1) Cantor parte de la hipotesis de que tiene la lista de "Todos los naturales" emparejados con "todos los reales". A esta lista la llama lista "n".
Spoiler
Carlos lo definia así en la pág. 4 el hilo
https://foro.rinconmatematico.com/index.php?action=post;quote=515971;topic=126174.30:
Teorema No existe ninguna aplicación biyectiva \( f: \mathbb N\longrightarrow [0,1] \).
Demostración Por reducción al absurdo, suponemos que existe \( f: \mathbb N\longrightarrow [0,1] \) biyectiva.
Ahora fijamos un número natural \( n \), con lo que podemos considerar el número real \( f(n)\in [0, 1] \), que a su vez nos permite considerar la sucesión de dígitos \( D(f(n))\in S \) y, concretamente, podemos considerar el dígito \( n \)-simo, que es \( D(f(n))(n) \), un número entre 0 y 9.
La cuestión es, pues, no tratar una serie de elementos en la que no existe un elemento final de forma iterativa, sino tratarlo como un conjunto. Eso nos permite tratar a "todos los elementos del conjunto".
2) Dado el conjunto A, como el conjunto de todos los racionales del tipo $$\displaystyle\frac{1}{(n+1)}$$ y el conjunto B, como el conjunto de todos los racionales del tipo $$\displaystyle\frac{1}{n}$$, siendo $$n$$ cualquier natural, entonces tenemos que si comparamos los elementos del conjunto A, $$a_n$$, con los elementos del conjunto B, $$b_n$$, de forma secuencial, ordenada y uno a uno, tenemos que $$a_n<b_n$$.
Por ejemplo, si $$n=5$$, entonces $$a_5= 1/6<b_5=1/5$$. Y así para todos y cada uno de los elementos.
¿Signfica eso que en el conjunto A habrá un elemento que será menor que todos los elementos de B?
No.
Es fácil demostrar que la
diferencia simétrica entre A y B es $$\left\{{1}\right\}$$, con lo cual no existe ningún elemento de B que sea menor que cualquiera de A.
Spoiler
El conjunto que contiene todos los elementos que están en \(A\) o en \(B\), pero no en ambos, se llama la diferencia simétrica de \(A\) y \(B\). Este conjunto se denota como \(A \triangle B\).
La diferencia simétrica se define de la siguiente manera:
\[
A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)
\]
Esto significa que la diferencia simétrica incluye los elementos que están en \(A\) pero no en \(B\), y los elementos que están en \(B\) pero no en \(A\).
Paso 1: Definición de los conjuntos \(A\) y \(B\)
Recordemos los conjuntos:
- Conjunto \(A\): \(\left\{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N} \right\}\)
- Conjunto \(B\): \(\left\{ \frac{1}{n+1} \mid n \in \mathbb{N} \right\}\)
Paso 2: Identificación de los elementos únicos en \(A\) y en \(B\)
Para encontrar los elementos en \(A\) pero no en \(B\) (es decir, \(A \setminus B\)):
- El único elemento en \(A\) que no está en \(B\) es \(1\) (correspondiente a \(\frac{1}{1}\)).
Para encontrar los elementos en \(B\) pero no en \(A\) (es decir, \(B \setminus A\)):
- Los elementos en \(B\) que no están en \(A\) son aquellos de la forma \(\frac{1}{n+1}\) para \(n \geq 1\), comenzando desde \(\frac{1}{2}\).
Sin embargo, observamos que \(A\) contiene \(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots\), que son los mismos elementos en \(B\) (desde \(\frac{1}{2}\) en adelante).
Entonces, para elementos únicos en \(B\) pero no en \(A\), no hay ninguno porque:
- \(B\) comienza desde \(\frac{1}{2}\), y estos valores ya están en \(A\).
Paso 3: Construcción de la diferencia simétrica
Así, la diferencia simétrica \(A \triangle B\) es:
\[
A \triangle B = (A \setminus B) \cup (B \setminus A)
\]
Identifiquemos estos subconjuntos más claramente:
- \(A \setminus B = \left\{ 1 \right\}\)
- \(B \setminus A = \varnothing\)
Por lo tanto, la diferencia simétrica es:
\[
A \triangle B = \left\{ 1 \right\} \cup \varnothing = \left\{ 1 \right\}
\]
Conclusión
El conjunto que sólo y únicamente tiene por elementos aquellos elementos que o bien están en \(A\) o bien están en \(B\), pero no en ambos, es:
\[
A \triangle B = \left\{ 1 \right\}
\]
3) Ahora introducimos el conjunto C, como el conjunto de racionales del tipo $$\displaystyle\frac{m}{f}$$, siendo $$m,f$$ dos naturales cualquiera. ¿Existe algún elemento del conjunto C que sea menor a cualquier elemento del conjunto B?
En realidad, cualquier número del tipo $$m/f$$ se puede expresar como $$(1+m)/n$$ dado que ambas expresiones generan los mismos números. Y está claro que $$(1+m)/n\geq{1/n}$$. De modo que no existe ningún elemento del conjunto C que sea menor que cualquier elemento del conjunto B.
4) Ahora generamos el conjunto D como el conjunto de todos los irracionales del tipo $$\displaystyle\frac{(\pi-3)}{n}$$. ¿Existe algún elemento del conjunto D que sea menor a cualquier elemento del conjunto B?
Para determinar si existe algún elemento del conjunto \(D\) que sea menor que cualquier elemento del conjunto \(B\), hacemos lo siguiente:
Spoiler
- Conjunto \(B\): \(\left\{ \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N} \right\}\)
- Conjunto \(D\): \(\left\{ \frac{\pi - 3}{n} \mid n \in \mathbb{N} \right\}\), donde \(\pi\) es el número pi (aproximadamente 3.141592...).
Paso 1: Caracterización de los conjuntos
Conjunto \(B\)
Los elementos de \(B\) son de la forma \(\frac{1}{n}\), donde \(n\) es un número natural. Los primeros elementos de \(B\) son:
\[
\left\{ 1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \ldots \right\}
\]
En general, \(\frac{1}{n}\) disminuye a medida que \(n\) aumenta. Matemáticamente, \(\lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0\).
Conjunto \(D\)
Los elementos de \(D\) son de la forma \(\frac{\pi - 3}{n}\), donde \(\pi - 3\) es un número irracional pequeño (aproximadamente 0.141592...). Los primeros elementos de \(D\) son:
\[
\left\{ \pi - 3, \frac{\pi - 3}{2}, \frac{\pi - 3}{3}, \frac{\pi - 3}{4}, \ldots \right\}
\]
En general, \(\frac{\pi - 3}{n}\) disminuye a medida que \(n\) aumenta. Matemáticamente, \(\lim_{n \to \infty} \frac{\pi - 3}{n} = 0\).
Paso 2: Comparación de los elementos de \(B\) y \(D\)
Queremos determinar si existe algún elemento en \(D\) que sea menor que cualquier elemento en \(B\). Específicamente, debemos ver si existe \(\frac{\pi - 3}{n}\) tal que:
\[
\frac{\pi - 3}{n} < \frac{1}{m} \quad \text{para todo} \quad m \in \mathbb{N}
\]
Paso 3: Análisis de la desigualdad
Consideremos la comparación entre los elementos \(\frac{\pi - 3}{n}\) y \(\frac{1}{m}\):
\[
\frac{\pi - 3}{n} < \frac{1}{m}
\]
Reordenando la desigualdad, tenemos:
\[
\pi - 3 < \frac{n}{m}
\]
Esto significa que para que \(\frac{\pi - 3}{n}\) sea menor que \(\frac{1}{m}\) para cualquier \(m\), se debe cumplir que:
\[
\pi - 3 < \frac{n}{m} \quad \text{para cualquier} \quad m \in \mathbb{N}
\]
Dado que \(\pi - 3 \approx 0.141592\), podemos hacer los siguientes cálculos:
Para \(m = 1\):
\[
\pi - 3 < n
\]
Para \(m = 2\):
\[
\pi - 3 < \frac{n}{2}
\]
Paso 4: Determinación de \(n\)
Dado que \(\pi - 3\) es un número fijo, consideremos un valor suficientemente grande de \(n\):
\[
\frac{\pi - 3}{n} < \frac{1}{m} \quad \text{para todo} \quad m \in \mathbb{N}
\]
A medida que \(n\) crece, \(\frac{\pi - 3}{n}\) puede hacerse arbitrariamente pequeño. Por lo tanto, siempre podemos encontrar un valor de \(n\) tal que:
\[
\frac{\pi - 3}{n} < \frac{1}{m} \quad \text{para cualquier} \quad m \in \mathbb{N}
\]
Conclusión
Sí, existe un valor de \(n\) suficientemente grande tal que \(\frac{\pi - 3}{n}\) en el conjunto \(D\) es menor que cualquier \(\frac{1}{m}\) en el conjunto \(B\). Esto se debe a que \(\pi - 3\) es una constante positiva pequeña, y \(\frac{\pi - 3}{n}\) puede hacerse arbitrariamente pequeño conforme \(n\) aumenta.
Por lo tanto, concluimos que:
Sí, existe algún elemento del conjunto \(D\) que es menor que cualquier elemento del conjunto \(B\).
Aquí hay otra demostración diferente sobre la existencia de un irracional menor que cualquier elemento del conjunto B (el conjunto de todos los irracionales del tipo $$\displaystyle\frac{1}{n}$$), emplenando ya sí una idea muy aprecida a la que usa Cantor con el argumento de diagonalización.
Spoiler
1. Definición de los Conjuntos \( B \) y \( D \):
- El conjunto \( B \) está definido como todos los números racionales de la forma \( \frac{1}{n} \) donde \( n \) es un número natural. Formalmente:
\[
B = \left\{ b_n = \frac{1}{n} \mid n \in \mathbb{N} \right\}
\]
- El conjunto \( D \) está definido como todos los números irracionales de la forma \( \frac{\pi - 3}{n} \) donde \( n \) es un número natural. Formalmente:
\[
D = \left\{ d_n = \frac{\pi - 3}{n} \mid n \in \mathbb{N} \right\}
\]
Dado que \(\pi\) es un número irracional, \(\pi - 3\) también lo es, por lo tanto, cada \( d_n \) es un número irracional.
2. Correspondencia entre los Elementos de \( B \) y \( D \):
- Establecemos una correspondencia uno a uno entre los elementos de \( B \) y \( D \) de la siguiente manera:
\[
b_n \longleftrightarrow d_n \quad \text{para cada } n \in \mathbb{N}
\]
3. Representación Decimal de \( d_n \):
- Cada \( d_n \) se puede representar por su expansión decimal infinita:
\[
d_n = 0.a_{n1}a_{n2}a_{n3}\ldots
\]
donde \( a_{nk} \) es el \( k \)-ésimo dígito decimal de \( d_n \).
4. Definición de la Función de Modificación de Cifras:
- Definimos una función \( f \) que toma la cadena decimal de \( d_n \) y modifica las cifras a partir de la posición \( n \) de la siguiente manera:
\[
f(d_n) = 0.a_{n1}a_{n2}\ldots a_{n(n-1)}a'_{nn}a'_{n(n+1)}a'_{n(n+2)}\ldots
\]
donde:
\[
a'_{nk} =
\begin{cases}
a_{nk} - 1 & \text{si } k \geq n \text{ y } a_{nk} > 0 \\
0 & \text{si } k \geq n \text{ y } a_{nk} = 0 \\
a_{nk} & \text{si } k < n
\end{cases}
\]
5. Propiedades de la Función \( f \):
- La función \( f \) genera una nueva cadena decimal que representa otro número irracional.
- Para cada \( d_n \), \( f(d_n) \) es menor que cualquier elemento de la lista original, ya que hemos reducido los dígitos a partir de la posición \( n \).
6. Conclusión:
- Al aplicar la función \( f \) a cada \( d_n \), obtenemos una nueva cadena decimal que representa un nuevo número irracional que no está en la lista original de \( D \) y, además, es menor a cualquier real de la lista.
- Esto demuestra que podemos generar más números irracionales menores que los elementos enumerados inicialmente en \( D \).
Formalmente, hemos construido una función que transforma cada \( d_n \) en otro número irracional menor que \( d_n \), y este proceso puede continuar infinitamente, demostrando que hay más números irracionales menores que cualquiera de los que se pueden enumerar en la lista.
Un saludo
