Está claro lo que dices, pero no es esto lo que estoy argumentando y buscando.
Busco si de entre todos los valores posibles $$\frac{1}{m}$$ y todos los valores posibles $$\frac{\pi-3}{n}$$ existe algún valor $$\frac{1}{m}$$ que sea menor a todos los valores posibles $$\frac{\pi-3}{n}$$.
Y la respuesta es no.
De hecho entiendo que lo que existe sería, al menos, un valor $$\frac{\pi-3}{n}$$ menor a todo valor posible de $$1/m$$, dado que para cualquier valor que esoja de $$m$$, siempre puedo escoger, entonces, un valor de $$n$$ mucho mayor. O al menos, puedo encontrar que $$m=n$$.
Lo siento, pero me parece increíble que no veas que es la misma situación. Mira:
Busco si de entre todos los valores posibles $$\frac{\pi-3}{m}$$ y todos los valores posibles $$\frac{1}{n}$$ existe algún valor $$\frac{\pi-3}{m}$$ que sea menor a todos los valores posibles $$\frac{1}{n}$$.
Y la respuesta es no.
De hecho entiendo que lo que existe sería, al menos, un valor $$\frac{1}{n}$$ menor a todo valor posible de $$\frac{\pi-3}{m}$$, dado que para cualquier valor que esoja de $$m$$, siempre puedo escoger, entonces, un valor de $$n$$ mucho mayor. O al menos, puedo encontrar que $$n=10m$$.
Ya me contarás la diferencia.
La diferencia está, pues, en lo marcado en azul en mi comentario.
Es cierto que también podemos tomar un valor de $$m$$ tan grande como queramos, pero por mayor que sea, siempre podemos escoger un valor de $$n$$ tal que $$n=m$$. Y siempre, en tal caso, se dará que $$\frac{\pi-3}{n}<\frac{1}{m}; n=m$$.
Si hubiera valores de $$m$$ definitivamente mayores que cualquiera de los que puede tomar $$n$$ entonces, ya no lo defendería y podría darse que para todos los valores de $$n$$ posibles exista un $$m$$ mayor que cualquiera de los $$n$$ posibles, tal que $$\frac{\pi-3}{n}>\frac{1}{m}$$.
Sobre el tema de los límites. Veo que de manera compacta se define como:
$${\displaystyle {\underset {n\to c}{\lim }}\,\,f(n)=L\iff \forall \varepsilon >0\ \ \exists \ \delta >0:0<|n-c|<\delta \Longrightarrow |f(x)-L|<\varepsilon }$$
Entiendo que esto se debe leer más o menos así, sino corregidme:
Dada una función $$f(n)$$ de variable $$n$$ esta función tendrá un límite, $$L$$, cuando $$n$$ tenga valores tan proximos a $$c$$ como se quiera, si para cualqueir número real $$\epsilon$$ exista una distancia entre un valor de la función $$f(n)$$ y el límite $$L$$ tal que es menor que este $$\epsilon$$.
Supongo que la idea se basa en:
\( \forall{\epsilon}, \exists{x,y,z}\in{\Bbb R}:x-y=z<\epsilon \)
-¿Es una forma de definir el continuo de los reales?-Y aquí se asume de forma implícita la propiedad arquimediana, y por tanto, que \( \forall{z}, \exists{b}\in{\Bbb R}: z·b\geq{1} \), es decir, se asume que \( z \) pueda ser un racional o un irracional indistintamente
Entonces:
$$\displaystyle\lim_{n \to{+}\infty}{\displaystyle\frac{1}{n}}$$ se está indicando que:
\( \forall{\epsilon}\exists{z}:z=f(n)-L=\displaystyle\frac{1}{n}-0=\displaystyle\frac{1}{n} \)
Es decir, se establece que para cualqueir número real $$\epsilon$$ siempre existirá un valor de la función $$f(n_i)=1/n_i<\epsilon$$, de modo que $$1<n_i·\epsilon$$, conservando la propiedad arquimediana.
Y si $$\forall{\epsilon}\exists{z}$$, entonces para cualquier real existe un intervalo [0,z], es decir, [0,1/n]. Y $$\epsilon$$ no está en tal intervalo. ¿no nos lleva eso a una paradoja?
Es decir, si para
todos los reales tenemos un intervalo [0,1/n] donde ese real, y todos los reales mayores que él, no están incluidos, al final ¿cabe admitir que hay intervalos sin reales? ¿no es eso un poco raro?
Por otro lado
Spoiler
¿Qué sucede si suponemos que la propiedad arquimediana se puede aplicar a infinitos valores reales, pero no a todos?
Que no es cierto, entonces, que \( \forall{\epsilon}\in{\Bbb R}\exists{z}\in{\Bbb Q} \).
¿Significa eso que la idea de límite cae?
Aún existen inifnitos reales $$\beta$$ para los cuales $$f(n)-0<\beta$$, pero existen infintos reales $$\alpha$$ tales que $$f(n)-0>\alpha$$
Es decir, siempre es posible escoger reales $$\beta$$ más pequeños tales que $$f(n)-0<\beta$$.
Un saludo
