Hola geometrecat, gracias por tus aclaraciones.
Solo me gustaria indicar q si hablo de hiperreales es porque mi razonamiento me lleva a numeros que parecen cumplir las propiedades de los hiperreales.
Sí, ya veo. Mis comentarios eran para aclarar lo que pasa con los hiperreales de verdad (lo que la comunidad matemática entiende por hiperreales, vaya).
La diferencia es que para demostrar tales hiperreales Robinson tuvo que introducir modificaciones axiomaticas, creando el analisis no estandar, y desde mi parecer eso no seria necesario. Basta con asumir:
Sí es necesario, más sobre esto luego. En cualquier caso, si vas a hablar de reales, los reales tienen una definición y unas propiedades concretas, y no te puedes inventar lo que quieras.
1) Dado el conjunto A, como subconjunto de todos los racionales del tipo $$1/n$$, con $$n$$ cualquier natural.
2) se demuestra que no existe ningun otro subconjunto de todos racionales, B, que contenga algun elemento que sea menor que cualquier elemento de A.
Bien, suponiendo que estemos hablando de reales.
3) se asume que para cada elemento de A existe un irracional menor a tal elemento y mayor que 0.
No se asume, se demuestra. Dado \( n \) puedes demostrar que existe un irracional \( r \) tal que \( 0<r<1/n \). Por ejemplo, puedes tomar \( r:=\frac{\sqrt{2}}{2n} \).
4) por los puntos anteriores se deduce que existe al menos un irracional $$x$$, tal que $$0<x<1/n$$.
Aquí está el error, y es lo que le digo a Richard en el otro hilo. Que dado un \( n \) pueda encontrar un irracional \( 0<r<1/n \) no implica en ningún caso que exista un irracional \( r \) tal que \( 0<r<1/n \)
para todo \( n \). Son cosas muy distintas. Por ejemplo, antes te he puesto un ejemplo de irracional entre \( 0 \) y \( 1/n \), pero fíjate que el irracional depende de \( n \) y que ningún irracional de esa forma es menor que \( 1/n \) para todos los \( n \) a la vez. De hecho, en los reales eso es imposible: ningún real es menor que \( 1/n \) para todo \( n \).
Este razonamiento nos lleva a la existencia de un tipo de valor irracional $$x$$ que cumple los requisitos de un hiperreal infinitesimal, dado que no presenta la propiedad arquimediana y su inverso da un valor superior a culaquier natural posible.
No, por lo que he dicho anteriormente.
En resumen, con este razonamiento se justifica una extension de los reales sin necesidad de apelar a modificar axiomas y emplear conceptos bastante abstractos como los ultrafiltros.
No, porque el razonamiento es incorrecto. Y es que además tiene que serlo. Cómo va a ser correcto un razonamiento que partiendo de los reales encuentra propiedades que contradicen las propiedades de los reales. No tiene sentido.
Sobre los ultrafiltros y el análisis no estándar, es necesario construir un modelo para asegurarse de que existen unos números que cumplan los axiomas que quieras. El problema de tomar axiomas "por la cara" es que no sabes si pueden ser contradictorios o no. Por ejemplo, imagina que hago un "razonamiento" de tu estilo y llego a la conclusión de que existe un cuerpo ordenado donde los naturales tienen un supremo. Y me invento unos "hiperreales de geómetracat" que es un cuerpo ordenado donde los naturales tienen supremo. Pues eso no existe, porque como ya se ha indicado antes no existe ningún cuerpo ordenado en el que los naturales tengan supremo. En cambio, si como Robinson construyes en el marco de la teoría de conjuntos ortodoxa, un cuerpo ordenado en el que existen los infinitesimales (y cumplen una serie de propiedades), te aseguras de que tus axiomas no van a llevar a contradicciones, porque si así fuera podrías llegar a una contradicción en la propia teoría de conjuntos.
Tu problema es que tomas axiomas que te parecen al tuntún (motivados por "razonamientos" con los reales que son incorrectos) y los das por válidos sin más, sin preocuparte de si pueden llevar a inconsistencias y contradicciones o no. Eso es justo lo que
no hizo Robinson, y se dedicó a dar un modelo para los hiperreales y el análisis no estándar.
En cierta manera, esto es análogo a lo que pasa con los reales. Los reales se definen como un cuerpo ordenado en que todo conjunto acotado superiormente tiene supremo. Pero luego gente como Dedekind o Cantor se dedicaron a dar construcciones de conjuntos que satisfacían esas propiedades en teoría de conjuntos. ¿Cuál es el motivo de esto, si podemos decir que existe eso y ya está? El motivo es el mismo que el de Robinson: asegurarnos de que realmente existe un cuerpo con esas propiedades en la axiomática usual de las matemáticas, y que por tanto no podemos llegar a contradicciones razonando (correctamente) sobre reales si no es que la propia teoría de conjuntos es contradictoria.
Dicho esto, entiendo que si no se asume este razonamiento no es porque el razonamiento esté mal, sino porque contradice el principio arquimediano y con el, la idea de densidad de los reales. Y esto se asume como inamovible. ¿Me equivoco?
No se asume ese razonamiento porque como se te ha dicho por activa y por pasiva es un razonamiento incorrecto. Pero al margen de eso, tampoco es que se asuma como inamovible, es que así es como se definen los números reales. Y si hablas de cuerpos ordenados que no cumplen el principio arquimediano es que no estás hablando de los reales. No tiene más.
