Emplear argumentos del análisis estándar para deducir la existencia de elementos de análisis no estándar es absurdo. Los irracionales entre 0 y 1 son cadenas de cifras decimales infinitas no periódicas. Un irracional es eso, que se sostiene por el axioma del supremo. Tu “argumento” produce un d, tendrá una cifra decimal distinta de cero. De lo contrario será el 0. Ese d es más grande que el racional formado por un 1 inmediatamente a la derecha de esa cifra. Que además es un elemento de A. La conclusión es absurda porque los argumentos usados también lo son.
Quam natura non dat, rincón matemático non prestat
En principio no estoy haciendo nada de análisis, ni estandard ni no estandard, sino que me limito al ámbito de teoría de conjuntos.
1º demostrar que ningún subconjunto de los racionales tendrá, jamás, un elemento menor que cualquier elemento del conjunto A, formado por los elementos del tipo $$1/n$$, siendo $$n$$ un natural cualquiera. Para ello no uso ni límites, ni supremos, ni aproximaciones, simplemente la operación entre conjuntos llamada "diferencia simétrica".
2) Luego comparo todos los elementos del conjunto A con todos los elementos de un conjunto B, formado por todos los elementos irracionales del tipo $$(\pi-3)/n$$. Una de las formas que he hecho es empleando una lista de todos los elementos de A relacionados con todos los elementos de B de forma que $$(\pi-3)/n<1/n$$, para, ademas, generar una función $$f(d_n)$$, que al tomar la lista completa debe dar un valor inferior a cualquier racional posible.
Ahora bien, y por otro lado, también es cierto que mediante el concepto de ínfimo se puede demostrar que los reales son arquimedianos.
Luego si uno quiere emplear infintiesimales para hacer análisis, o no, es decisión suya y su capricho.
Breve artículo sobre diferencias entre el análisis y la teoría de conjuntos:
Spoiler
El análisis y la teoría de conjuntos son dos ramas fundamentales de la matemática que, aunque pueden tener intersecciones, se ocupan de diferentes aspectos y tienen enfoques distintos.
Análisis Matemático
El análisis matemático es una rama de la matemática que se centra en el estudio de funciones, límites, continuidad, derivadas, integrales y series infinitas. Es esencialmente el fundamento del cálculo diferencial e integral.
Características y Áreas Clave:
- Funciones y Límites: El análisis estudia las propiedades de las funciones y cómo se comportan cuando se acercan a ciertos puntos (límites).
- Derivadas: La derivada mide cómo cambia una función a medida que cambia su entrada. Es fundamental en el estudio de tasas de cambio.
- Integrales: La integral se utiliza para calcular áreas bajo curvas y es fundamental en el cálculo de volúmenes y otras cantidades.
- Series Infinitas: El análisis también estudia sumas infinitas de términos y su convergencia.
- Análisis Real y Complejo: Se divide en el análisis de funciones de una variable real y de una variable compleja, con aplicaciones en muchas áreas de la ciencia y la ingeniería.
Aplicaciones:
- Física y Ingeniería: Utilizado para modelar y resolver problemas relacionados con el movimiento, la electricidad, la mecánica de fluidos, etc.
- Economía y Finanzas: Modelado de crecimiento, optimización de recursos, cálculo de tasas de interés y otras aplicaciones.
- Biología y Medicina: Modelado de sistemas biológicos, crecimiento poblacional, difusión de enfermedades, etc.
Teoría de Conjuntos
La teoría de conjuntos es la rama de la matemática que estudia los conjuntos, que son colecciones de objetos. Es fundamental para la estructura lógica de la matemática y es la base sobre la cual se construyen otras teorías matemáticas.
Características y Áreas Clave:
- Definición de Conjuntos: Un conjunto es una colección de objetos considerados como una entidad.
- Operaciones con Conjuntos: Incluye la unión, intersección, diferencia y complemento de conjuntos.
- Cardinalidad: Estudia el tamaño de los conjuntos, incluyendo el concepto de infinitos y la comparación de diferentes tamaños de infinitos.
- Axiomas de la Teoría de Conjuntos: Incluye sistemas axiomáticos como el de Zermelo-Fraenkel (ZF) con el axioma de elección (ZFC), que proporciona una base rigurosa para la teoría de conjuntos.
- Conjuntos Infinitos: Introduce y estudia conjuntos infinitos y su cardinalidad, como los números naturales, los números reales, etc.
Aplicaciones:
- Fundamentos de la Matemática: Proporciona la base para la mayoría de las otras ramas de la matemática, incluyendo el análisis, álgebra, topología, etc.
- Lógica Matemática: Utilizado para formalizar sistemas matemáticos y estudiar su consistencia y completitud.
- Computación: Base para el diseño y análisis de algoritmos, estructuras de datos y lenguajes de programación.
Diferencias Clave
- Enfoque: El análisis se centra en funciones, límites, derivadas, integrales y series, mientras que la teoría de conjuntos se centra en la naturaleza de los conjuntos y sus propiedades.
- Métodos: El análisis utiliza métodos como el cálculo diferencial e integral, la teoría de límites y la convergencia, mientras que la teoría de conjuntos utiliza métodos axiomáticos y lógicos.
- Aplicaciones: Aunque ambos tienen aplicaciones amplias, el análisis es más aplicado en ciencias y ingeniería, mientras que la teoría de conjuntos es fundamentalmente teórica y proporciona la base lógica para toda la matemática.
Ambas ramas son esenciales para el desarrollo de la matemática moderna y tienen aplicaciones y metodologías únicas que contribuyen de manera crucial a la comprensión y el avance de la matemática y sus aplicaciones.
