No entiendo esto que dices. Yo nunca he dicho que no exista ningún real menor que otro que escoja. Yo digo que habría irracionales menores a cualquier racional. Y esto no es ni raro ni imposible ni estravagante, el análisis no estandar trabaja con ello sin problemas. Lo único que digo es que se puede demostrar sin emplear ultrafinos y cosas así, simplemente, comaprando de esta forma los conjuntos de números racionales e irracioanles.
Pero es que un irracional es por definición un real. Es como si me dices “yo no he dicho nunca que haya una fruta más pequeña que todas las demás frutas, he dicho que hay melocotones más pequeños que todas las frutas”. Los melocotones son frutas, luego para que eso tenga sentido tienes que apartar los melocotones de las frutas o considerarlos como frutas especiales. Pero si haces eso, ¿qué razonamiento usas? Eso no es un razonamiento hasta ahí, sería un razonamiento si demuestras que tales frutas tienen una propiedad especial; y tal cosa es lo que a mí me gustaría ver.
¿Cuál es la propiedad especial, que no son periódicos, eso hace que pueda haber irracionales más pequeños que
cualquier todos los racional? Por lo que yo razono (y ya he dejado expuestos mis razonamientos) eso no es cierto. Y no sólo no es cierto, sino que es obvio: si a cualquier irracional le quitas cifras (es decir, si lo aproximas a un racional) lo reduces en valor, no lo aumentas. ¿Cuál es el argumento entonces para que existan irracionales menores que
todos los racionales? No he visto en ningún sitio que lo expliques. Ya lo explico yo:
La única manera es definir por la cara que existen irracionales así
0,000... (infinitos ceros)... cifras distintas de cero.
Bien, pero ya no son reales, directamente. Ahora, ¿qué hace que sean no reales irracionales, acaso no pueden ser periódicos?
Sí lo pueden ser, en el mismo sentido que los reales, podrían ser así
0,000... (infinitos cero) 2467724677... (infinitos periodos)
pero no son reales porque tienen más de \( \aleph_{0} \) cifras al haber cifras detrás del infinito numerables.
Y eso no lo puedes deducir, a no ser que nos digas primeramente qué definición usas de irracional y como deduces de esa definición que tienen que existir.
Yo ya he dicho las definiciones de racionales e irracionales que uso (las que usa todo el mundo) si nos dices cuáles usas tú, pues a lo mejor sí se puede deducir la existencia de eso, pero no los has definido y, en consecuencia, no puedes razonar nada, porque no tienes una definición previa de donde partir.
Saludos.
