[Luis Fuentes]

Hola

1) La propiedad arquimediana de los reales implica el principio de densidad y he visto que se demuestra porque los naturales no tienen supremo.

Si, en concreto porque los naturales no están acotados superiormente. No existe ningún número real mayor que todos los naturales.

2) Si consideramos que hay una cantidad mayor que la numerable de intervalos disjuntos con extremos irracionales, entonces entramos en contradicción con el punto 1. Y dado que el punto 1 se considera bien demostrado, entonces, la conclusión es que el número de intervalos disjuntos con extremos irracionales debe ser, a lo máximo, infinito numerable

Si. Me llama la antención  que digas "se considera bien demostrado" y no "está demostrado". 

3) Todo intervalo disjunto contiene más irracionales que racionales, pero la cantidad de racionales de cada intervalo es infinito numerable.

No tiene sentido hablar de "intervalo disjunto". Disjunto es un concepto que implica a dos o mas conjuntos. Simplemente todo intervalo abierto contiene infinitos racionales (una "cantidad" numerable) e infinitos irracionales  (una cantidad no numerable).

Por tanto, todo se aguanta sobre la demostración de que cualquier real cumple la propiedad arquimediana, la cual está íntimamente relacionada con la demostración de que el conjunto de los naturales no tiene un supremo. ¿Es así?

Sobre esa propiedad y otras previas de los números raciones.

Saludos.

P.D. Por en medio en alguno de tus mensajes has ido planteando la posibilidad de considerar "números" (entrecomillo porque no son lo que entendemos habitualmente por números) con infinitas cifras no decimales.

\( x=\ldots 1212121212 \)
\( y=\ldots 2121212121 \).

 O con más decimales después de infinitos decimales:

\( z=3.141592653\ldots 333333333\ldots \)
\( t=0.01000000000\ldots 1415926539\ldots \)

 y cosas así.

Todo eso puede considerarse, puedes inventarlo; pero lo que no puedes es preguntar por ejemplo, cuánto daría \( 1 \) entre uno de esos números con infinitas cifras no decimales cómo si hubiese una respuesta predeterminada. Eso esa respuesta tienes que darla tu cuando definas esos "números", como se supone que operarian y que propiedades tienen. Y de ahí ver si eso puede dar lugar a una teoría mínimamente coherente y útil.

 Por ejemplo si quieres darle un orden total no parece muy claro entre estos dos números:

\( x=\ldots 1212121212 \)
\( y=\ldots 2121212121 \).

cuál debería de ser mayor.

[feriva]

Gracias Luís y geométrecat por las aclaraciones y la paciencia.

Vale, pues hago un breve resumen a ver si lo entiendo:

1) La propiedad arquimediana de los reales implica el principio de densidad y he visto que se demuestra porque los naturales no tienen supremo.

2) Si consideramos que hay una cantidad mayor que la numerable de intervalos disjuntos con extremos irracionales, entonces entramos en contradicción con el punto 1. Y dado que el punto 1 se considera bien demostrado, entonces, la conclusión es que el número de intervalos disjuntos con extremos irracionales debe ser, a lo máximo, infinito numerable

3) Todo intervalo disjunto contiene más irracionales que racionales, pero la cantidad de racionales de cada intervalo es infinito numerable.



Por tanto, todo se aguanta sobre la demostración de que cualqueir real cumple la propiedad arquimediana, la cual est´aíntimamente relacionada con la demostración de que el conjunto de los naturales no tiene un supremo. ¿Es así?

Un saludo

Yo lo entiendo así (quizá haya algo que no considere bien).

En el ejemplo de Luis tienes irracionales dados por \( \pi+k \) con k entero; donde “k” va tomando valores cero, 1 positivo, 1 negativo, 2 positivo, dos negativo, 3 positivo, etc.

Entonces, con los irracionales \( \pi+0 \) y \( \pi+1 \) puedes formar el intervalo \( (\pi+0,\,\pi+1) \).

Dichos irracionales no pertenecen al conjunto de los número contenidos ahí, porque es abierto por los dos lados; no tiene máximo ni mínimo. Así pues, quedan fuera del intervalo. Y lo mismo se hace con los otros \( \pi+k \), puedes formar intervalos abiertos de forma que queden fuera esos irracionales.

Es decir, nada te impide considerar aisladamente cualquier irracional y considerar todos los números de al lado que no son ese irracional; el cual puedes utilizar como ínfimo o como supremo para formar un intervalo con un irracional en el otro extremo.

De esta manera puedes formar una familia de intervalos (que son trocitos de continuo) a lo largo de toda la recta.

Si consideraras como elementos los números que están dentro del intervalo, el cardinal sería no numerable, porque son trozos de continuo, pero lo que consideras como elementos son los intervalos en sí, no los números de dentro; y todos los intervalos dos a dos están separados por un número, ese irracional que se queda fuera. Por tanto, es un conjunto enteramente discontinuo, ningún elemento va ligado a otro, por lo que es trivialmente numerable.

Ahora imagina que se han extraído de los intervalos (quizá de todos, quizá de algunos) tantos racionales como intervalos (tiene que poderse hacer, porque es un conjunto numerable y los que quedan fuera de los intervalos son irracionales). Entonces, nada impide volver a meter un racional en cada “palomar”, en cada intervalo.

Saludos.

[RDC]

Hola Luís

Hola

Si, en concreto porque los naturales no están acotados superiormente. No existe ningún número real mayor que todos los naturales.

Perfecto

Si. Me llama la antención  que digas "se considera bien demostrado" y no "está demostrado". 

bueno, al final una demostración no es más que la conclusión coherente que se llega a través de unas definiciones, argumentos e inferencias que se consideran válidos. Tú mismo admites que si cambiamos definiciones y argumentaciones, bueno, podemos demostrar otras cosas. ¿no? Otra cosa será que la gente esté o no de acuerdo con esos cambio, o bien el éxito y la utildiad que logren entre quienes están interesados en ello.

De hecho, los hiperreales sí existen, está claro, pero en el sistema no-estandard, donde su existencia está muy bien demostrada. Lo digo porque hay gente aquí que se pone las manos a la cabeza si se habla de ellos 

No tiene sentido hablar de "intervalo disjunto". Disjunto es un concepto que implica a dos o mas conjuntos. Simplemente todo intervalo abierto contiene infinitos racionales (una "cantidad" numerable) e infinitos irracionales  (una cantidad no numerable).

ok

Sobre esa propiedad y otras previas de los números racionales.

hoy no he tenido mucho tiempo, pero ahora estaba mirando un poco y al final todo parece aguantarse porque, de una forma u otra, no se puede determinar un supremo a los naturales, ¿voy muy errado?

P.D. Por en medio en alguno de tus mensajes has ido planteando la posibilidad de considerar "números" (entrecomillo porque no son lo que entendemos habitualmente por números) con infinitas cifras no decimales.

\( x=\ldots 1212121212 \)
\( y=\ldots 2121212121 \).

 O con más decimales después de infinitos decimales:

\( z=3.141592653\ldots 333333333\ldots \)
\( t=0.01000000000\ldots 1415926539\ldots \)

 y cosas así.

Todo eso puede considerarse, puedes inventarlo; pero lo que no puedes es preguntar por ejemplo, cuánto daría \( 1 \) entre uno de esos números con infinitas cifras no decimales cómo si hubiese una respuesta predeterminada. Eso esa respuesta tienes que darla tu cuando definas esos "números", como se supone que operarian y que propiedades tienen. Y de ahí ver si eso puede dar lugar a una teoría mínimamente coherente y útil.

 Por ejemplo si quieres darle un orden total no parece muy claro entre estos dos números:

\( x=\ldots 1212121212 \)
\( y=\ldots 2121212121 \).

cuál debería de ser mayor.

Sí, entiendo...  ya abrí un hilo hablando de estos supernaturales, que de alguna forma serían los hipernaturales de la teoría no-estandard.

un saludo

[feriva]

De hecho, los hiperreales sí existen, está claro, pero en el sistema no-estandard, donde su existencia está muy bien demostrada.

Pero no existen tal como tú los concibes, es un enfoque teórico; o sea, no hay más números hiperreales que reales, no tienen otro cardinal, son los mismos reales con un disfraz.

Buenas noches.

[ani_pascual]

Hola:
La matización de Luis Fuentes

Si, en concreto porque los naturales no están acotados superiormente. No existe ningún número real mayor que todos los naturales.

parece oportuna, dado que los naturales sí tienen supremo \(  \sup\{\mathbb{N}\}=\aleph_0 \)
Saludos

[RDC]

Hola feriva

De hecho, los hiperreales sí existen, está claro, pero en el sistema no-estandard, donde su existencia está muy bien demostrada.

Pero no existen tal como tú los concibes, es un enfoque teórico; o sea, no hay más números hiperreales que reales, no tienen otro cardinal, son los mismos reales con un disfraz.

Buenas noches.

Son una extensión de los reales que cumplen el principio arquimidianao. Y aquí siempre he defendido que eran "reales" que no cumplen el principio arquimidiano.

de todos modos, los reales también son una construcción abstracta y teórica. Una cosa no quita la otra.

un saludo

[RDC]

Hola:
La matización de Luis Fuentes

Si, en concreto porque los naturales no están acotados superiormente. No existe ningún número real mayor que todos los naturales.

parece oportuna, dado que los naturales sí tienen supremo \(  \sup\{\mathbb{N}\}=\aleph_0 \)
Saludos

Hola ani_pascual 

Bueno, $$\aleph_0$$ es el número de naturales que contiene $$\Bbb N$$, y sí, yo lo he usado como una cota superior, por así decirlo, cuando afirmaba que:

Dado el conjunto $$A,A=\left\{{a_=\displaystyle\frac{1}{(1+n)}}\right\}$$, entonces $$0<x<a_n$$, siendo $$x$$ un irracional.

De hecho, no entiendo porque dado el intervalo [0,1], por ejemplo, no es correcto razonar que:

si nos colocamos sobre el 1 tendremos $$\aleph_0$$ racionales hasta llegar a 0, mientras que tendremos muchos más irracionales para llegar a 1.

Bueno, entiendo que si como razonamiento no se acepta es porque esto contradice la densidad de los racionales, pero la densidad de los racionales se sustenta sobre la idea que los naturales no tienen supremo. Pero si aceptamos que el supremos de los naturales es $$\aleph_0$$, entonces lo de la denisdad no se puede demostrar.

De hecho hay algo curioso, he visto que se demuestra que los naturales no tienen supremo mediante los siguientes razonamientos:

Spoiler

La afirmación de que el conjunto de los números naturales (\(\mathbb{N}\)) no tiene un supremo se puede demostrar de varias maneras. A continuación, se presentan algunas de las principales demostraciones:

1. Demostración por Contradicción

Idea: Suponer que \(\mathbb{N}\) tiene un supremo y llegar a una contradicción.

Procedimiento:
1. Supongamos que \(\mathbb{N}\) tiene un supremo \(S\).
2. Por definición, \(S\) es el mayor número en \(\mathbb{N}\), es decir, \(n \leq S\) para todo \(n \in \(\mathbb{N}\).
3. Consideremos \(S + 1\). \(S + 1\) también es un número natural y, por lo tanto, \(S + 1 \in \mathbb{N}\).
4. Pero \(S + 1\) es mayor que \(S\), lo cual contradice la suposición de que \(S\) es el supremo de \(\mathbb{N}\).
5. Concluimos que no existe tal supremo \(S\).

Esta demostración, ¿acaso no demuestra, sólamente, que el supremo de los naturales, si lo tiene, jamás puede ser un natural? Entiendo que no demuestra nada más

2. Demostración Usando Propiedades de los Naturales

Idea: Usar las propiedades inherentes de los números naturales.

Procedimiento:
1. Los números naturales son \(\{1, 2, 3, \ldots\}\).
2. Por la definición de los números naturales, para cualquier número \(n \in \mathbb{N}\), siempre existe un número \(n + 1 \in \mathbb{N}\).
3. No hay un número natural que sea mayor que todos los demás números naturales.
4. Por lo tanto, \(\mathbb{N}\) no tiene un supremo.

Esta demostración, lo mismo que la anterior, ¿acaso no demuestra, sólamente, que el supremo de los naturales, si lo tiene, jamás puede ser un natural? Entiendo que no demuestra nada más

3. Demostración Usando la Propiedad Arquimediana

Idea: La propiedad arquimediana establece que para cualquier número real \(x\), existe un número natural \(n\) tal que \(n > x\).

Procedimiento:
1. Supongamos que \(S\) es un supremo de \(\mathbb{N}\).
2. Por la propiedad arquimediana, para cualquier número real \(x\), existe un número natural \(n\) tal que \(n > x\).
3. Aplicando esta propiedad a \(S\), debe existir un número natural \(n\) tal que \(n > S\).
4. Esto contradice la definición de \(S\) como supremo de \(\mathbb{N}\).
5. Por lo tanto, \(\mathbb{N}\) no tiene un supremo.

Bueno, como la propiedad arquimediana se demuestra demostrando que los naturales no tienen supremo, obviamente se puede emplar tal propiedad para demostrar que los naturales no tendrían supremo

4. Demostración Usando Series y Sumas Infinitas

Idea: Mostrar que cualquier intento de sumar todos los números naturales lleva a una divergencia, indicando que no hay un máximo.

Procedimiento:
1. Considere la suma de los números naturales: \(1 + 2 + 3 + \ldots\).
2. Esta serie es divergente, es decir, no converge a ningún número finito.
3. Si no hay un límite finito para la suma de los números naturales, no puede haber un supremo.
4. Por lo tanto, \(\mathbb{N}\) no tiene un supremo.

Bueno, de nuevo, se demuestra que la serie no converge a ningún natural concreto y por tanto, si los naturales tuvieran supremo este no seria ningún natural

5. Demostración Usando la Definición de Supremo

Idea: Aplicar directamente la definición de supremo y mostrar que ningún número puede cumplir con los requisitos.

Procedimiento:
1. Supongamos que \(S\) es el supremo de \(\mathbb{N}\).
2. Entonces, \(S\) debe ser una cota superior de \(\mathbb{N}\), es decir, \(n \leq S\) para todo \(n \in \mathbb{N}\).
3. Además, para cualquier \(\epsilon > 0\), debe existir un número natural \(n\) tal que \(S - \epsilon < n \leq S\).
4. Para \(\epsilon = 1\), debe existir un número natural \(n\) tal que \(S - 1 < n \leq S\).
5. Esto implica que \(S < n + 1\), pero \(n + 1 \in \mathbb{N}\), lo que significa que \(S\) no puede ser la cota superior de \(\mathbb{N}\).
6. Por lo tanto, \(\mathbb{N}\) no tiene un supremo.

Esta me parece muy interesante parte de suponer la existencia de un supremo $$S$$ de los naturales, para decir que si a $$S$$ le restamos un valor real (acaso el 1) entonces obtenemos un valor más pequeño que algún natural y ello nos lleva a contradicción con la idea de que $$\Bbb N$$ tenga supremo.

Sin embargo, si $$S$$ es $$\aleph_0$$ por más valores naturles le restes continua siendo $$\aleph_0$$ con lo cual tal crontradicción o se produce nunca

[cerrar]

un saludo

[feriva]

Hola feriva

De hecho, los hiperreales sí existen, está claro, pero en el sistema no-estandard, donde su existencia está muy bien demostrada.

Pero no existen tal como tú los concibes, es un enfoque teórico; o sea, no hay más números hiperreales que reales, no tienen otro cardinal, son los mismos reales con un disfraz.

Buenas noches.

Son una extensión de los reales que cumplen el principio arquimidianao. Y aquí siempre he defendido que eran "reales" que no cumplen el principio arquimidiano.

de todos modos, los reales también son una construcción abstracta y teórica. Una cosa no quita la otra.

un saludo

Voy a intentar explicarme sin decir la barbaridad ésa de “cifras detrás del infiito”.

Si pensamos en un número así 0,000...2 donde nunca se llega a ese dos, podemos idealizarlo de dos formas.

Una de ellas es la que yo tenía antes de que Juan Pablo me explicara, no hace muchos años, cómo va esto en el modelo estándar. La idea que tenía es la idea intuitiva de infinitesimal, la que creo entender que usa el análisis no estándar.

\( \dfrac{0,2}{0,2}=1 \)

\( \dfrac{0,02}{0,02}=1 \)

...

\( \dfrac{0,000...2}{0,000...2}=1 \).

El resultado de la fracción va a ser el mismo en los dos modelos.

Pero ahora yo puedo pensar que ahí en medio hay tantos ceros que no sólo no puedo llegar al 2 contando ceros, sino que ni siquiera me acerco; pienso que hay que llegar dando un salto “actual”. Ésta es la visión de ese número entendido como infinitesimal.

Pero también puedo pesnar que, aunque tampoco llegue nunca, sí que me acerco al 2 contando ceros; y además me puedo acercar más “deprisa” o más “despacio”; ésta es la idea del modelo estándar.

Son dos enfoques, no existen en realidad números distintos.

De hecho, que yo sepa (a lo mejor me equivoco) el modelo estándar no niega ni deja de negar la existencia de esos números, simplmente no los considera entendidos así, lo que no existe es el enfoque, la forma de pensar los números.

Si pasa Juan Pablo que te lo expliqué él como me lo explicó a mí; con unos límites que convergían maś deprisa o más despacion.

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

 RDC: te sigues expresando de manera muy imprecisa; así es imposible que llegues a justificar nada rigurosamente, ni a entender el porqué de los errores que cometes.

Bueno, $$\aleph_0$$ es el número de naturales que contiene $$\Bbb N$$, y sí, yo lo he usado como una cota superior, por así decirlo, cuando afirmaba que:

Dado el conjunto $$A,A=\left\{{a_=\displaystyle\frac{1}{(1+n)}}\right\}$$, entonces $$0<x<a_n$$, siendo $$x$$ un irracional.

Ahí no se sabe si afirmas que:

 - EXISTE un \( x \) irracional tal que \( 0<x<a_n \) para todo \( a_n\in A \). Cosa que es FALSA.
 - Para cada \( a_n\in A \) existe un irracional \( x \) tal que \( 0<x<a_n \). Cosa que es VERDADERA. Para enfatizar que el \( x \) depende de \( a_n \) podríamos denotarlo mejor \( x_n \).

Y claro no es decir "se entiende del contexto". Pues como en muchas otras cosas que dices no se sobrentiende en absoluto del contexto lo que tú has querido expresar. En este ejemplo uno tendería a quedarse con la interpretación VERDADERA; pero sospecho que tu te refieres a la FALSA.

De hecho, no entiendo porque dado el intervalo [0,1], por ejemplo, no es correcto razonar que:

si nos colocamos sobre el 1 tendremos $$\aleph_0$$ racionales hasta llegar a 0, mientras que tendremos muchos más irracionales para llegar a 1.

"Si nos colocamos sobre el 1" Mal empezamos porque no está claro que es colocarse en el 1.

"tendremos $$\aleph_0$$ racionales hasta llegar a 0" Junto con la frase anterior ahí entiendo que ese "hasta llegar" es "hacia atrás". Es decir rigurosamente lo que quieres decir es el conjunto \( \{q\in \Bbb Q|0<q<1\} \) tiene cardinal $$\aleph_0$$, lo cuál es correcto.

"mientras que tendremos muchos más irracionales para llegar a 1" Aquí me pierdo completamente. ¿Para llegar a \( 1 \) desde donde?:

- Si te refieres de nuevo entre \( 0 \) y \( 1 \), es decir, al conjunto \( \{i\in \Bbb I|0<i<1\} \) es cierto que ese conjunto tiene cardinal mayor que $$\aleph_0$$. Entonces si es correcto razonar así.

- Si no.. no se muy bien. ¿Acaso te refieres a ir desde 1 hasta 1?¿El conjunto \( \{i\in \Bbb I|1<i<1\} \)?  Ese conjunto es vacío...

Bueno, entiendo que si como razonamiento no se acepta es porque esto contradice la densidad de los racionales, pero la densidad de los racionales se sustenta sobre la idea que los naturales no tienen supremo. Pero si aceptamos que el supremos de los naturales es $$\aleph_0$$, entonces lo de la densidad no se puede demostrar.

De hecho hay algo curioso, he visto que se demuestra que los naturales no tienen supremo mediante los siguientes razonamientos:

Pues te puse un enlace hace ya muchos mensajes

Pero no se si lo has leído.

https://matematics.wordpress.com/tag/propiedad-arquimediana/

Allí se prueba que los naturales no están acotados superiormente. La prueba se base básicamente en el axioma del supremo y que los reales es un cuerpo ordenado (orden compatible con las operaciones); se prueba previamente que hay una copia de los naturales metido en él.

La prueba del enlace es esta:



Me sigue pareciendo de que no acabas de mentalizarte de que si quieres analizar estas cosas de manera rigurosa no puedes basarte en concepciones intuitivas, vagas  y en el aire de a que llamas los conjunto de los reales, racionlaes, irracionales,... Sino de que axiomas has elegido para definirlo y/o como los has construído.

De nuevo te di un enlace donde todo esto se hace muy minuciosamante:

https://foro.rinconmatematico.com/index.php/topic,35792.msg142848.html#msg142848ç

Tampoco sé si lo has leído con el detalle que se merece. También allí aparece una prueba de que los naturales no son acotados en los reales. Los reales que previamente define axiomáticamente; no los reales pensados de manera vaga y subjetiva.

Si crees que hay alguna incongruencia o circularidad, es una exposición completa de este tipo la que tienes que analizar y criticar.

Saludos.

P.D. Desde mi punto de vista también en este hilo feriva se expresa de manera vaga en la mayoría de sus respuestas. Caer en una "batalla" de intuiciones es absurdo: al final la intuición es algo subjetivo. Una cosa es usarla para obtener ideas que luego uno formaliza, y otra cosa es descansar sólo en ella. Es especialmente desaconsejado en un caso como este, donde claramente tu intuición y la suya os dicen cosas distintas.

[ani_pascual]

Hola, RDC:

Bueno, $$\aleph_0$$ es el número de naturales que contiene $$\Bbb N$$, y sí, yo lo he usado como una cota superior, por así decirlo, cuando afirmaba que:
...

Aunque ya lo ha explicado Luis Fuentes, intentaré remachar 
En la recta real, en tanto que conjunto ordenado, se dice que un subconjunto \( B\subseteq \mathbb{R} \) está acotado superiormente si existe alguna cota superior, es decir, si existe algún número real \( K \) tal que se verifica \( b\leq K,\,\,\forall\,b\in B \). A la menor de todas las cotas superiores se le llama supremo de \( B \). Si \( B \) no está acotado superiormente, me parece que se conviene en que su supremo es infinito \( (\infty ) \), que no es un número real. Yo puse \( \sup\{\mathbb{N}\}=\aleph_0 \) porque es el menor de los números transfinitos. Ahora donde pone \( B \) pon \( \mathbb{N} \); como no está acotado superiormente, ya que la recta real cumple la propiedad arquimediana, resulta que el supremo de los naturales es infinito, y el menor de los infinitos ya sabes cuál es.  En definitiva, \( \mathbb{N} \) como subconjunto de \( \mathbb{R} \) no está acotado superiormente pero sí tiene supremo, el cuál no es máximo.
Añadido:
Espero que el siguiente comentario no implique el borrado del mensaje por la moderación.  Es solo un toque de humor 
Sucede aquí como en politica, donde el Tribunal Supremo no es el Máximo órgano judicial ya que el TC le puede enmendar la plana 
Saludos