Hola
Lo que quería decir es la primera, que dices que es falsa. Pero, ¿por qué es falsa si dices que es cierto que para cada $$a_n$$ hay un irracional menor, entonces para todo $$a_n$$ habrá un irracional menor, no?
¿En base a qué propiedad, axioma, teorema, resultado previo, afirmas eso?. Lo curioso es que ni siquiera es intuitivo. Ya no hay que hablar ni de irracionales ni de conjuntos no numerables para ver que eso no funciona.
Por ejemplo si tomas:
\( A=\left\{a_n=\dfrac{1}{2n}|n\in \Bbb N\right\} \) (inversos de los pares)
\( B=\left\{b_n=\dfrac{1}{2n-1}|n\in \Bbb N\right\} \) (inversos de los impares)
Dado cualquier \( a_n\in A \) existe un \( x_n\in B \) tal que \( 0<x_n<a_n \).
Pero eso no significa que exista un \( x\in B \) tal que \( 0<x<a_n \) para TODO \( a_n\in A \). ¿O acaso crees qué existe?.
O eso solo se acepta que lo haga Cantor? No lo entiendo.
Sea acepta lo que se puede probar a partir de las definiciones y reglas de inferencia previamente establecidas.
Por lo demás Cantor no pinta nada en esto. Citarlo aquí es hacer ruido...
En el spoiler ya sale esta demostración, que considera que si cogemos el supuesto supremo de los naturales, llamémosle $$M$$, entonces restándole un real menor que $$M$$ nos dará un número menor que algún natural; y eso nos lleva a una contradicción.
Sin embargo, si $$M$$ es un hipernatural es imposible que restándole un real menor que él mismo de un número menor que algún natural, por las propiedades de los hipernaturales, que cumplen esa intuición de Leibiniz que decía que un (número ilimitado) - (un número limitado) da un número ilimitado.
Pero es que no estamos hablando de hipernaturales (sea lo que sea eso). Estamos trabajando con los naturales que cumplen los axiomas de Peano y los números reales (por ejemplo con la definición axiomática qué presenta argentinator en el enlace que te di o cualquier construcción/definición equivalente).
Entonces en los reales el conjunto de naturales ni está acotado ni tiene supremo.
El hecho de que hables de naturales y reales, pero de repente saltes a otra cosa, hace imposible fijar el marco en el que estamos hablando y contribuye a la infinitud de la longitud del hilo. Y me parece de hecho hacerte trampas al solitario. No me parece que ayude a clarificar nada; a acotar las dudas, separar los desacuerdos y zanjar los acuerdos.
Yo lo que estoy defendiendo es que NO es cierto que haya ninguna contradicción entre la teoría de los cardinales de Cantor y la definición standard de los reales y sus propiedades (arquimediana; densidad de racionales en irracionales y viceversa).
Saludos.
