si divido 1 entre un numero de infinitas cifras, que sería un hipernatural (un número más grande que cualquier natural posible), esta división, ¿con cuantos 0 empezaría su parte decimal?
así, a bote pronto, pienso que empezaría con infinitos 0 en el decimal, pero el número final no sería cero, sino brutalmente pequeño, tan pequeño que no nos podemos acercar a él mediante divisiones racionales. Sería un infinitesimal.
No. Si divides un número real por un “número” de infinitas cifras (o sea, por un representante del cardinal de los naturales) te da cero patatero.
El infinito no numerable supera el propio sistema numérico; sí, el sistema, no ya sólo los números (al menos en cualquier base finita). No puedes representar (tomándolo en serio) ese tipo de infinito o infinitésimo con un representante numérico; del mismo modo que no puedes meter un coche de verdad dentro de un coche de juguete, es algo parecido (con la imaginación y una buena dosis de abstracción sí se puede).
El infinito no numerable es notablemente distinto a una cantidad finita, porque es infinitamente “elástico” al ser representado numéricamente, los cardinales finitos no lo son. Entonces, cuando imaginas el infinito, no puedes dejar en ningún momento de tener esto en cuenta.
Creo que ya te comenté, en uno de los primeros hilos que pusiste sobre Cantor, que podíamos poner también números naturales en la tabla \( n\times n \) que se usa para la idea de la diagonal que viene en Wikipedia (me lo ha recordado el comentario de Pie; los podemos escribir así 5,000... con tantos ceros como haga falta para que las filas tengan todas la misma cantidad de casillas). Podemos representar cualquier número real con las “n” cifras que elijamos para hacer la tabla. Y, como la tabla es de \( n\times n \), no caben más que “n” números.
Entonces, a partir del producto cartesiano \( n\times n \), tenemos unas cuantas variaciones con repetición de “m” elementos tomados de “n” en “n”. Los “m” elementos son las distintas cifras de la base, donde al menos debemos usar dos símbolos si queremos representar números reales de todo tipo (como pueden ser las cifras 0 y 1, en sistema binario, por ejemplo).
En la tabla, obviamente, sólo caben “n” variaciones, que son las “n” filas, cada una con un número distinto, pero se pueden formar variaciones (números de “n” cifras) que no están en la tabla.
En total, la cantidad de variaciones va a ser \( m^{n}>n \). Y aquí ves en qué medida el cardinal de las variaciones supera el valor de “n” (la cantidad de cifras de cada número); esto es análogo a observar en qué medida supera el cardinal no numerable al numerable.
Si hablamos de una tabla finita, la cantidad de variaciones (para un mismo “n”) va a ser mayor en la medida en que “m” (la cantidad de símbolos de la base numérica) sea mayor. Pero si consideramos una tabla \( \aleph_{0}\times\aleph_{0} \) todas las cantidades finitas, de símbolos de la base numérica, son insignificantes frente a \( \aleph_{0} \) ; por eso, el cardinal de los reales (la “cantidad” de variaciones que podemos hacer con las cifras) es único; lo cual no es una afirmación intuitiva (o no sólo) dado que en teoría de conjuntos no surge ese merengue de las bases y el cardinal queda perfectamente definido usando esto:
https://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_potenciaNo obstante, lo que te digo muestra esa “elasticidad” de la escritura con números (valga la redundancia): como puede mostrarlo también esto otro \( \infty+10000^{10000}=\infty \) u otras cosas así.
De este modo, como la unicidad del infinito numerable es tan “elástica” al representarse numéricamente, no hay forma de “saltar” del infinito numerable al no numerable mediante una representación numérica que no resulte ridícula.
Saludos.
