los elementos de un conjunto no tienen orden) y esa cantidad de combinaciones es la cantidad de partes que tiene el conjunto de partes P{1,2,3,4}.

Con un cardinal de cuatro, tenemos

4 combinaciones de un solo número,

6 combinaciones de dos,

4 combinaciones de tres números,

1 combinación de cuatro.

A éstas hay que añadir una combinación más por el conjunto vacío.

1

Son \( {\color{magenta}16} \) combinaciones y esta cantidad sería paralela al cardinal de los reales si el cardinal de los naturales fuera 4 (en vez de infinito); habría 12 elementos que quedarían sin corresponderse en el intento de biyección.

Ahora pensemos en calcular la cantidad de reales con la tabla de números.

La base canónica para expresar los naturales es la de un sólo símbolo; no necesitamos más, 1, 11,111... pero para expresar los reales sería de dos símbolos al menos; normalmente tomamos 0 y 1.

Todas las demás bases no son más que cosas que se usan por comodidad o razones técnicas; y darían lugar a un cardinal de reales más grande según tuvieran más símbolos, falseándolo.

Así que nos quedamos con la “canónica”, la binaria (digo “canónica” tomando la idea de las bases vectoriales; no sé si es costumbre decirlo así).

Si tenemos dos cifras símbolos y las colocamos de cuatro en cuatro, repitiéndolos y variándolos para formar todos los números posibles, usamos la fórmula de las variaciones con repetición para contar cuántos números habrá:

\( VR_{m}^{n}=m^{n} \) o sea, una cantidad de “m” elementos tomados de “n” en “n”.

O, para que se vea más claro

\( VR_{base\,num\acute{e}rica}^{cardinal\,de\,cifras}=base\,num\acute{e}rica^{cardinal\,de\,cifras} \)

En nuestro caso particular \( {\color{magenta}2^{4}}={\color{magenta}16}\, \) variaciones con repetición, es decir, 16 reales en total.

Si en vez de n=4 tenemos que el cardinal de los naturales es \( n=\aleph_{0} \), el cardinal de los reales expresado en la misma base binaria será

\( VR_{m}^{n}={\color{magenta}2}^{{\color{magenta}\aleph_{0}}} \). Porque \( VR_{base\,num\acute{e}rica}^{cardinal\,de\,cifras}={\color{magenta}base\,num\acute{e}rica^{cardinal\,de\,cifras}} \).

Así que, “pongamos que hablo de Madrid”, que decía la canción; ponle que todo lo que he dicho se refiere a base 2; y ya no hay problema con expresar los números como su madre los trajo al mundo en vez de expresarlos con conjuntos, es lo mismo vestido con otro traje.

La tabla de números sería de 4x4 y en la diagonal podríamos formar hasta 12 reales que no aparecen; pero todos de 4 cifras.

¿Y los de 5 cifras? Pues directamente no están, sin demostración, es obvio, y además no podemos afirmar si existen o no porque no los encontramos en la diagonal haciendo variaciones, como ocurre con los otros.

Saludos.

Hola feriva. muy interesante lo que expones.

Otra idea, que surgen de forma natural de esta explicación tuya es que podemos tomar un real cualquiera del intervalo [0,1] como un subconjunto de los naturales. Es decir, todo subconjunto de los naturales, traducirlo a una cadena de cifras y esta que represente la parte decimal de un real que pertence al intervalo [0,1]. Eso sí, hay que matizar algunas cosillas:

Spoiler

por ejemplo, que el conjunto {9,9,9,9,9,...} o bien {6,7,8,9,9,9,9,9,9,9,...} y otros por el estilo generan el mismo real que los conjuntos del tipo $$\emptyset$$ o {6,7,9} respectivamente.

O bien, que los conjuntos como {1,11} generan el mismo real que el conjunto {111} o el conjunto {2,43,44} el mismo que el {24,344} o que {2,4,344} o que {2,4344} o simplemente que el conjunto de un elemento {243444}

[cerrar]

Un ejemplo:

Subconjunto de los naturales $$\longrightarrow{\textrm{Real del intervalo} [0,1]}$$
\( \emptyset\longrightarrow{0} \)
\( \left\{{1}\right\}\longrightarrow{0,1} \)
\( \left\{{2}\right\}\longrightarrow{0,2} \)
\( \left\{{1,2}\right\}\longrightarrow{0,12} \)
\( \left\{{3}\right\}\longrightarrow{0,3} \)
\( \left\{{1,3}\right\}\longrightarrow{0,13} \)
\( \left\{{2,3}\right\}\longrightarrow{0,23} \)
\( \left\{{1,2,3}\right\}\longrightarrow{0,123} \)
\( \left\{{4}\right\}\longrightarrow{0,4} \)
\( \left\{{1,4}\right\}\longrightarrow{0,14} \)
\( \left\{{1,2,4}\right\}\longrightarrow{0,124} \)
\( \left\{{1,3,4}\right\}\longrightarrow{0,134} \)
\( \left\{{1,2,3,4}\right\}\longrightarrow{0,1234} \)
etc

Con ello, se demuestra que el cardinal del conjunto potencia de los naturales y el de los reales es el mismo, y todo lo demás.




 Un saludo

[RDC]

Si quieres sacar consecuencias sobre los números reales, tienes que aceptar su definición como la completación de \(\mathbb{Q}\) o por los axiomas aritméticos más  el axioma del supremo. La definición del cuerpo de los reales es consistente (cualquiera de los dos caminos generan el mismo cuerpo).

1º demostrar que ningún subconjunto de los racionales tendrá, jamás, un elemento menor que cualquier elemento del conjunto A, formado por los elementos del tipo $$1/n$$, siendo $$n$$ un natural cualquiera. Para ello no uso ni límites, ni supremos, ni aproximaciones, simplemente la operación entre conjuntos llamada "diferencia simétrica".

Es trivial por el significado matemático de los reales.

2) Luego comparo todos los elementos del conjunto A con todos los elementos de un conjunto B, formado por todos los elementos irracionales del tipo $$(\pi-3)/n$$. Una de las formas que he hecho es empleando una lista de todos los elementos de A relacionados con todos los elementos de B de forma que $$(\pi-3)/n<1/n$$, para, ademas, generar una función $$f(d_n)$$, que al tomar la lista completa debe dar un valor inferior a cualquier racional posible.

Ahora bien, y por otro lado, también es cierto que mediante el concepto de ínfimo se puede demostrar que los reales son arquimedianos.

Luego si uno quiere emplear infintiesimales para hacer análisis, o no, es decisión suya y su capricho.

Esa argumentación no tiene ni pies ni cabeza, se te ha explicado de mil formas distintas. Esas "listas" deben generar reales entre 0 y 1, y para que una "lista" \(d=(d_n)\) genere eso tiene que tener expansión decimal. El cuerpo de los reales no es una definición  "opinable" ni es incompatible con la teoría de conjuntos. Tu número \(d\) irracional debe tener la forma \(0,p_1p_2,...,p_n\) que es una forma de expresar \(d=\sup_m\sum_{n=1}^{m}p_n10^{-n}\). Por las propiedades del cuerpo de los reales TODOS LOS NÚMEROS REALES (racionales o irracionales) en (0,1) admiten tal expansión. Si d es distinto de 0, existirá un \(n_0\) mínimo tal que \(p_{n_0}\neq 0\). Tampoco es opinable el buen orden de los naturales. Ese d es por tanto mayor que \(10^{-(n_0+1)}\), que está claramente en \(A\).

Ni teoría de conjuntos ni gaitas, si quieres sacar conclusiones sobre \(\mathbb{R}\) has de aceptar el axioma del supremo y el buen orden de los naturales. Lo demás, "infinito en acto", "infinito en potencia" y demás vaguedades, no justifican nada. Los conmutadores para cada y existe NO CONMUTAN. Esa inferencia no se permite en ninguna rama de las matemáticas.

Ya lo sé, ya lo sé "tú no lo ves así"...

El tono me da un poco igual, pero agradezco que hayas sido mucho más constructivo con este mensaje.

Lo que comentas es algo parejo a lo que lleva ya mensaje diciendo feriva a su modo. Y tenéis razón: si existen valores menores que qualquier racional no pueden demostrarse mediante cadenas de cifras decimales, dado que no está nada claro que se puedan representar de tal forma.

Tienes razón pues. No se puede usar una analogía del método de Cantor, no por el razonamiento implícito, sino porque no se pueden emplear cadenas de cifras de este modo para tratar con hipotéticos valores menores que cualqueir racional.

Un saludo EJ.

 

[RDC]

Quien quiera usar infinitesimales (numeros que no cumplen la propiedad arquimediana) para analizar series, convergencias, integrales, continuidad de funciones, , etc lo puede hacer desde hace 60 años.

Por tanto, qué me estás contando Restituto?

Claro, RDC, pero me quieres hacer creer que aún no te has enterado que eso se hace (entre otras maneras) con una extensión de los reales, los hiperreales, y no es posible (ni con tu peculiar demostración) en los reales, que es lo que tu llevas argumentando 28 páginas?

No te quiero hacer creer nada, tranquilo

Un saludo

[feriva]

Buenas tardes, RDC.

Hola feriva. muy interesante lo que expones.

Otra idea, que surgen de forma natural de esta explicación tuya es que podemos tomar un real cualquiera del intervalo [0,1] como un subconjunto de los naturales. Es decir, todo subconjunto de los naturales, traducirlo a una cadena de cifras y esta que represente la parte decimal de un real que pertence al intervalo [0,1]. Eso sí, hay que matizar algunas cosillas:

Spoiler

por ejemplo, que el conjunto {9,9,9,9,9,...} o bien {6,7,8,9,9,9,9,9,9,9,...} y otros por el estilo generan el mismo real que los conjuntos del tipo $$\emptyset$$ o {6,7,9} respectivamente.

O bien, que los conjuntos como {1,11} generan el mismo real que el conjunto {111} o el conjunto {2,43,44} el mismo que el {24,344} o que {2,4,344} o que {2,4344} o simplemente que el conjunto de un elemento {243444}

[cerrar]

Un ejemplo:

Subconjunto de los naturales $$\longrightarrow{\textrm{Real del intervalo} [0,1]}$$
\( \emptyset\longrightarrow{0} \)
\( \left\{{1}\right\}\longrightarrow{0,1} \)
\( \left\{{2}\right\}\longrightarrow{0,2} \)
\( \left\{{1,2}\right\}\longrightarrow{0,12} \)
\( \left\{{3}\right\}\longrightarrow{0,3} \)
\( \left\{{1,3}\right\}\longrightarrow{0,13} \)
\( \left\{{2,3}\right\}\longrightarrow{0,23} \)
\( \left\{{1,2,3}\right\}\longrightarrow{0,123} \)
\( \left\{{4}\right\}\longrightarrow{0,4} \)
\( \left\{{1,4}\right\}\longrightarrow{0,14} \)
\( \left\{{1,2,4}\right\}\longrightarrow{0,124} \)
\( \left\{{1,3,4}\right\}\longrightarrow{0,134} \)
\( \left\{{1,2,3,4}\right\}\longrightarrow{0,1234} \)
etc

Hasta ahí bien, pero depende de cómo sigas. Ten en cuenta que estás usando los símbolos de los números como si fueran cifras. Es decir, si tienes este conjunto {11,234} tendrías que usar el 11 como una sola cifra, al igual que el 234, podrías escribirlo así, por ejemplo: 0,(11)(234). Y así sí los vas a poder biyectar.

Supone escribir en una base infinita numerable de símbolos, que por una parte aumenta muchísimo el cardinal, pero como por otra no importa el orden y los símbolos de cada cifra no se repiten en los números, se compensa.

Saludos.

[RDC]

Estaba mirando, esta tarde, si al comparar todos los elementos de dos conjuntos numéricos infinitos (de reales, naturales, racionales, irracionales, etc), era posible valorar si alguno de los elementos de uno de los conjuntos era menor (o mayor) que cualquier elemento del otro conjunto.

Cuando tenemos conjuntos como $$A=\left\{{1/n; n\in{\Bbb N}}\right\}$$ y $$B=\left\{{1/(n+c)}n\in{\Bbb N}:c\in{\Bbb N}\textrm{; c es una constante natural}\right\}$$, esta valoración parece fácil, porque al aplicar la "diferencia simetrica" entre ambos conjuntos obtenemos:

$$A\Delta B=\left\{{1/c}\right\}$$ y ello nos indica que los únicos elementos que no comparten A y B son los de valores más grandes que $$1/c$$. Por tanto, no hay elementos en A que sean menores a cualquier elemento de B.

Por ejemplo, si $$c=3$$, entonces:

$$A\Delta B=\left\{{1,\displaystyle\frac{1}{2},\displaystyle\frac{1}{3}}\right\}$$. Estos son los únicos elementos que no tiene el conjunto B y sí tiene A. Por lo tanto, todos los demás elementos de A, que son todos inferiores a $$1/3$$, también los tiene B.

Pero imaginemos que tenemos el conjunto de todos los racionales positivos, $$\Bbb Q^+$$, y le quitamos el subconjunto $$A$$ anterior.

$$\Bbb Q^+ - A=C$$

Sabemos que no habrá ningún elemento de C que sea menor que cualquier elemento de A.

Ahora bien, ¿existirá algún elemento de A que sea menor a cualquier elemento de C?

No sé muy bien como tratar esto mediante conjuntos.

Saludos



Edito: corrijo lo rojo, $$\Bbb Q^+$$ representa el conjunto de todos los racionales positivos, sin el 0

[Eren]

Hola, RDC.

Lo que estás planteando aquí es determinar las cotas de diferentes conjuntos, y no creo que el cálculo de la diferencia simétrica sea la forma más conveniente de tratar el problema en general.

Pero imaginameos que tenemos el conjunto de todos los racionales, $$\Bbb Q$$, y le quitamos el subconjunto $$A$$ anterior.

$$\Bbb Q - A=C$$

Sabemos que no habrá ningún elemento de C que sea menor que cualquier elemento de A.

Esto es falso. Si \( C \) consiste de todos los racionales excepto aquellos de \( A \), está claro que contiene elementos que son menores que cualquier elemento de \( A \), como, por ejemplo, el \( 0 \). Esto es por que \( A \) tiene al cero como su mínima cota inferior, pero \( 0\notin A \), luego todos los racionales no positivos (los cuales están todo contenidos en \( C \)) serán menores que cualquier elemento de \( A \).

Ahora bien, ¿existirá algún elemento de A que sea menor a cualquier elemento de C?

No, por lo explicado en el párrafo anterior. Si eliges cualquier \( x\in C \) que sea no positivo, no encontrarás ningún elemento en \( A \) que sea menor que dicho número, lo que es equivalente a decir que no existe ningún elemento de \( A \) que sea mayor que todo elemento de \( C \).