[RDC]

Hola:

...
Pues yo entiendo que mi razonamiento es muy diferente. Obviamente si fuese tal y como dices sería absurdo. Lo que digo es que dado dos conjuntos A y B tales que:

$$A=\left\{{a_1,a_2,...a_n}\right\}$$

$$B=\left\{{b_1,b_2,...b_n}\right\}$$

donde $$a_n<a_{n+1}$$ y $$b_n<b_{n+1}$$ y, además, $$a_n<b_n$$, entonces existirá un elemento en A menor a todo elemento de B.

Por ejemplo:

si n=3,  $$A= \left\{{(\pi-3), (\pi-3)/2,(\pi-3)/3}\right\}$$ y $$B=\left\{{1,1/2,1/3}\right\}$$

está claro que A tiene un elemento menor que todos los elementos de B, en este caso es $$(\pi-3)/3$$

si n=5, $$A= \left\{{(\pi-3), (\pi-3)/2,(\pi-3)/3,(\pi-3)/4,(\pi-3)/5}\right\}$$ y $$B=\left\{{1,1/2,1/3,1/4,1/5}\right\}$$

está claro que A tiene un elemento menor que todos los elementos de B, en este caso es $$(\pi-3)/5$$

este razonamiento es muy claro para conjuntos de un número finitos de elementos. lo que podemos discutir, entonces, es si se puede pasar tal conclusión para conjuntos de infintios elementos

Me parece que para que el ejemplo encaje debería ser \( a_{n+1}<a_n \), \( b_{n+1}<b_n \) y \( a_n<b_n \).

Sí, tienes razón

Si tomamos los infintios elementos de los conjuntos A y B de forma iterativa está claro que no podemos sacar conclusión a tal argumento.

¡Claro que no, porque ese elemento menor que todos los elementos de \( A \) no tiene ni porqué pertenecer a \( A \)

No entiendo eso

[RDC]

Hola Luis

Hola

De nuevo ese comienzo de frase delata que no entiendes como hay que argumentar. No se trata de que dejes de caer la pregunta "¿por qué no podemos inferir bla bla", sino que deberías decir: "yo afirmo que de ahí se infiere tal cosa, y lo justifico en la propiedad tal, teorema tal, definición tal, axioma tal... ". A lo mejor en un primer momento, no dar la justificación en todo detalle pero a medida que te discute el asunto ser capaz de ir precisando el argumento. Pero no sales del "¿y por qué no?".

El porqué no ya te lo ha explicado geómetracat; subrayo que tiene dos vertientes: una porque lo que pretendes inferir te han demostrado que es falso; dos porque no hay ninguna regla lógica, teorema, definición, axioma,... que te permita afirmar tal cosa. ¿La hay? Cítalas...

Spoiler

En cualquier caso por eso planteé esa posible demostración, algo más compleja, y que he mejorado haciendo que ChatGPT se autocritique varias veces para luego vaya mejorando en base a esas criticas:

Otra vez. A pesar de que chatGPT no sabe hacer razonamientos matemáticos y a pesar de que ChatGPT (al menos en matemáticas)  te dará la razón en cualquier cosa si le insistes lo suficiente, ahí estás otra vez. Que juegues con él lo entiendo; que lo pongas en el foro como argumentación, no, francamente.

[cerrar]

Lo intentaré. (Por eso tiro un poco del chat para que me ayude a formalizar, que no a razonar -eso ya se lo digo yo). Y estoy de acuerdo, tiene bastantes limitaciones en matemáticas (no siempre sabe aplicar las definiciones y toeremas pertinentes, se olvida de algunos y cosas así), pero creo que vale la pena empezar a trastearlo porque en pocos años se iran eliminando todas estas limitaciones.

De todos modos, insisto, no lo uso para razonar, sino para que me ayude a formalizar mis razonamientos y que sea más fácil que se me entienda. Además,  si detecta que alguno de los razonamientos que se le dicta que formalice contradice alguna definición o teorema te lo dice. Por tanto, no es cierto que siempre "te dé" la razón, aunque siempre es empalagosamente asertivo. 

Spoiler

Pues yo entiendo que mi razonamiento es muy diferente. Obviamente si fuese tal y como dices sería absurdo. Lo que digo es que dado dos conjuntos A y B tales que:

$$A=\left\{{a_1,a_2,...a_n}\right\}$$

$$B=\left\{{b_1,b_2,...b_n}\right\}$$

donde $$a_n<a_{n+1}$$ y $$b_n<b_{n+1}$$ y, además, $$a_n<b_n$$, entonces existirá un elemento en A menor a todo elemento de B.

Lo que está en rojo está mal escrito. Supongo que querías decir que ambas sucesiones están en orden decreciente:

\( a_i>a_{i+1} \), \( b_i>b_{i+1} \) para \( i=1,2,3,\ldots,n-1 \)

Y si, efectivamente en ese caso existe un elemento en \( A \) menor que todos los de \( B \). Y se puede demostrar. Tal elemento es \( a_n \).

Efectivamente por hipótesis \( a_n<b_n \); y también por hipótesis los elementos de \( B \) están en orden decreciente así que dado cualquier \( b_i\in B \) con \( i\in \{1,2,\ldots,n\} \), se cumple que \( b_n\leq b_i \) y por la propiedad transitiva de la relación de orden \( \leq  \),

\( a_n<b_n,\quad b_n\leq b_i\quad \Rightarrow{}\quad a_n<b_n\leq b_i\quad \Rightarrow{}\quad a_n<b_i \) para todo \( i\in \{1,2,\dots,n\} \).

Entonces SI, la afirmación para conjuntos finitos con las hipótesis que indicas es cierta. Y no se basa en lanzar la pregunta al aire. ¿Por qué no voy a poder afirmar...?. Sino qué se demuestra explícitamente basándose en las hipótesis y en las propiedades de una relación de orden.

Si tomamos los infintios elementos de los conjuntos A y B de forma iterativa está claro que no podemos sacar conclusión a tal argumento. Ahora bien, si consideramos ambos conjuntso como un todo, es decir, si consideramos a "todos lso elementos del conjunto A" respecto a todos los elementos del conjunto B, entonces entiendo que sí es factible sacar conclusión.

No se que es para ti tomar los elementos de forma iterativa o considerar los conjuntos como un todo; sea como sea "entiendo que si es factible sacar la conclusión", no es un argumento, no es una demostración. Es una idea que tienes en la cabeza; a lo mejor a fulanito le parece factible sacar de ahí la conclusión de que hay números negativos mayores que cero; y a menganito que el Teorema de Fermat es cierto... Pero RDC, fulanito  o menganito tienen que presentar algún tipo de argumento basado en definiciones, teoremas, proposiciones, aximomas... que lo demuestre.

En este caso, aún encima, es trivial de mostrar que es IMPOSIBLE que exista un elemento de \( A \) menor que todo los de \( B \).

Spoiler

Prueba rápida y repetida varias veces. Si \( \dfrac{\pi-3}{n_0} \) fuese tal elemento de \( A \) tendría que cumplir:

\( \dfrac{\pi-3}{n_0}<\dfrac{1}{m} \) para todo \( m\in \Bbb N \)  (*)

Pero si tomamos por ejemplo \( m=10n_0 \), entonces:

\( \dfrac{\pi-3}{n_0}>\dfrac{0.1}{n_0}=\dfrac{n_0}{10n_0}=\dfrac{1}{m} \)

luego falla (*). Contradicción: no es cierto que \( \dfrac{\pi-3}{n_0} \) sea menor que todo elemento de \( B \).

[cerrar]

Pero cuando tienes que A es un subconjunto de irracionales y B un subconjunto de racionales, y que no existe ningún otro subconjunto de racionales que tenga algún elemento menor que todos los elemento de B ¿acaso la situación no es diferente?

Esto es otra constante. Intentan ponerte analogías para hacerte "caer de la burra" (permíteme la frase coloquial) . Y te refugias en que son situaciones diferentes. Ciertamente lo son, porque si no no serían analogías, sino serían EXACTAMENTE la misma cosa. Pero las diferencias no son esenciales. Pero a ti te da igual que sean o no esenciales.
[/quote]

Luís, he intentado tratar de forma más precisa todo esto en la última respuesta de geómetrecat.

[cerrar]

Modificación de la Función \( f \)

La nueva definición de la función \( f \) es:
\[
f(d_n) = \frac{d_n}{10^n}
\]
Esta modificación parece más robusta, pero es necesario revisarla a fondo para asegurarse de que efectivamente cumple con las propiedades deseadas.

Aquí ChatGPT hace una modificación bastante ingenua; antes ya construía un \( f(d_n) \) más pequeño de \( d_n \). Ahora, no se que le has dicho, pero parece que se queda más tranquilo si lo construye, "muuucho" más pequeño.

Bueno, aquí sí le dejé que razonara más y le dije algo así: imagina que eres un matemático muy crítico con la existencia de infinitesimales, con lo cual, de buenas a primeras no te convence nada este procedimiento. Analiza de forma rigurosa empleando los teoremas y definiciones matemáticos pertinentes buscando errores o aspectos dudosos que deberían, como mínimo, esclarecerse.

Luego señaló básicamente, que los infinitesimales sólo se aceptan en análisis no estándard, y luego que no quedaba muy claro que el número $$f(d_n)$$ fuera realmente menor al $$1/n$$ de la lista (¿No me habías señalado algo parecido también?). Entonces le volví a decir:

Revisa de nuevo el procedimeinto mejorando y arreglando los aspectos señalados antes por el "matemático crítico".  y sacó lo que compartí.

Antes ya tenías que \( f(d_n)<d_n<\dfrac{1}{n} \).

El error está en inferir (sacarse de la manga, inventarse) de ahí que, existe un irracional positivo menor que todos los números de la forma \( 1/n \).

En ese sentido antes te comenté que parece que piensas que el tener una lista infinita de cosas mágicamente demuestra la existencia de "algo"; y no una lista infinita de cosas es sólo eso. Luego tu dirás lo que quieres hacer con ella; aplicarte tal o cual razonamiento, calcular tal o cuál límite,.. lo que sea; y veríamos que se deduce de ahí en consecuencia.

Creo que este es el punto: no tengo una lista de infinitas de cosas (eso es pensar la cuestión iterativamente). Lo que establezco es  que  tengo la lista de todos los elementos del tipo $$1/n$$ relacionados con todos los elementos del tipo $$\displaystyle\frac{pi-3}{n}$$, en la forma $$\displaystyle\frac{pi-3}{n}<1/n$$. Y sobre esta lista completa de $$n$$ valores genero $$f(d_n)$$, como un valor tal que $$f(d_n)<1/n$$.

Un saludo

[feriva]

Buenos días, RDC.

Le dices a Geómetracat esto

Nos vamos entendiendo (ya no me atribuyes razonamientos raros como eso del padre).

Y no te está atribuyendo ningún razonamiento “raro”, te está atribuyendo una afirmación que no se sostiene sobre ningún razonamiento, se sostiene sobre una elección arbitraria; y es la afirmación que dice que existe un número menor que todos los reales (tú le llamas irracional sin justificar por qué tendría que ser irracional). Está afirmación no nace de ninguna deducción.

Es obvio que existe un real menor que cualquier real que elijas, pero también puedes elegir uno más pequeño que ese que has elegido; luego no existe uno que sea menor que todos. Sí tú dices que existe, es porque sí, lo único que te está diciendo es que no justificas esa elección. Y yo pienso que, entre hombres de buena voluntad, esto debe quedar ya acordado a estas alturas de la discusión (para que no se haga infinito numerable el debate, como ya se ha mencionado).

Si crees que se puede demostrar, inténtalo, no pongas ejemplos con letras; letras que no demuestran nada, porque no las caracterizas.

Un número irracional es el que no repite secuencias iguales de cifras infinitamente; si las repite en cantidad finita, entonces sí pueden venir más cifras detrás, y si ahí detrás ya no se forman más secuencias (en cantidad in finita) entonces es irracional.

De algún modo, esa una cuestión de divisibilidad:

Un periodo no es un trozo con unas cifras especiales, es cualquier trozo que se repita infinitamente, puede ser tan largo como sea y tener las cifras que sea:

\( 0,235{\color{brown}0123456789101112131141516}{\color{blue}0123456789101112131141516}0{\color{red}01234567...} \) sin fin de repeticiones. Esto es un periodo.

Pero pese a ser una cuestión de divisibilidad, no es fácil verlo como vemos los enteros en la aritmética, considerando el MCD, el mcm, los coprimos... etc.

Aquí la cuestión no está en solamente un resto, ésa es la diferencia principal, está en muchos restos relativos a las particiones de la unidad que hagamos al dividir (según lo que indique la base que utilicemos; base diez o la que sea).

Si en un momento dado vemos que la división se repite y que ya sale el mismo periodo para siempre (sea de ceros u otros) la división se acaba; seguir haciendo la cuenta y dividir por dividir es tontería. Así que, si se acaba, el cociente es racional, y, si no se acaba, es irracional. Simplemente eso.

Dicho esto, empieza por justificar por qué si la divisón, \( \dfrac{3-\pi}{n} \) no se acaba, entonces el valor del cociente puede ser menor que el de otra que sí se acaba.

Si lo analizas, no tiene nada que ver; si acaso, como te dije, seria al revés; pero tampoco es al revés porque los números se estiran todo lo que quieras.

La única manera de que eso sea menor que cualquier irracional (o racional) sería decir que existe un “n” infinitamente grande que ya no es real (sin que nada tenga que ver en ello que el numerador de la fracción sea un racional o un irracional, o sea, sin que nada tenga que ver con ello que la división se acabe o no).

Pero sería una elección, nunca una deducción.

...y paz a los hombres de buena voluntad.

Saludos.

[Restituto]

Primero: por la diferencia simétrica de conjuntos podemos cambiar el conjunto X por el conjunto B, cuyos elementos son (recuerdo) $$b_n=\frac{1}{n}$$.

Segundo: lo que sí tenemos ahora es, únicamente, que $$y_n<b_n$$, es decir, $$\displaystyle\frac{\pi-3}{n}<\displaystyle\frac{1}{n}$$. Y no parece que tengamos nada más. ¿Me equivoco? ¿Me lo estoy inventando? ¿es una mera apreciación mia?

Tercero: ante esta situación peculiar y muy diferente a lo anterior, simplemente generalizo:

si para todo elemento de B siempre habrá, como mínimo, un elemento de Y que será menor, entonces  para el conjunto de todos los elementos de B hay al menos un valor de Y que ha de ser menor a todos ellos. Dicho de otro modo, $$\exists{y_n},y_n>1/n$$

Obviamente esto implica, por definición, que este $$y_n$$ sea un infinitesimal.

Pero es que este razonamiento es puerilmente erróneo así que no me parece que hayas hecho el intento de entender las correcciones que te han hecho. Una cosa es que puedas comprobar la desigualdad para un valor dado de n común a los 2 conjuntos y otra muy distinta lo que llamas generalizar eso a todos los elementos donde ya no fijamos un solo valor de n, que como sabes no está acotado por arriba, por lo cual no se sigue lo que tu concluyes, como también muestra geometracat con su analogía.

[Restituto]

Fíjate que tu argumento sirve también para "probar" que hay un racional menor que todos los irracionales usando \( 1/n<e/n \).

[ani_pascual]

Hola:

...

¡Claro que no, porque ese elemento menor que todos los elementos de \( A \) no tiene ni porqué pertenecer a \( A \)

No entiendo eso

Si los conjuntos son finitos y de mismo cardinal \( N \), es decir, \( A=\{a_n\}_{1\leq N} \) con \( a_n=\dfrac{\pi-3}{n} \) y \( B=\{b_n\}_{1\leq N} \) con \( b_n=\dfrac{1}{n} \), cumpliendo \( a_n\leq b_n, a_{n+1}<a_n, b_{n+1}<b_n,\,\forall\,1\leq n\leq N \), es claro que \( a_N=\min \{A\}\in A \) y además \( a_N\leq b_n,\,\forall\,1\leq n\leq N \). Sin embargo, si \( A \) y \( B \) son infinito numerables, es decir, \( A=\{a_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) con \( a_n=\dfrac{\pi-3}{n} \) y \( B=\{b_n\}_{n\in\mathbb{N}} \) con \( b_n=\dfrac{1}{n} \), cumpliendo también que \( a_n\leq b_n, a_{n+1}<a_n, b_{n+1}<b_n,\,\forall\,n\in\mathbb{N} \), es claro que NO hay ningún elemento de \( A \) que sea menor que todos los elementos de \( A \) pues \( \inf \{A\}=0\notin A \) y obviamente, tampoco hay un elemento de \( A \) que sea menor que TODOS los elementos de \( B \), dado que también \( \inf\{B\}=0\notin B  \).
Saludos 🖐🏻

[RDC]

Fíjate que tu argumento sirve también para "probar" que hay un racional menor que todos los irracionales usando \( 1/n<e/n \).

Para nada. No entiendes lo que escribo

Para que eso demostrara que hay un racional menor que todos los irracionales antes debes demostrar que no hay ningún irracional que sea menor a todos los números irracionales del tipo $$e/n$$.

Espero la demostración.

[RDC]

Hola feriva

Buenos días, RDC.


geómetracat no te está atribuyendo ningún razonamiento “raro”, te está atribuyendo una afirmación que no se sostiene sobre ningún razonamiento, se sostiene sobre una elección arbitraria; y es la afirmación que dice que existe un número menor que todos los reales (tú le llamas irracional sin justificar por qué tendría que ser irracional). Está afirmación no nace de ninguna deducción.

No es cierto feriva, no me lo dice por eso. Este razonamiento no es raro, simplemente no es válido para el análisis estándard pero si en el análisis no extandard. Él me decía lo del argumento raro por otra cosa, que ciertamente, luego, concluía con la existencia de un elemento que debería ser infinitesimal. Pero yo no razonaba como él entendía que lo hacía.

Es obvio que existe un real menor que cualquier real que elijas, pero también puedes elegir uno más pequeño que ese que has elegido; luego no existe uno que sea menor que todos. Sí tú dices que existe, es porque sí, lo único que te está diciendo es que no justificas esa elección. Y yo pienso que, entre hombres de buena voluntad, esto debe quedar ya acordado a estas alturas de la discusión (para que no se haga infinito numerable el debate, como ya se ha mencionado).

No entiendo esto que dices. Yo nunca he dicho que no exista ningún real menor que otro que escoja. Yo digo que habría irracionales menores a cualquier racional. Y esto no es ni raro ni imposible ni estravagante, el análisis no estandar trabaja con ello sin problemas. Lo único que digo es que se puede demostrar sin emplear ultrafinos y cosas así, simplemente, comaprando de esta forma los conjuntos de números racionales e irracioanles.

Si crees que se puede demostrar, inténtalo, no pongas ejemplos con letras; letras que no demuestran nada, porque no las caracterizas.

Un número irracional es el que no repite secuencias iguales de cifras infinitamente; si las repite en cantidad finita, entonces sí pueden venir más cifras detrás, y si ahí detrás ya no se forman más secuencias (en cantidad finita) entonces es irracional.

De algún modo, esa una cuestión de divisibilidad:

Un periodo no es un trozo con unas cifras especiales, es cualquier trozo que se repita infinitamente, puede ser tan largo como sea y tener las cifras que sea:

\( 0,235{\color{brown}0123456789101112131141516}{\color{blue}0123456789101112131141516}0{\color{red}01234567...} \) sin fin de repeticiones. Esto es un periodo.

Pero pese a ser una cuestión de divisibilidad, no es fácil verlo como vemos los enteros en la aritmética, considerando el MCD, el mcm, los coprimos... etc.

Aquí la cuestión no está en solamente un resto, ésa es la diferencia principal, está en muchos restos relativos a las particiones de la unidad que hagamos al dividir (según lo que indique la base que utilicemos; base diez o la que sea).

Si en un momento dado vemos que la división se repite y que ya sale el mismo periodo para siempre (sea de ceros u otros) la división se acaba; seguir haciendo la cuenta y dividir por dividir es tontería. Así que, si se acaba, el cociente es racional, y, si no se acaba, es irracional. Simplemente eso.

Dicho esto, empieza por justificar por qué si la divisón, \( \dfrac{3-\pi}{n} \) no se acaba, entonces el valor del cociente puede ser menor que el de otra que sí se acaba.

Si lo analizas, no tiene nada que ver; si acaso, como te dije, seria al revés; pero tampoco es al revés porque los números se estiran todo lo que quieras.

La única manera de que eso sea menor que cualquier irracional (o racional) sería decir que existe un “n” infinitamente grande que ya no es real (sin que nada tenga que ver en ello que el numerador de la fracción sea un racional o un irracional, o sea, sin que nada tenga que ver con ello que la división se acabe o no).

Pero sería una elección, nunca una deducción.

...y paz a los hombres de buena voluntad.

Saludos.

Entiendo que no aceptas los infinitesimales porque no sabes como tratarlos al considerarlos cadenas de infinitas cifras decimales. Pero, insisto, no estamos discutiendo si existen o no existen, pues está claro que existen (en análisis no estandard), sino si se puede demostrar que existen mediante este procedimeinto de conjuntos.

Un saludo

[EJ]

Emplear argumentos del análisis estándar para deducir la existencia de elementos de análisis no estándar es absurdo. Los irracionales entre 0 y 1 son cadenas de cifras decimales infinitas no periódicas. Un irracional es eso, que se sostiene por el axioma del supremo.  Tu “argumento” produce un d, tendrá una cifra decimal distinta de cero. De lo contrario será el 0. Ese d es más grande que el racional formado por un 1 inmediatamente a la derecha de esa cifra. Que además es un elemento de A. La conclusión es absurda porque los argumentos usados también lo son.

Quam natura non dat, rincón matemático non prestat

[RDC]

Emplear argumentos del análisis estándar para deducir la existencia de elementos de análisis no estándar es absurdo. Los irracionales entre 0 y 1 son cadenas de cifras decimales infinitas no periódicas. Un irracional es eso, que se sostiene por el axioma del supremo.  Tu “argumento” produce un d, tendrá una cifra decimal distinta de cero. De lo contrario será el 0. Ese d es más grande que el racional formado por un 1 inmediatamente a la derecha de esa cifra. Que además es un elemento de A. La conclusión es absurda porque los argumentos usados también lo son.

Quam natura non dat, rincón matemático non prestat

Insisto, no tengo una lista de infinitos elementos, con lo cual cabe pensar q para cada hilera haya un irracional menor que el racional relacionado, pero mayor que algun racional que habra en otra hilera mas abajo. Y podamos ir iterando este razonamiento indefinidamente, tal y como dices.

Lo que tengo es una lista con todos los racionales del tipo $$1/n$$, con todos los irracionales generados por la funcion $$f(d_n)$$.

Saludos