Hola geometrecat
No te digo que no. Aunque tengo algunas dudas, es concebible que un mundo alternativo con un desarrollo histórico distinto de las matemáticas podríamos estar hablando de lo que ahora se conoce como análisis no estándar como el análisis estándar, y usar infinitesimales para definir límites y derivadas. Aún así, en ese mundo se seguirían usando los reales estándar.
Tranquilamente se podria definir que hay reales arquimedianos y reales no arquimedianos, mientras un real se define como: todo valor entre dos valores.
Pero bueno, para nombres colores.
Pues no lo es, en absoluto. Este "razonamiento" es un ejemplo de la falacia que se obtiene al intercambiar cuantificadores, un "razonamiento" análogo a "toda persona tiene un padre, por tanto hay alguien que es el padre de todas las personas".
Aqui me has roto. Para nada veo que esta analogia sea fiel al razonamiento que expongo.
Lo de Cantor no tiene nada que ver con esto. Cantor parte de una función inyectiva \( f:\Bbb N \to \Bbb R \) y construye un real que no está en su imagen. Cantor razona con el infinito en acto y no en potencia, claro que sí, pero la problemática no está en si razonas con infinito en acto o en potencia, solo en si razonas correctamente o no.
Cantor razona:
Vamos a suponer que tengo una lista donde relaciono biyectivamente todos los naturales con todos los reales.
Para expresar eso dice que la lista es de "n" elementos. Y esta variable "n" recorre TODOS los naturales. Por tanto en la demostracion trabaja con una lista de "n" elementos, y con ello no quiere decir que la lista va creciendo indefinidamente, sino que significa que la lista expresa a "todos" los naturales relacionados con un real.
Si Cantor hubiese interpretado iterativamente esta variable "n", imaginando que la lista va creciendo indefinidamente hasta el infinito, entonces no se puede demostrar que tal lista no pueda enumerar a todos los reales, precisamente porque chocaria con el argumento este que me esgrimis: un real que no este en la lista $$n_7$$ puede estar en la lista ampliada $$n_{10}$$. Y asi indefinidamente.
La cuestión es que Cantor demuestra que dada la lista infinita existe un real fuera de ella, te da una construcción de dicho real.
Permiteme corregirte aqui. Cantor no demuestra que dada una lista infinita existe un real fuera, sino que dada una lista "con todos los naturales" hay reales fuera.
Eh aqui la diferencia, a mi parecer, y el quid de la question.
En cambio, cuando afirmas que existe un irracional positivo menor que todos los números de la forma \( 1/n \), ¿dónde está la demostración de su existencia? No puedes afirmarla por la cara, eso no se sigue de ningún principio, es un salto al vacío. No veo ninguna diferencia entre eso y afirmar que existe un racional positivo menor que todos los \( 1/n \), o llevado al absurdo que existe un natural fuera de cualquier lista de naturales. La diferencia es clara, en el caso de Cantor te demuestra que hay un real fuera de la lista, en los demás casos tal demostración es imposible.
Comparto que este sea el punto más delicado. Veamos:
Cantor demuestra que no se pueden listar los todos los reales diciendo:
1) Tengo una lista de "n" filas, que significa, tengo una lista con todos los naturales.
2) cada fila, pues, representa un natural relacionado con un real del intervalo (0,1)
3) si para cada real de cada fila le cambio el valor de la cifra que ocupa el lugar del real dentro de la lista, entonces genero otro real de longitud "n" que no esta en la lista "n" (de todos los naturales).
Cantor, pues, no usa ningun limite, ninguna iteracion. En todo momento trabaja sobre "n", que representa a todos los naturales sin excepcion.
Hagamos ahora lo mismo: trabajar con una lista "n", con todos los naturales.
1) Tomamos la lista "n" de todos los naturales.
2) relacionamos cada uno de los naturales con un elemento del conjunto A, $$A={1/(n+1)}$$
1:1/2
2:1/3
3:1/4
...
3) y ahora relacionamos cada elemento de A, con un elemento de B, $$B={√2/(2(n+1))}$$:
1:1/2:√2/4
2:1/3:√2/6
3:1/4:√2/8
...
Es decir, hacemos la lista:
$$n:1/(1+n):√2/(2(n+1))$$
La diferencia con Cantor es que con esta lista de todos los naturales no buscamos un elemento que no este en la lista, sino que al tener tal lista se demuestra la existencia de un elemento de B menor que cualquier elemento de A.
En otras palabras:
1:1/2:√2/4 (hasta aqui la lista no contiene racionales menores que 1/2, pero si un irracional menor)
2:1/3:√2/6 (hasta aqui la lista no contiene racionales menores que 1/3 pero si un irracional menor)
3:1/4:√2/8 (hasta aqui la lista no contiene racionales menores que 1/4, pero si un irracional menor)
...
Por tanto con toda la lista completa:
$$n:1/n:√2/(2(n+1))$$ (hasta aqui la lista no contiene racionales menores que 1/n, pero sí contiene irracionales menores que 1/n ).
Obviamente, si no tratamos esta lista "n" como una lista de todos los naturales, sino como una lista que va creciendo e iterando hasta el infinito, este argumento no se puede aplicar.
La definición de reales tiene una motivación muy clara: "rellenar" los "huecos" de los racionales de la forma más económica posible. Por eso se dice que los reales son una completación de los racionales. Y de esta forma además los reales tienen la propiedad de ser completos: ellos mismos no tienen "huecos". Hay varias formas de precisar qué quiere decir "hueco" y "rellenar", en las que no me quiero enredar ahora, pero una de esas formas es pedir que cualquier conjunto acotado superiormente tenga un supremo, y eso lleva inexorablemente a los reales y a la propiedad arquimediana (si tomas el axioma del supremo la propiedad arquimediana sale como teorema y no hay que imponerla).
En cambio los hiperreales no son completos. Por ejemplo, el conjunto de los infinitesimales no tiene ningún supremo, así que ahí tienes un "hueco". De todas formas, los hiperreales son útiles como herramienta auxiliar a \( \Bbb R \) para hacer análisis, pero no puedes olvidarte de \( \Bbb R \) y sustituirlo por los hiperreales porque tienen propiedades muy malas. Por ejemplo: no son completos, no admiten estructura de espacio métrico, no tienen una topología con base numerable, ... Todo esto los hace bastante inútiles como sustituto de los reales a la hora de hacer matemáticas.
Interesante.
Gracias geometrecat
