[RDC]

3) En concreto se te ha explicado que: a cada par de irracionales se le puede asignar un racional comprendido entre ambos teniendo en cuenta que ese racional podrá estar "repetido", no tiene porque ser distinto para cada par de irracionales. Por ejemplo si tomamos un irracional positivo \( x \) y su opuesto \( -x \), entre ambos siempre hay un mismo racional: el cero. Por tanto nada de esto contradice la diferente cardinalidad de irracionales y racionales. FIN DE LA HISTORIA.

Pero entiendo que si hablamos de intervalos disjuntos, que es lo que estábamos haciendo, esto que dices no puede ser dado que no pueden compartir elementos:

Spoiler

Los intervalos disjuntos son aquellos que no tienen puntos en común. En términos matemáticos, dos intervalos \((a, b)\) y \((c, d)\) son disjuntos si no tienen ningún punto en común, es decir, si \(b \leq c\) o \(d \leq a\).

Ejemplos:
- Los intervalos \((1, 2)\) y \((3, 4)\) son disjuntos porque no comparten ningún punto.
- Los intervalos \((1, 3)\) y \((2, 4)\) no son disjuntos porque comparten los puntos entre 2 y 3.

[cerrar]

¿Me equivoco?

Adicionalmente se te ha señalado que el hecho de que entre cada par de reales haya un racional también sirve para probar que cualquier familia de intervalos disjuntos es finita o numerable.

 ¿Está claro si o no?. Si no está claro, EXACTAMENTE ¿qué cosa no se entiende de lo que acabo de escribir?.

De esto no entiendo: si generamos un número listable de intervalos disjuntos con extremos irracionales, que contienen un racional al menos que debe ser exclusivo de ese intervalo (al ser todos los intervalos disjuntos), nos sobran irracionales. ¿estos no generan intervalos disjuntos? Esto no lo entiendo, la verdad. Me parece ad hoc.

Es decir, ¿si hay una cantidad $$\aleph_1$$ de irracionales no significaría que debería ser posible una familia  de $$\aleph_1$$ intervalos disjuntos con extremos irracionales?

Saludos.

[RDC]

Estos tendrían tendrían una distribución diferente: infinitos ceros para empezar y luego lo que fuera.

Pero a ver RDC, ¿cómo que "infinitos ceros para empezar y luego lo que fuera"? Si son una secuencia infinita no hay luego que valga. Me recuerda a lo que decía Woody Allen de la eternidad, que se hacía muy larga sobre todo hacia el final.
Vamos que puede dar la impresión de  que te choteas del personal. A ver que todos (yo el primero) podemos decir barbaridades grandilocuentes sobre contradicciones que curiosamente ningún matemático ha detectado en un siglo aunque se hayan estudiado el tema quizás un pelín más que tú pero de ahí a acabar esos argumento con un "pero no sé, qué opináis? ", para luego ser totalmente impermeable a cualquier corrección y seguir con la matraca de la contradicción pues, hombre, sí que parece que el hilo puede tender a infinito.

jajajaja muy buena esa.

No, a ver, no me choteo de nadie. Intentaré explicarme mejor.

supongamos que existen números $$x$$ tales que $$0<x<1/n$$. Son números que no cumplen la propiedad arquimediana y se pueden considerar infinitesimales (hiperreales).

Si tales números existen entonces también existen los hipernaturales, $$h$$, que serían del tipo:

$$n<1/x=h$$, es decir serían números mucho más grandes que cualquier natural.

En términos de representar estos números hipernaturales como cadenas de cifras parece lícito considerar que serían cadenas de infinitas cifras (todas representarían la parte entera del número). Es decir, sería un número de infintias cifras.

Ahora, pues, dividimos 1 entre un número de infnitas cifras y, ¿qué obtenemos? El infinitesimal, que siempre será menor que cualquier valor del tipo que propone sugata

$$1/h=1/(1/x)=x< \displaystyle\frac{1}{10^n}$$

¿Cómo representar este número mediante cadenas de cifras todas ellas representando decimales?  Pues no sé, simplemente se me ha ocurrido esto que he dicho.

¿Se te ocurre algo diferente a ti?

[RDC]

En este sentido, nada impide pensar que estos irracionales infinitesimales tendrían infinitos ceros al principio de su parte decimal. En tal caso, entiendo que lo que propones no se puede aplicar. ¿me equivoco?

Te equivocas. Tras el "infinito" de ceros tienen que venir infinitas cifras decimales, sino no es irracional. Y puedo construir una fraccion de la forma \( \dfrac{1}{10^n} \) con n suficientemente grande que sea menor.
El infinito de los ceros lo he puesto entre comillas, ya que si tiene infinitos ceros decimales, el número es el 0.

los inifnitos ceros serían ya de las cifras decimales. es decir, la parte decimal tendría infinitos ceros consecutivos y luego infinitos valores más. En principio no parece imposible, dado que un número irracional que sea normal tiene infinitos 0, infinitos 1, infinitos 2, infintios 3, etc entre sus cifras, aunque distribuidos de forma "normal". Estos tendrían tendrían una distribución diferente: infinitos ceros para empezar y luego lo que fuera.

Yo ni papa de estos temas, pero si un número tiene infinitos ceros decimales (consecutivos se entiende), no sería un entero?

Saludos.

cualquier número irracional normal tiene infinitos 0, aunque no consecutivos ¿Qué cambia eso realmente?

[Restituto]

jajajaja muy buena esa.

No, a ver, no me choteo de nadie. Intentaré explicarme mejor.

supongamos que existen números $$x$$ tales que $$0<x<1/n$$. Son números que no cumplen la propiedad arquimediana y se pueden considerar infinitesimales (hiperreales).

Si tales números existen entonces también existen los hipernaturales, $$h$$, que serían del tipo:

$$n<1/x=h$$, es decir serían números mucho más grandes que cualquier natural.

En términos de representar estos números hipernaturales como cadenas de cifras parece lícito considerar que serían cadenas de infinitas cifras (todas representarían la parte entera del número). Es decir, sería un número de infintias cifras.

Ahora, pues, dividimos 1 entre un número de infnitas cifras y, ¿qué obtenemos? El infinitesimal, que siempre será menor que cualquier valor del tipo que propone sugata

$$1/h=1/(1/x)=x< \displaystyle\frac{1}{10^n}$$

¿Cómo representar este número mediante cadenas de cifras todas ellas representando decimales?  Pues no sé, simplemente se me ha ocurrido esto que he dicho.

¿Se te ocurre algo diferente a ti?

Uf, yo bastante tengo con intentar entender bien los reales. Ni se me ocurre meterme con los hiperreales hasta que eso pase, además con lo que lo que les costó a los matemáticos prescindir de los infinitesimales como para volver a ellos, quita quita.
Pero bueno, yo creía que en lo que discutías sobre densidad de  racionales y su relación con irracionales te mantenías en los reales de toda la vida. Pienso que es mejor tener bien claro eso y los reales en general antes de empezar a enredar con infinitesimales. 

[Juan Pablo Sancho]

Primero, no todo número irracional tiene infinitos ceros.
\( x = 0,12112111211112... \) es irracional, no tiene ningún cero, y está claro que lo cambia todo \( 5 = 5.0000000 \cdots  \) y el número es único, no le puedes mete un dígito después de todos los infinitos ceros consecutivos, espero que esto aclare el problema.

[geómetracat]

De esto no entiendo: si generamos un número listable de intervalos disjuntos con extremos irracionales, que contienen un racional al menos que debe ser exclusivo de ese intervalo (al ser todos los intervalos disjuntos), nos sobran irracionales. ¿estos no generan intervalos disjuntos? Esto no lo entiendo, la verdad. Me parece ad hoc.

No necesariamente te sobran irracionales, porque están contenidos en algunos de tus intervalos. Por ejemplo, si uno de tus intervalos es \( (-\pi,\pi) \), ya no puedes usar como extremo para otro intervalo disjunto números irracionales como \( e \) o \( \sqrt{2} \), ni ningú no de la infinidad no numerable de irracionales contenidos en \( (-\pi,\pi) \).

Es decir, ¿si hay una cantidad $$\aleph_1$$ de irracionales no significaría que debería ser posible una familia  de $$\aleph_1$$ intervalos disjuntos con extremos irracionales?

No, por lo dicho anteriormente. La clave está en la palabra disjuntos, eso limita bastante las colecciones de intervalos con extremos irracionales que puedes formar, y como ya te hemos indicado tres veces, cualquier familia de intervalos disjuntos dos a dos debe ser finita o numerable. Y la demostración es básicamente esta: si existiera una familia no numerable de intervalos disjuntos, tomando un racional en cada uno (que necesariamente serán distintos) tendríamos una inyección de un conjunto infinito no numerable en un conjunto numerable, lo que es una contradicción.

Te puede parecer raro, contraintuitivo o todo lo que tú quieras, pero no hay contradicción ninguna entre el hecho de que el cardinal de los irracionales sea mayor que el de los racionales y que cualquier familia de intervalos disjuntos sea finita o numerable.

Por cierto, un comentario al margen. En la teoría de conjuntos usual no se puede afirmar que hay \( \aleph_1 \) irracionales: eso es la hipótesis del continuo, que es indecidible en ZFC.

[sugata]

No, a ver, no me choteo de nadie. Intentaré explicarme mejor.

Pues a mi esto me ha sonado despectivo, como si mi opinión no importara.

debe de ser algo muy raro, porque sino sugata tendría razón.

Cómo si Sugata tuviera razón siendo tonto.

[Luis Fuentes]

Hola

De esto no entiendo: si generamos un número listable de intervalos disjuntos con extremos irracionales, que contienen un racional al menos que debe ser exclusivo de ese intervalo (al ser todos los intervalos disjuntos), nos sobran irracionales. ¿estos no generan intervalos disjuntos? Esto no lo entiendo, la verdad. Me parece ad hoc.

Ya te ha contestado geómetracat, pero por poner un ejemplo concreto. La familia de intervalos

\( \{(\pi+k,\pi+k+1)|k\in \Bbb Z\} \)

es una familia de intervalos disjuntos con extremos irracionales que cubre todos los números reales EXCEPTO los irracionales \( \{\pi+k|k\in \Bbb Z\}=\{\pi,\pi+1,\pi-1,\pi+2,\pi-2,\ldots\} \) y esos irracionales que "sobran" no generan ninguna familia de intervalos disjuntos (fuera de los que ya había).

En este caso por ejemplo los racionales \( \{3.5+k|k\in \Bbb Z\} \) están en cada uno de los intervalos.

Es decir, ¿si hay una cantidad $$\aleph_1$$ de irracionales no significaría que debería ser posible una familia  de $$\aleph_1$$ intervalos disjuntos con extremos irracionales?

Te han demostrado que no.

Saludos.

[sugata]

.

Ahora, pues, dividimos 1 entre un número de infnitas cifras y, ¿qué obtenemos? El infinitesimal, que siempre será menor que cualquier valor del tipo que propone sugata

$$1/h=1/(1/x)=x< \displaystyle\frac{1}{10^n}$$

¿Cómo representar este número mediante cadenas de cifras todas ellas representando decimales?  Pues no sé, simplemente se me ha ocurrido esto que he dicho.

¿Se te ocurre algo diferente a ti?

Si dividimos uno entre un natural de infinitas cifras, tenemos un racional por definicion.
Un racional es de la forma \( p/q \) tales que p y q son naturales. El uno es natural y el NATURAL de infinitas cifras, es NATURAL.
Lo que no te das cuenta es que no existe un último natural, ni un primer irracional.
No puedes usar el axioma de peano en los reales.

[Pie]

En este sentido, nada impide pensar que estos irracionales infinitesimales tendrían infinitos ceros al principio de su parte decimal. En tal caso, entiendo que lo que propones no se puede aplicar. ¿me equivoco?

Te equivocas. Tras el "infinito" de ceros tienen que venir infinitas cifras decimales, sino no es irracional. Y puedo construir una fraccion de la forma \( \dfrac{1}{10^n} \) con n suficientemente grande que sea menor.
El infinito de los ceros lo he puesto entre comillas, ya que si tiene infinitos ceros decimales, el número es el 0.

los inifnitos ceros serían ya de las cifras decimales. es decir, la parte decimal tendría infinitos ceros consecutivos y luego infinitos valores más. En principio no parece imposible, dado que un número irracional que sea normal tiene infinitos 0, infinitos 1, infinitos 2, infintios 3, etc entre sus cifras, aunque distribuidos de forma "normal". Estos tendrían tendrían una distribución diferente: infinitos ceros para empezar y luego lo que fuera.

Yo ni papa de estos temas, pero si un número tiene infinitos ceros decimales (consecutivos se entiende), no sería un entero?

Saludos.

cualquier número irracional normal tiene infinitos 0, aunque no consecutivos ¿Qué cambia eso realmente?

Sin ánimo de contribuir a que esta discusión se alargue más y más (estoy citando por sexta vez el mensaje "original" ya ), pero solo por curiosidad, para ti un número con infinitos ceros (consecutivos) decimales sería entero o no?

Saludos.