[feriva]

Entiendo, entonces, al descubrir que cualqueir número racional se puede escribir como una cadena finita de cifras simplemente escogiendo una unidad base adecuada.

lo que ocurre es que se roducen muchas repeticiones de cadenas que representan el mismo número, por ejemplo, 10 en base decimal es 10 y en base binaria es el 2.

Aunque no cambies la base, y uses una fija, la cantidad de variaciones con repetición son menos si repites periodos que si no; intuitivamente. Pero si quieres entrar en ejemplos de conteo, mejor que te diga Luis o Geómetracat.

En cualquier caso, ya he dicho que eso es intuitivo, porque no se ve bien la biyección cifra a cifra; así que no merece mucho la pena teniendo el ejemplo de la diagonal.

Vale, me dices que compare el conjunto de todos los valores que da $$(pi-3)/n$$ (el conjunto A) con todos los infinitos valores que da $$1/10^n$$ (el conjunto B).

como he dicho antes, ahora podemos formar e conjunto C como el conjunto de todos los valores $$1/n$$. ¿Existe algún valor de B que sea, definitivamente, más pequeño que todos los valores de C? no.

Por tanto, ahora podemos reformular la pregunta: ¿existe algún valor en C que sea menor que todos los valores de A? Lo que tenemos al comparar A y C es que $$a_n<c_n$$. de aquí yo entiendo que podemos suponer la existencia de un valor de A que será menor que todos los valores de C, y por ende, también de B.

En el tema de conjuntos y expresiones de los mismos, también es mejor que sean los matemáticos los que te expliquen.

Yo sólo digo que un número así 0,000... es racional siempre salvo que detrás de los ceros venga una hilera de cifras que no forme un periodo; y, si no viene esto, sólo pueden venir más ceros o un periodo , con lo cual el número sería cero u otro racional.
Entonces, en el momento que empiezan a aparecer otros números, pongamos por ejemplo, 0,000...245... basta quitar las atrás y tenemos un racional 0,000...2
La única posibilidad para que no sea racional estaría en las cifras de "detrás del infinito", pero entonces no ya no es tampoco irracional, es un infinitesimal. Y un infinitesimal no está en la tabla de Cantor, es trivial, no se demuestra, porque, al tener cifras "detrás del infinito", tiene más de "n" cifras de forma obvia, no es demostrable a través de la tabla de Cantor.

Saludos.

[geómetracat]

aquí no tengo ninguna objeción porque estoy de acuerdo. A comparar los conjuntos de todos los valores $$1/n$$ (llamado A) con el conjunto de todos los valores de $$\pi/m$$, (llamado B), podríamos afirmar que en el conjunto A hay al menos un elemento menor que en B.

Pero, y ¿eso qué demostraría en contra de que existan irracionales menores que cualqueir racional?

Nada, pero tampoco lo haría el ejemplo con \( \pi-3 \). Solo quería entender tu razonamiento, pero sigo sin entenderlo, me parece bastante arbitrario. ¿Si puedo tomar \( m=n \) sí funciona el argumento pero si no, no?

Entonces, si \( A \) es el conjunto de los \( \frac{1}{n} \) y \( B_a \) el de los \( \frac{a}{n} \) (con \( a \) real), ¿según tú existe un elemento de \( A \) menor que todos los de \( B_a \) si y sólo si \( a<1 \)?

No sé, intento contestar a todo lo que me decís y si me equivoco lo corrijo.

Si el problema no es que no contestes, el problema es que eres impermeable a los argumentos que te damos. Por ejemplo:

Y cuando comparamos, entonces, todos los elementos de A con los  de C, sabiendo que $$a_n<c_n$$, pues, $$(\pi-3)/n<1/n$$, ¿Por qué no podemos inferir que ello implica que habrá al menos un elemento de A que será menor que todos los elementos de C?

Pues porque es falso. Porque no se sigue de ningún razonamiento correcto. Yo leo esto y es como si estuviera leyendo: "Cada persona tiene un padre. ¿Por qué no podemos inferir de aquí que ello implica que habrá alguna persona que sea padre de todas las personas?"

Y que es falso es evidente: que una sucesión sea menor que otra no implica en ningún caso que un elemento de la primera sea menor que todos los elementos de la segunda. Puede pasar o puede no pasar, dependiendo de las sucesiones, pero no se sigue lógicamente de las premisas.
Si tomo \( a_n=\frac{1}{n} \) y \( b_n=\frac{1}{n+1} \) tengo que \( a_n<b_n \) para cada \( n \), pero no hay un \( n \) tal que \( a_n<b_m \) para todo \( m \). Eso sería tanto como decir que hay un natural mayor que todos los naturales.

[RDC]

aquí no tengo ninguna objeción porque estoy de acuerdo. A comparar los conjuntos de todos los valores $$1/n$$ (llamado A) con el conjunto de todos los valores de $$\pi/m$$, (llamado B), podríamos afirmar que en el conjunto A hay al menos un elemento menor que en B.

Pero, y ¿eso qué demostraría en contra de que existan irracionales menores que cualqueir racional?

Nada, pero tampoco lo haría el ejemplo con \( \pi-3 \). Solo quería entender tu razonamiento, pero sigo sin entenderlo, me parece bastante arbitrario. ¿Si puedo tomar \( m=n \) sí funciona el argumento pero si no, no?

Entonces, si \( A \) es el conjunto de los \( \frac{1}{n} \) y \( B_a \) el de los \( \frac{a}{n} \) (con \( a \) real), ¿según tú existe un elemento de \( A \) menor que todos los de \( B_a \) si y sólo si \( a<1 \)?

Pues sí, a eso me lleva este razonamiento.

Pues porque es falso. Porque no se sigue de ningún razonamiento correcto. Yo leo esto y es como si estuviera leyendo: "Cada persona tiene un padre. ¿Por qué no podemos inferir de aquí que ello implica que habrá alguna persona que sea padre de todas las personas?"

Pues yo entiendo que mi razonamiento es muy diferente. Obviamente si fuese tal y como dices sería absurdo. Lo que digo es que dado dos conjuntos A y B tales que:

$$A=\left\{{a_1,a_2,...a_n}\right\}$$

$$B=\left\{{b_1,b_2,...b_n}\right\}$$

donde $$a_n<a_{n+1}$$ y $$b_n<b_{n+1}$$ y, además, $$a_n<b_n$$, entonces existirá un elemento en A menor a todo elemento de B.

Por ejemplo:

si n=3,  $$A= \left\{{(\pi-3), (\pi-3)/2,(\pi-3)/3}\right\}$$ y $$B=\left\{{1,1/2,1/3}\right\}$$

está claro que A tiene un elemento menor que todos los elementos de B, en este caso es $$(\pi-3)/3$$

si n=5, $$A= \left\{{(\pi-3), (\pi-3)/2,(\pi-3)/3,(\pi-3)/4,(\pi-3)/5}\right\}$$ y $$B=\left\{{1,1/2,1/3,1/4,1/5}\right\}$$

está claro que A tiene un elemento menor que todos los elementos de B, en este caso es $$(\pi-3)/5$$

este razonamiento es muy claro para conjuntos de un número finitos de elementos. lo que podemos discutir, entonces, es si se puede pasar tal conclusión para conjuntos de infintios elementos

Si tomamos los infintios elementos de los conjuntos A y B de forma iterativa está claro que no podemos sacar conclusión a tal argumento. Ahora bien, si consideramos ambos conjuntso como un todo, es decir, si consideramos a "todos lso elementos del conjunto A" respecto a todos los elementos del conjunto B, entonces entiendo que sí es factible sacar conclusión.

Y que es falso es evidente: que una sucesión sea menor que otra no implica en ningún caso que un elemento de la primera sea menor que todos los elementos de la segunda. Puede pasar o puede no pasar, dependiendo de las sucesiones, pero no se sigue lógicamente de las premisas.
Si tomo \( a_n=\frac{1}{n} \) y \( b_n=\frac{1}{n+1} \) tengo que \( a_n<b_n \) para cada \( n \), pero no hay un \( n \) tal que \( a_n<b_m \) para todo \( m \). Eso sería tanto como decir que hay un natural mayor que todos los naturales.

En este caso no funciona simplemente porque todos los valores de $$n+1$$ son un subconjunto de $$\Bbb N$$, mientras $$n$$ es un elemento de $$\Bbb N$$. por tanto resulta imposible que un elemento de un subconjunto de los naturales sea mayor que todo natural posible.

Pero cuando tienes que A es un subconjunto de irracionales y B un subconjunto de racionales, y que no existe ningún otro subconjunto de racionales que tenga algún elemento menor que todos los elemento de B ¿acaso la situación no es diferente?

En cualquier caso por eso planteé esa posible demostración, algo más compleja, y que he mejorado haciendo que ChatGPT se autocritique varias veces para luego vaya mejorando en base a esas criticas:

Spoiler

Revisión Crítica de la Propuesta Mejorada

Definición de Infinitesimal

Se ha propuesto una definición de infinitesimal en el contexto de los números reales. En la matemática estándar, específicamente en el análisis real, el único número que cumple \( x < \frac{1}{n} \) para todo \( n \in \mathbb{N} \) es \( x = 0 \). La definición de infinitesimal debe ser tratada con cuidado, ya que puede llevar a conclusiones fuera del análisis real estándar, sugiriendo la necesidad de usar números hiperreales o análisis no estándar.

Modificación de la Función \( f \)

La nueva definición de la función \( f \) es:
\[
f(d_n) = \frac{d_n}{10^n}
\]
Esta modificación parece más robusta, pero es necesario revisarla a fondo para asegurarse de que efectivamente cumple con las propiedades deseadas.

Análisis Rigoroso de la Modificación

1. Representación Decimal de \( d_n \):
   \[
   d_n = \frac{\pi - 3}{n}
   \]
   Para \( n = 3 \):
   \[
   d_3 = \frac{0.141592653589793}{3} \approx 0.047197551196597746
   \]

2. Aplicación de la Nueva Función \( f \):

   La función \( f \) definida como:
   \[
   f(d_n) = \frac{d_n}{10^n}
   \]
 
 nos da:
   \[
   f(d_3) = \frac{0.047197551196597746}{10^3} = 0.000047197551196597746
   \]

3. Comparación con \( \frac{1}{n} \):
   
Necesitamos verificar que:
   \[
   f(d_n) < \frac{1}{n}
   \]
   
Generalizando:
   \[
   f(d_n) = \frac{d_n}{10^n} = \frac{\frac{0.141592653589793}{n}}{10^n} = \frac{0.141592653589793}{n \cdot 10^n}
   \]
   
y necesitamos mostrar que:
   \[
   \frac{0.141592653589793}{n \cdot 10^n} < \frac{1}{n}
   \]
   
Simplificando la desigualdad:
   \[
   \frac{0.141592653589793}{n \cdot 10^n} < \frac{1}{n} \implies 0.141592653589793 < 10^n
   \]

   Esta desigualdad es ciertamente verdadera para todo \( n \geq 1 \), ya que \( 10^n \) crece exponencialmente y \( 0.141592653589793 \) es una constante pequeña.

Puntos a Revisar o Mejorar

1. Justificación del Uso de Infinitesimales:
   - La propuesta debería especificar claramente el contexto en el cual se está utilizando la definición de infinitesimal. En el análisis real estándar, los infinitesimales no existen aparte de 0, mientras que en el análisis no estándar, se puede utilizar la estructura de los números hiperreales.

2. Precisión de la Función \( f \):
   - La nueva función \( f(d_n) = \frac{d_n}{10^n} \) parece resolver el problema original, pero es importante enfatizar que esta función transforma \( d_n \) en un número mucho menor, haciendo que \( f(d_n) \) se comporte efectivamente como un infinitesimal.

3. Formalización en el Contexto del Análisis No Estándar:
   - Si se va a argumentar la existencia de infinitesimales, es fundamental que se haga una referencia explícita al análisis no estándar y a los números hiperreales, proporcionando una base teórica sólida para esta afirmación.

Conclusión Crítica

La nueva definición de la función \( f \) parece cumplir con la condición de que \( f(d_n) < \frac{1}{n} \) para todo \( n \in \mathbb{N} \).

Por lo tanto, el procedimiento es correcto para demostrar la existencia de números infinitesimales, pero no es aceptable dentro del análisis estándar, y es necesario utilizar el análisis no estándar para que la conclusión sobre la existencia de infinitesimales sea válida.

Nota: parece que el chat llega a la misma conclusión que defiendo yo: que la forma de definir a los reales mediante la propiedad arquimediana choca con la teoria de conjuntos.

[cerrar]

saludos.

[ani_pascual]

Hola:

...
Si tomo \( a_n=\frac{1}{n} \) y \( b_n=\frac{1}{n+1} \) tengo que \( a_n\textcolor{red}{<}b_n \) para cada \( n \), pero no hay un \( n \) tal que \( a_n<b_m \) para todo \( m \). Eso sería tanto como decir que hay un natural mayor que todos los naturales.

Esto es una errata ¿no? 
Saludos

[geómetracat]

 

Pues yo entiendo que mi razonamiento es muy diferente. Obviamente si fuese tal y como dices sería absurdo. Lo que digo es que dado dos conjuntos A y B tales que:

$$A=\left\{{a_1,a_2,...a_n}\right\}$$

$$B=\left\{{b_1,b_2,...b_n}\right\}$$

donde $$a_n<a_{n+1}$$ y $$b_n<b_{n+1}$$ y, además, $$a_n<b_n$$, entonces existirá un elemento en A menor a todo elemento de B.

Por ejemplo:

si n=3,  $$A= \left\{{(\pi-3), (\pi-3)/2,(\pi-3)/3}\right\}$$ y $$B=\left\{{1,1/2,1/3}\right\}$$

está claro que A tiene un elemento menor que todos los elementos de B, en este caso es $$(\pi-3)/3$$

si n=5, $$A= \left\{{(\pi-3), (\pi-3)/2,(\pi-3)/3,(\pi-3)/4,(\pi-3)/5}\right\}$$ y $$B=\left\{{1,1/2,1/3,1/4,1/5}\right\}$$

está claro que A tiene un elemento menor que todos los elementos de B, en este caso es $$(\pi-3)/5$$

este razonamiento es muy claro para conjuntos de un número finitos de elementos. lo que podemos discutir, entonces, es si se puede pasar tal conclusión para conjuntos de infintios elementos

Si tomamos los infintios elementos de los conjuntos A y B de forma iterativa está claro que no podemos sacar conclusión a tal argumento. Ahora bien, si consideramos ambos conjuntso como un todo, es decir, si consideramos a "todos lso elementos del conjunto A" respecto a todos los elementos del conjunto B, entonces entiendo que sí es factible sacar conclusión.

Para conjuntos finitos es cierto, claro está. El salto a conjuntos infinitos no es que no esté claro, es que no se puede dar en general.

No paras de decir que "es factible sacar esa conclusión" pero no veo ninguna justificación por ningún lado más allá de que te lleva a lo que te gustaría. Por ejemplo, me tendrás que explicar mejor por qué no se puede aplicar a \( a_n=\frac{1}{n+1} \) y a \( b_n=\frac{1}{n} \), si cumplen las condiciones que pides ahí. Dices que es porque una es un subconjunto de la otra, pero luego cuando dices que se puede concluir del caso finito el infinito no parece que pongas condiciones de ningún tipo, las vas poniendo conforme te salen contraejemplos que no te gustan. Tres cuartos de lo mismo con lo de \( \frac{\pi-3}{n} \): toma \( a_n=\frac{1}{10n} \) y \( b_n=\frac{\pi-3}{n} \). Están en las condiciones que pides, pero ya me has dicho que ahí la conclusión no vale, no se sabe muy bien por qué. Y cuando lo aplicas nunca dices condiciones ni compruebas nada, dices que vale el principio y "podemos concluir tal" y listo.

En este caso no funciona simplemente porque todos los valores de $$n+1$$ son un subconjunto de $$\Bbb N$$, mientras $$n$$ es un elemento de $$\Bbb N$$. por tanto resulta imposible que un elemento de un subconjunto de los naturales sea mayor que todo natural posible.

Pues lo que te decía: ¿dónde están las condiciones claras y precisas de cuándo funciona y cuándo no? Porque da la sensación de que va a voluntad tuya, cuando te gusta la conclusión bien y cuando no es porque no se puede aplicar en ese caso.

Pero cuando tienes que A es un subconjunto de irracionales y B un subconjunto de racionales, y que no existe ningún otro subconjunto de racionales que tenga algún elemento menor que todos los elemento de B ¿acaso la situación no es diferente?

No. En todo caso tendrías que justificar que en tal situación se puede hacer el salto que haces. Pero eso es imposible.

En cualquier caso por eso planteé esa posible demostración, algo más compleja, y que he mejorado haciendo que ChatGPT se autocritique varias veces para luego vaya mejorando en base a esas criticas:

Este es un ejemplo de por qué se hace difícil debatir contigo. Se te ha dicho mil veces que la fiabilidad de ChatGPT es cero y dale que dale con ChatGPT. De todas maneras, en este caso ChatGPT no te da la razón. Fíjate:

Revisión Crítica de la Propuesta Mejorada

Definición de Infinitesimal

Se ha propuesto una definición de infinitesimal en el contexto de los números reales. En la matemática estándar, específicamente en el análisis real, el único número que cumple \( x < \frac{1}{n} \) para todo \( n \in \mathbb{N} \) es \( x = 0 \). La definición de infinitesimal debe ser tratada con cuidado, ya que puede llevar a conclusiones fuera del análisis real estándar, sugiriendo la necesidad de usar números hiperreales o análisis no estándar.

Modificación de la Función \( f \)

La nueva definición de la función \( f \) es:
\[
f(d_n) = \frac{d_n}{10^n}
\]
Esta modificación parece más robusta, pero es necesario revisarla a fondo para asegurarse de que efectivamente cumple con las propiedades deseadas.

Análisis Rigoroso de la Modificación

1. Representación Decimal de \( d_n \):
   \[
   d_n = \frac{\pi - 3}{n}
   \]
   Para \( n = 3 \):
   \[
   d_3 = \frac{0.141592653589793}{3} \approx 0.047197551196597746
   \]

2. Aplicación de la Nueva Función \( f \):

   La función \( f \) definida como:
   \[
   f(d_n) = \frac{d_n}{10^n}
   \]
 
 nos da:
   \[
   f(d_3) = \frac{0.047197551196597746}{10^3} = 0.000047197551196597746
   \]

3. Comparación con \( \frac{1}{n} \):
   
Necesitamos verificar que:
   \[
   f(d_n) < \frac{1}{n}
   \]
   
Generalizando:
   \[
   f(d_n) = \frac{d_n}{10^n} = \frac{\frac{0.141592653589793}{n}}{10^n} = \frac{0.141592653589793}{n \cdot 10^n}
   \]
   
y necesitamos mostrar que:
   \[
   \frac{0.141592653589793}{n \cdot 10^n} < \frac{1}{n}
   \]
   
Simplificando la desigualdad:
   \[
   \frac{0.141592653589793}{n \cdot 10^n} < \frac{1}{n} \implies 0.141592653589793 < 10^n
   \]

   Esta desigualdad es ciertamente verdadera para todo \( n \geq 1 \), ya que \( 10^n \) crece exponencialmente y \( 0.141592653589793 \) es una constante pequeña.

Puntos a Revisar o Mejorar

1. Justificación del Uso de Infinitesimales:
   - La propuesta debería especificar claramente el contexto en el cual se está utilizando la definición de infinitesimal. En el análisis real estándar, los infinitesimales no existen aparte de 0, mientras que en el análisis no estándar, se puede utilizar la estructura de los números hiperreales.

2. Precisión de la Función \( f \):
   - La nueva función \( f(d_n) = \frac{d_n}{10^n} \) parece resolver el problema original, pero es importante enfatizar que esta función transforma \( d_n \) en un número mucho menor, haciendo que \( f(d_n) \) se comporte efectivamente como un infinitesimal.

3. Formalización en el Contexto del Análisis No Estándar:
   - Si se va a argumentar la existencia de infinitesimales, es fundamental que se haga una referencia explícita al análisis no estándar y a los números hiperreales, proporcionando una base teórica sólida para esta afirmación.

Conclusión Crítica

La nueva definición de la función \( f \) parece cumplir con la condición de que \( f(d_n) < \frac{1}{n} \) para todo \( n \in \mathbb{N} \).

Te dice varias veces que en la matemática estándar no existen los infinitesimales y que el único numero que cumple \( x<1/n \) para todo \( n \) es cero (falso, porque cualquier negativo lo cumple también, para que veas el nivel de precisión matemática que tiene ChatGPT). Y fíjate que lo que demuestra es que para todo \( n \), \( f(d_n)<1/n \). Pero es que ¡eso es cierto! Porque \( d_n \) es un número distinto para cada \( n \), y es cierto que para cada \( n \) fijado, \( f(d_n)<1/n \). Pero ahí en ningún caso se encuentra un número que sea menor que todos los \( 1/n \) a la vez.

Al final, suelta esto:

Por lo tanto, el procedimiento es correcto para demostrar la existencia de números infinitesimales, pero no es aceptable dentro del análisis estándar, y es necesario utilizar el análisis no estándar para que la conclusión sobre la existencia de infinitesimales sea válida.

Supongo que influido por lo que le has dicho, pero no demuestra en ningún momento la existencia de infinitesimales, y además te repite que no se pueden demostrar sin usar análisis no estándar.

Nota: parece que el chat llega a la misma conclusión que defiendo yo: que la forma de definir a los reales mediante la propiedad arquimediana choca con la teoria de conjuntos.

Crees lo que quieres creer, pero en ningún momento se dice nada de eso ahí.

Y ahora sí que lo dejo. Este es mi último mensaje en este hilo.

PD:

Hola:

...
Si tomo \( a_n=\frac{1}{n} \) y \( b_n=\frac{1}{n+1} \) tengo que \( a_n\textcolor{red}{<}b_n \) para cada \( n \), pero no hay un \( n \) tal que \( a_n<b_m \) para todo \( m \). Eso sería tanto como decir que hay un natural mayor que todos los naturales.

Esto es una errata ¿no? 
Saludos

Sí, claro, la definición de \( a_n \) y \( b_n \) están intercambiadas.

[ani_pascual]

Hola:

...
Pues yo entiendo que mi razonamiento es muy diferente. Obviamente si fuese tal y como dices sería absurdo. Lo que digo es que dado dos conjuntos A y B tales que:

$$A=\left\{{a_1,a_2,...a_n}\right\}$$

$$B=\left\{{b_1,b_2,...b_n}\right\}$$

donde $$a_n<a_{n+1}$$ y $$b_n<b_{n+1}$$ y, además, $$a_n<b_n$$, entonces existirá un elemento en A menor a todo elemento de B.

Por ejemplo:

si n=3,  $$A= \left\{{(\pi-3), (\pi-3)/2,(\pi-3)/3}\right\}$$ y $$B=\left\{{1,1/2,1/3}\right\}$$

está claro que A tiene un elemento menor que todos los elementos de B, en este caso es $$(\pi-3)/3$$

si n=5, $$A= \left\{{(\pi-3), (\pi-3)/2,(\pi-3)/3,(\pi-3)/4,(\pi-3)/5}\right\}$$ y $$B=\left\{{1,1/2,1/3,1/4,1/5}\right\}$$

está claro que A tiene un elemento menor que todos los elementos de B, en este caso es $$(\pi-3)/5$$

este razonamiento es muy claro para conjuntos de un número finitos de elementos. lo que podemos discutir, entonces, es si se puede pasar tal conclusión para conjuntos de infintios elementos

Me parece que para que el ejemplo encaje debería ser \( a_{n+1}<a_n \), \( b_{n+1}<b_n \) y \( a_n<b_n \).

Si tomamos los infintios elementos de los conjuntos A y B de forma iterativa está claro que no podemos sacar conclusión a tal argumento.

¡Claro que no, porque ese elemento menor que todos los elementos de \( A \) no tiene ni porqué pertenecer a \( A \)

Ahora bien, si consideramos ambos conjuntso como un todo, es decir, si consideramos a "todos lso elementos del conjunto A" respecto a todos los elementos del conjunto B, entonces entiendo que sí es factible sacar conclusión.

Sospecho que no
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

No tiene nada que ver la forma de pensar de cada un en todo esto; la forma de pensar podrá tener que ver en si votamos a un partido o a otro, por decir algo... pero no aquí.

En matemáticas (y obviamente fijada la notación, axiomas, bla, bla, bla previos): "existe un \( n\in\Bbb N \) tal que \( \dfrac{\pi-3}{n}<\dfrac{1}{m} \) para todo \( m\in \Bbb N \).", tiene un significado inequívoco. No depende de la forma de pensar de nadie. Y es un enunciado falso.

Pues eso lo ha expresado mal.

¿cómo expresar, entonces, que si tengo el conjunto de todos los elementos que son solución de $$(\pi-3)/n$$, lo llamamos A, y el conjunto de todos los elementos que son solución de $$1/m$$ (llamdo B), siendo $$n,m$$ dos naturales cualquiera, entonces, es imposible que haya un elemento de B que sea menor que todos los elementos de A.

Sin embargo, habría un elemento de A que es menor que todos los de B. ¿Por qué?

No, no, eso está bien expresado. Las dos frases que he marcado en rojo son equivalentes.

Y aunque ahora te refugies en haberte expresado mal, la frase de "pues entonces tenemos una forma de pensar distinta" delata tu forma (no se si consciente o inconsciente) de afrontar todo este debate: como una cuestión de opiniones, de pareceres, de formas de pensar. Cero argumentación matemática por tu parte en los puntos clave.

Y cuando comparamos, entonces, todos los elementos de A con los  de C, sabiendo que $$a_n<c_n$$, pues, $$(\pi-3)/n<1/n$$, ¿Por qué no podemos inferir que ello implica que habrá al menos un elemento de A que será menor que todos los elementos de C?

De nuevo ese comienzo de frase delata que no entiendes como hay que argumentar. No se trata de que dejes de caer la pregunta "¿por qué no podemos inferir bla bla", sino que deberías decir: "yo afirmo que de ahí se infiere tal cosa, y lo justifico en la propiedad tal, teorema tal, definición tal, axioma tal... ". A lo mejor en un primer momento, no dar la justificación en todo detalle pero a medida que te discute el asunto ser capaz de ir precisando el argumento. Pero no sales del "¿y por qué no?".

El porqué no ya te lo ha explicado geómetracat; subrayo que tiene dos vertientes: una porque lo que pretendes inferir te han demostrado que es falso; dos porque no hay ninguna regla lógica, teorema, definición, axioma,... que te permita afirmar tal cosa. ¿La hay? Cítalas...

Pues yo entiendo que mi razonamiento es muy diferente. Obviamente si fuese tal y como dices sería absurdo. Lo que digo es que dado dos conjuntos A y B tales que:

$$A=\left\{{a_1,a_2,...a_n}\right\}$$

$$B=\left\{{b_1,b_2,...b_n}\right\}$$

donde $$a_n<a_{n+1}$$ y $$b_n<b_{n+1}$$ y, además, $$a_n<b_n$$, entonces existirá un elemento en A menor a todo elemento de B.

Lo que está en rojo está mal escrito. Supongo que querías decir que ambas sucesiones están en orden decreciente:

\( a_i>a_{i+1} \), \( b_i>b_{i+1} \) para \( i=1,2,3,\ldots,n-1 \)

Y si, efectivamente en ese caso existe un elemento en \( A \) menor que todos los de \( B \). Y se puede demostrar. Tal elemento es \( a_n \).

Efectivamente por hipótesis \( a_n<b_n \); y también por hipótesis los elementos de \( B \) están en orden decreciente así que dado cualquier \( b_i\in B \) con \( i\in \{1,2,\ldots,n\} \), se cumple que \( b_n\leq b_i \) y por la propiedad transitiva de la relación de orden \( \leq  \),

\( a_n<b_n,\quad b_n\leq b_i\quad \Rightarrow{}\quad a_n<b_n\leq b_i\quad \Rightarrow{}\quad a_n<b_i \) para todo \( i\in \{1,2,\dots,n\} \).

Entonces SI, la afirmación para conjuntos finitos con las hipótesis que indicas es cierta. Y no se basa en lanzar la pregunta al aire. ¿Por qué no voy a poder afirmar...?. Sino qué se demuestra explícitamente basándose en las hipótesis y en las propiedades de una relación de orden.

Si tomamos los infintios elementos de los conjuntos A y B de forma iterativa está claro que no podemos sacar conclusión a tal argumento. Ahora bien, si consideramos ambos conjuntso como un todo, es decir, si consideramos a "todos lso elementos del conjunto A" respecto a todos los elementos del conjunto B, entonces entiendo que sí es factible sacar conclusión.

No se que es para ti tomar los elementos de forma iterativa o considerar los conjuntos como un todo; sea como sea "entiendo que si es factible sacar la conclusión", no es un argumento, no es una demostración. Es una idea que tienes en la cabeza; a lo mejor a fulanito le parece factible sacar de ahí la conclusión de que hay números negativos mayores que cero; y a menganito que el Teorema de Fermat es cierto... Pero RDC, fulanito  o menganito tienen que presentar algún tipo de argumento basado en definiciones, teoremas, proposiciones, aximomas... que lo demuestre.

En este caso, aún encima, es trivial de mostrar que es IMPOSIBLE que exista un elemento de \( A \) menor que todo los de \( B \).

Spoiler

Prueba rápida y repetida varias veces. Si \( \dfrac{\pi-3}{n_0} \) fuese tal elemento de \( A \) tendría que cumplir:

\( \dfrac{\pi-3}{n_0}<\dfrac{1}{m} \) para todo \( m\in \Bbb N \)  (*)

Pero si tomamos por ejemplo \( m=10n_0 \), entonces:

\( \dfrac{\pi-3}{n_0}>\dfrac{0.1}{n_0}=\dfrac{n_0}{10n_0}=\dfrac{1}{m} \)

luego falla (*). Contradicción: no es cierto que \( \dfrac{\pi-3}{n_0} \) sea menor que todo elemento de \( B \).

[cerrar]

Pero cuando tienes que A es un subconjunto de irracionales y B un subconjunto de racionales, y que no existe ningún otro subconjunto de racionales que tenga algún elemento menor que todos los elemento de B ¿acaso la situación no es diferente?

Esto es otra constante. Intentan ponerte analogías para hacerte "caer de la burra" (permíteme la frase coloquial) . Y te refugias en que son situaciones diferentes. Ciertamente lo son, porque si no no serían analogías, sino serían EXACTAMENTE la misma cosa. Pero las diferencias no son esenciales. Pero a ti te da igual que sean o no esenciales.

En cualquier caso por eso planteé esa posible demostración, algo más compleja, y que he mejorado haciendo que ChatGPT se autocritique varias veces para luego vaya mejorando en base a esas criticas:

Otra vez. A pesar de que chatGPT no sabe hacer razonamientos matemáticos y a pesar de que ChatGPT (al menos en matemáticas)  te dará la razón en cualquier cosa si le insistes lo suficiente, ahí estás otra vez. Que juegues con él lo entiendo; que lo pongas en el foro como argumentación, no, francamente.

Modificación de la Función \( f \)

La nueva definición de la función \( f \) es:
\[
f(d_n) = \frac{d_n}{10^n}
\]
Esta modificación parece más robusta, pero es necesario revisarla a fondo para asegurarse de que efectivamente cumple con las propiedades deseadas.

Aquí ChatGPT hace una modificación bastante ingenua; antes ya construía un \( f(d_n) \) más pequeño de \( d_n \). Ahora, no se que le has dicho, pero parece que se queda más tranquilo si lo construye, "muuucho" más pequeño.

Antes ya tenías que \( f(d_n)<d_n<\dfrac{1}{n} \).

El error está en inferir (sacarse de la manga, inventarse) de ahí que, existe un irracional positivo menor que todos los números de la forma \( 1/n \).

En ese sentido antes te comenté que parece que piensas que el tener una lista infinita de cosas mágicamente demuestra la existencia de "algo"; y no una lista infinita de cosas es sólo eso. Luego tu dirás lo que quieres hacer con ella; aplicarte tal o cual razonamiento, calcular tal o cuál límite,.. lo que sea; y veríamos que se deduce de ahí en consecuencia.

Saludos.

[feriva]

Por ejemplo:

si n=3,  $$A= \left\{{(\pi-3), (\pi-3)/2,(\pi-3)/3}\right\}$$ y $$B=\left\{{1,1/2,1/3}\right\}$$

está claro que A tiene un elemento menor que todos los elementos de B, en este caso es $$(\pi-3)/3$$

si n=5, $$A= \left\{{(\pi-3), (\pi-3)/2,(\pi-3)/3,(\pi-3)/4,(\pi-3)/5}\right\}$$ y $$B=\left\{{1,1/2,1/3,1/4,1/5}\right\}$$

está claro que A tiene un elemento menor que todos los elementos de B, en este caso es $$(\pi-3)/5$$

este razonamiento es muy claro para conjuntos de un número finitos de elementos. lo que podemos discutir, entonces, es si se puede pasar tal conclusión para conjuntos de infintios elementos

No se puede pasar a sacar ninguna conclusión en ningún sentido, RDC (en cuanto a que exista una irracional menor que cualquier racional)  ¿Cómo sabe la letra pi que es un irracional, cómo caracterizas al irracional?

Porque yo puedo poner una letra, decir que es un natural, por ejemplo, y si no digo que es par, o que no divide a no sé quién o que es primo o algo (a la vez que busco relaciones con las otras letras y tal) la letra no puede saber si es un natural o no.

Tienes que usar que pi es un irracional, no vale con poner una letra. Nada es una demostración si no caracterizas las letras, hay que definir qué cumple un irracional o que no cumple respecto de un racional (y eso sólo para empezar).

Saludos.

[Restituto]

En cualquier caso por eso planteé esa posible demostración, algo más compleja, y que he mejorado haciendo que ChatGPT se autocritique varias veces para luego vaya mejorando en base a esas criticas:

Y no sería más práctico probar a mejorar tú mismo tus razonamientos en base a las críticas que se te hacen antes de contestar?

[RDC]

Hola geómetracat

Para conjuntos finitos es cierto, claro está. El salto a conjuntos infinitos no es que no esté claro, es que no se puede dar en general.

No paras de decir que "es factible sacar esa conclusión" pero no veo ninguna justificación por ningún lado más allá de que te lleva a lo que te gustaría. Por ejemplo, me tendrás que explicar mejor por qué no se puede aplicar a \( a_n=\frac{1}{n+1} \) y a \( b_n=\frac{1}{n} \), si cumplen las condiciones que pides ahí. Dices que es porque una es un subconjunto de la otra, pero luego cuando dices que se puede concluir del caso finito el infinito no parece que pongas condiciones de ningún tipo, las vas poniendo conforme te salen contraejemplos que no te gustan.

Spoiler

Tres cuartos de lo mismo con lo de \( \frac{\pi-3}{n} \): toma \( a_n=\frac{1}{10n} \) y \( b_n=\frac{\pi-3}{n} \). Están en las condiciones que pides, pero ya me has dicho que ahí la conclusión no vale, no se sabe muy bien por qué. Y cuando lo aplicas nunca dices condiciones ni compruebas nada, dices que vale el principio y "podemos concluir tal" y listo.

En este caso no funciona simplemente porque todos los valores de $$n+1$$ son un subconjunto de $$\Bbb N$$, mientras $$n$$ es un elemento de $$\Bbb N$$. por tanto resulta imposible que un elemento de un subconjunto de los naturales sea mayor que todo natural posible.

Pues lo que te decía: ¿dónde están las condiciones claras y precisas de cuándo funciona y cuándo no? Porque da la sensación de que va a voluntad tuya, cuando te gusta la conclusión bien y cuando no es porque no se puede aplicar en ese caso.

Pero cuando tienes que A es un subconjunto de irracionales y B un subconjunto de racionales, y que no existe ningún otro subconjunto de racionales que tenga algún elemento menor que todos los elemento de B ¿acaso la situación no es diferente?

No. En todo caso tendrías que justificar que en tal situación se puede hacer el salto que haces. Pero eso es imposible.

[cerrar]

Nos vamos entendiendo (ya no me atribuyes razonamientos raros como eso del padre).

Tratémoslo de otro modo: sea $$a_n$$ cualquier elemento del conjunto A y $$b_n$$ cualqueir elemento del conjunto B. Para demostrar que ningún elemento de A es menor que cualquier elemento de B basta con hacer la diferencia simétrica entre A y B:

$$A\Delta B=\left\{{1}\right\}$$

Esto significa, que, a excepción del 1 (que sólo está en B), todos los demás infinitos elementos de A y B están tanto en A como en B, aunque posición por posición $$a_n<b_n$$. ¿No demuestra eso que no existe ningún elemento de A menor que cualquiera de B?

Y entiendo que ello se debe a lo dicho antes: que el conjunto A es un subconjunto de B, con lo cual todo $$a_n$$ es también eleemento de B. Por ello entiendo que siempre que tengamos estás situaciones entre conjuntos numéricos infinitos, donde uno sea un subconjunto de otros, sucederá lo mismo.

Spoiler

Y entiendo que con eso se justifica que no haya un racional menor que cualquier racional, o un natural mayor que cualqueir natural, y cosas raras por el estilo. 

[cerrar]

Por ejemplo si $$c_n=\frac{1}{10n}$$ es un elemento del conjunto C, entonces la diferencia simétrica entre B y C sólo nos dará ciertos valores de B, dado que todos los elementos de C están ya en B, al ser un subconjunto de este, aunque posición por posición $$c_n<b_n$$. De modo que cualquier valor de C, por más pequeño que sea, también está ya en B. Imposible, pues, que haya elementos en C menores que cualquier elemento de B si todos ellos están también en B.

Ahora  bien, si tenemos dos conjuntos donde ninguno es subconjunto del otro (de hecho no comparten ningún elemento), como el caso del conjunto X, cuyos elementos son del tipo \( x_n=\frac{1}{10n} \), y el conjunto Y, cuyos elementos son del tipo \( y_n=\frac{\pi-3}{n} \), esto no se puede hacer., dado que la diferencia simetrica entre ambso conjuntos no nos aclara nada  ¿No resulta evidente, pues, que precisamos aplicar criterios diferentes? Y, ¿qué podemos hacer?

Primero: por la diferencia simétrica de conjuntos podemos cambiar el conjunto X por el conjunto B, cuyos elementos son (recuerdo) $$b_n=\frac{1}{n}$$.

Segundo: lo que sí tenemos ahora es, únicamente, que $$y_n<b_n$$, es decir, $$\displaystyle\frac{\pi-3}{n}<\displaystyle\frac{1}{n}$$. Y no parece que tengamos nada más. ¿Me equivoco? ¿Me lo estoy inventando? ¿es una mera apreciación mia?

Tercero: ante esta situación peculiar y muy diferente a lo anterior, simplemente generalizo:

si para todo elemento de B siempre habrá, como mínimo, un elemento de Y que será menor, entonces  para el conjunto de todos los elementos de B hay al menos un valor de Y que ha de ser menor a todos ellos. Dicho de otro modo, $$\exists{y_n},y_n>1/n$$

Obviamente esto implica, por definición, que este $$y_n$$ sea un infinitesimal.

Al final, suelta esto:

Por lo tanto, el procedimiento es correcto para demostrar la existencia de números infinitesimales, pero no es aceptable dentro del análisis estándar, y es necesario utilizar el análisis no estándar para que la conclusión sobre la existencia de infinitesimales sea válida.

Supongo que influido por lo que le has dicho, pero no demuestra en ningún momento la existencia de infinitesimales, y además te repite que no se pueden demostrar sin usar análisis no estándar.

No dice que no se puede demostrar sin usar análisis no estándar, sino que no se puede aceptar tal demostración. Pero estoy de acuerdo con Luís: es solo "una opinión" de una máquna que tiene muchas deficiencias en este terreno. 

Saludos