Hola, RDC, buenos días.
Antes de nada, considero que sería muy bueno que esta historia que voy a contar fuera leída por cualquier persona que acabe de empezar a conocer esta cuestión (y que disponga de tiempo para leerla). Así que no va dirigida sólo a ti y los participantes del hilo, es un poco “Urbi et orbi”
Recuerdo cuando conocí este tema por primera vez; fue aquí en el foro hace un porrón de años, quizá más de diez.
Alguien preguntó sobre la cuestión de los dos cardinales; yo ya sabía que se decía que el conjunto de los reales era más grande (me había enterado también en el foro un poco antes) pero no conocía la tabla ésa.
Lo que sí sabía antes de entrar al foro (y lo descubrí yo mismo incluso antes de tener internet, pensando cosas sobre números en mi incomunicada soledad) era lo de que todo número periódico se puede expresar como no periódico (sobreentendiendo que quedan fuera de la consideración los periodo de ceros al final de un número). Con ello me daba cuenta de lo que ya explicado por ahí tantas veces, que a cualquier número racional se le podía añadir detrás infinitos ceros, con lo que, de un solo número, se podían hacer muchos distintos quitando esos ceros y poniendo otras cifras.
Entonces, alguien preguntó algo sobre el tema de los dos cardinales yo entré a decirle que sí, pero que eso no de verdad.
Me topaba precisamente con la falta de valor de las cifras del infinito (de lo que también me daba cuenta) y con el hecho de que no se saber qué regularidad podían tener; en el sentido de que podían ser “más o “menos”; o sea, me parecía entrever que el hecho de que las cifras fueran infinitas no impedía que dos números así tuvieran distinta “longitud”. No me daba cuenta (en ese entonces) que eso es un problema de biyección de las cifras de dos números y que, precisamente, los infinitos que había que biyectar eran en sí el infinito numerable, pero sí intuía (sin verlo calor) que algo no andaba bien en esa idea.
No sabía expresar esa sensación, no la sabía transmitir. Hoy en día sí sé: podemos construir dos números de infinitas cifras poniendo en el primero una cifra; en el segunda una cifra...; o en el primero tres cifras; en el segundo sólo dos; en el primero siete; en el segundo sólo cuatro... y, así, poniendo siempre más en el primero que en el segundo. De modo que, el que dos números tengan infinitas cifras no implica que uno tenga tantas como el otro (pese a que las cifras de ambos no acaben nunca, pese a que no exista una única cifra en ninguno de ellos).
Entonces llegó Luis (que además vio que el hilo era de un alumno que estaba estudiando teoría de conjuntos, que era una pregunta en sentido académico y no una discusión como la que nos ocupa) y, con muy buen criterio, me llamó la atención con un “WARNING” diciéndome que eso no se hacía así, que no tenía ningún rigor (lo de construir números añadiendo cifras sin más) que había que hacerlo con la tabla ésa; y a continuación me puso el enlace de la Wiki donde aparece la tabla de marras.
Cuando la vi y leí lo que decía, no tardé en darme cuenta de que se trataba de una matriz cuadrada y de que eso solucionaba la duda sobre si los números de infinitas cifras eran “parejos” en el sentido dicho (me di cuenta pronto porque ya por entonces tenía bastante costumbre en cuanto a hacer problemas de álgebra matricial; me equivocaba siempre al hacerlos pero tenía costumbre).
Sólo había que fijarse que la primera columna, siempre de ceros (por ser números menores que 1) y que se podía prescindir de ella para formar la tabla (esa cifra no se cambia nunca al construir el número). Quedándonos con la mantisa solamente, queda una matriz \( n\times n \).
Eso resolvía mi problema sobre la construcción del número (ahora veía que Cantor se refería a números construidos añadiendo una cifra a cada paso, no cantidades distintas) pero no terminaba de convencerme, por lo otro, porque también veía que las cifras del infinito no podía valer nada y... entonces, como que esos números no eran distintos de verdad. Aparte, también tenía el problema que tú tenías al principio, pensaba que para meter esos números que no se pueden construir en la diagonal siempre se podía ampliar la matrriz, al ser infinita. Entendía el infinito sólo por extensión, no por comprensión.
Por tanto, pensando como te digo (construyendo dos números cifra a cifra, no metiendo en uno tres cifras, en otro metiendo cuatro...) tiene sentido decir que dos números infinitos tienen la misma longitud; en otro caso no, o no se sabe si la tienen.
Eso es lo que estaba en la cabeza de Cantor y ésa era la idea que intentaba transmitir; pero a veces no es nada fácil transmitir lo que uno ve de forma que la gente se entere a la primera (y por ello, muchos, pusieron de vuelta y media a Cantor, porque no le entendieron).
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Con esta historia autobiográfica que he contado, sólo pretendo que los que empiecen a interesarse por el tema lo puedan comprender más pronto de lo que yo lo entendí .
No puedo enseñar teoría de conjuntos a nadie, sé poquísimo (ni teoría de conjuntos ni casi nada) pero, cuando llego a comprender algo bien y me doy cuenta de que está bien, de que es así, sí puedo explicar cómo ha sido el proceso; y eso es lo que puedo aportar. Incluso cuando entiendo mal algo, puede tener utilidad, porque entonces llegan los que saben, me corrigen, y ello , en muchas ocasiones, me hace entenderlo a mí y a todos los que leen las repuestas en los hilos.
Las cuentas, las formalismos, expresar éstos con símbolos... está muy bien siempre y cuando primero se comprenda la idea de lo que se quiere expresar. Del mismo modo, si alguien no entiende una idea, por mucho que se le expliquen las cosas sólo con fórmulas y apelando a definiciones... lo más seguro es que siga sin entender la idea. La idea hay que explicarla primero con palabras; al menos e mi caso particular es así, necesito entender las cosas primero con palabras, si no, sólo con símbolos y definiciones... no me entero salvo que razone “investigando” para desenlatar (como dice Carlos muchas veces) lo que hay detrás de esas expresiones.Pero esto último lo considero necesario en muchas ocasiones; uno tiene que poner de su parte para comprender, las cosas no llegan solas, no siempre.
Pero incluso así, a veces ni con palabras basta, parece que hace falta contar esto, el proceso de comprensión que uno tuvo y aderezar lo que se quiere explicar con un componente anecdótico o humanístico. Por lo cual, mi rollo patatero de hoy creo que podría tener más utilidad que mis rollos patateros habituales.
Saludos.
