[geómetracat]

interesante... así que mediante la idea de límite es suficiente para tratar todo lo que sea la continuidad (derivación, integración, etc?

Efectivamente. Primero se define la noción de límite de una función de variable real (lo que tiene una definición precisa que usa únicamente números reales) y luego se definen las derivadas e integrales de funciones usando este concepto de límite. Así no ha que apelar en ningún momento a infinitesimales ni nada por el estilo.

Yo uso al chat a diario para automatizar mis cosas y me va de coña, pero entiendo que las matemáticas son más complejas y "aún" genera muchas imprecisiones y tal. Lo he puesto por curiosidad.

Yo también, pero hay que saber en qué contextos es útil usarlo y en cuáles puede ser una fuente importante de problemas. Ya sé que eres consciente de las limitaciones, pero por si lo lee otra gente.

Como  precisamente me ha picado la curiosidad le he pasado tu respuesta al chat. de hecho se sabe que se multiplica la efectividad de estos LLM cuando vas iterando con ellos sobre un tema para que vaya corrigiendo errores (es la línea que están siguiendo de usar agentes). Ha respondido esto y yo, la verdad, no sé si está bien o no:

Spoiler

Voy a abordar el problema con una mayor precisión y rigurosidad matemática. La crítica que recibiste es válida en cuanto a que los intervalos entre irracionales no son necesariamente disjuntos, y esto requiere una aproximación diferente. Vamos a reformular el argumento.

Revisión del Problema

Queremos demostrar que es imposible que siempre exista al menos un número racional entre cada par de números irracionales. Utilizaremos un enfoque diferente al del principio del palomar, más adecuado para esta situación.

Paso 1: Cardinalidades de Conjuntos

1. Números racionales (\(\mathbb{Q}\)): Este conjunto es numerable (cardinalidad \(\aleph_0\)).
2. Números irracionales en [0,1]: Este conjunto es no numerable (cardinalidad \(\mathfrak{c}\)).

Paso 2: Suposición Inicial

Supongamos que entre cada par de números irracionales en el intervalo [0,1] siempre existe al menos un número racional. Esta suposición implica que para cualquier par de números irracionales \(a\) y \(b\) con \(a < b\), existe un número racional \(r\) tal que \(a < r < b\).

Paso 3: Construcción de Intervalos

Consideremos una familia de intervalos abiertos \((a_i, b_i)\) con \(a_i\) y \(b_i\) siendo números irracionales, y todos disjuntos dos a dos. Es decir, los intervalos \((a_i, b_i)\) son tales que \(a_i < b_i\) y para \(i \neq j\), los intervalos \((a_i, b_i)\) y \((a_j, b_j)\) no tienen intersección.

Paso 4: Propiedad de Intersección de Intervalos

Debido a la densidad de los números racionales en los reales, podemos elegir un número racional distinto para cada intervalo disjunto \((a_i, b_i)\). Sin embargo, aquí está la clave:

- Si seleccionamos una cantidad infinita numerable de intervalos disjuntos \((a_i, b_i)\), la cantidad de números racionales que podemos asignar es infinita numerable (\(\aleph_0\)).

Paso 5: Implicaciones de Cardinalidad

Consideremos ahora una familia de intervalos disjuntos entre irracionales. Debido a que los irracionales son no numerables (\(\mathfrak{c}\)), si intentáramos construir una familia de intervalos disjuntos que cubriera todos los irracionales, encontraríamos una contradicción, ya que una cantidad no numerable de intervalos requeriría una cantidad no numerable de racionales, pero solo tenemos una cantidad numerable de ellos (\(\aleph_0\)).

Paso 6: Conclusión

El argumento reformulado es más claro al explicar que la no numerabilidad de los irracionales y la numerabilidad de los racionales impide que cada par de irracionales tenga un racional entre ellos sin que se violen las propiedades de densidad y cardinalidad. La conclusión es:

- No es posible que siempre haya un número racional entre cada par de números irracionales debido a la discrepancia en las cardinalidades de los conjuntos implicados.

Respuesta al Comentario

La crítica mencionada aborda la incorrecta suposición de intervalos disjuntos, lo cual es correcto. La reformulación del argumento evita este error al centrar la contradicción en la imposibilidad de asignar racionales a pares de irracionales sin violar la densidad y cardinalidad. Este enfoque corrige el error inicial y sostiene la conclusión deseada con mayor precisión matemática.

[cerrar]

No tengo ganas de entrar en una discusión con ChatGPT, la verdad. Pero solo por esta vez, fíjate que acepta mis críticas y mis argumentos (lógico, es muy servicial y rara vez te llevará la contraria explícitamente o dirá que algo de lo que dices está mal). Pero sin embargo hace un salto al vacío a final. De la contradicción del paso 5, como decía antes, lo que se deduce es que no puede existir un conjunto infinito no numerable de intervalos disjuntos con extremos irracionales. La conclusión correcta por tanto no es que "No es posible que siempre haya un número racional entre cada par de números irracionales".

[feriva]

Hola, RDC. Esto contesta a mis preguntas el chat gpt:

Sean dos números irracionales tan parecidos en valor como quieras; por ejemplo.

a=1,2346789221...8...

b=1,2346789221...9...

Todas sus cifras son iguales en cantidad y valor hasta que uno llega a la cifra 8 y otro a la cifra 9 (detrás de los primeros puntos suspensivos). Luego, en los siguientes puntos suspensivos, las cifras pueden ser todas iguales para los dos o no; pero, evidentemente, al ser números irracionales, tienen que ser infinitas y no pueden formar un periodo.

¿Puedes construir un número c tal que a<c<b?

Si lo has encontrado, represéntalo con un ejemplo de forma análoga a como yo lo he hecho.

...

Para construir un número c tal que a<c<b donde a y b son números irracionales dados con todas sus cifras iguales hasta un cierto punto, podemos considerar un número que difiera en una posición más allá del punto donde a y b se diferencian. En este caso:

a=1.2346789221…8…

b=1.2346789221…9…

Una forma de construir c es elegir una cifra intermedia entre la primera cifra diferente de a y b. Dado que la primera diferencia es 8 8 y 9 9, podemos elegir un número c que tenga esa cifra como 8.5 8.5 (o cualquier otro valor entre 8 8 y 9 9) y luego continuar con cualquier secuencia de dígitos irracionales que no forme un periodo.

Entonces, un posible c podría ser:

c=1.2346789221…85…

Para un ejemplo más detallado:

Supongamos que a=1.2346789221…8888888… (con 8s continuos después del punto de diferencia). Supongamos que b=1.2346789221…9999999… (con 9s continuos después del punto de diferencia). Entonces podemos construir c como:

c=1.2346789221…888888889…

Aquí, he elegido c con la cifra intermedia 9 después de varios 8s, para asegurarnos de que a<c<b.

Este c es irracional y cumple con la condición de estar estrictamente entre a y b.

...

Ahora date cuenta de que siempre podemos quitar esos puntos suspensivos en la construcción, con lo que si se puede construir un irracional, se puede construir un racional:

c=1.2346789221…888888889 racional.

...

Gracias. A raíz de tu respuesta entiendo que si quitamos a ese c los puntos suspensivos, es decir, las infinitas cifras de detrás, tendríamos un racional q que también cumpliría a<q<b. Y parece que esto se va a poder hacer siempre, o sea, parece que siempre encontraremos un racional entre dos irracionales por muy parecidos que éstos sean en valor. No obstante, no estoy seguro, ¿podrías intentar construir dos irracionales tan cercanos, tan cercanos en valor, que no fuera posible meter en medio un racional pero sí un irracional?

...

Y me contesta esto

Spoiler

[cerrar]

Saludos.

[RDC]

Con tu conjunto A.
Tenemos un irracional tan cerca del 0 como queramos, tendrá sus primeros millosnes de decimales 0. Llamo a este número de decimales 0 n.
Pues \( \dfrac {1}{10^{n+1}} \) tiene un decimal 0 más, luego es más pequeño.

interesante sugata....

un irracional tal se podrá representar como una cadena de infinitas cifras configurando su parte decimal (no tendrá parte entera). Podemos tratar esta cadena de infiintas cifras como un conjunto Z de infintios elementos, donde cada elemento Z es una de las cifras decimales del número.

Entonces es posible tener un subconjunto de Z de infinitos elementos tales que todos sean 0, además de otros subconjuntos infinitos, como un subconjunto de infinitos 1 por ejemplo. En eso no hay problema.

En este sentido, nada impide pensar que estos irracionales infinitesimales tendrían infinitos ceros al principio de su parte decimal. En tal caso, entiendo que lo que propones no se puede aplicar. ¿me equivoco?

Pero no sé.

[RDC]

Hola, RDC. Esto contesta a mis preguntas el chat gpt:

Sean dos números irracionales tan parecidos en valor como quieras; por ejemplo.

a=1,2346789221...8...

b=1,2346789221...9...

Todas sus cifras son iguales en cantidad y valor hasta que uno llega a la cifra 8 y otro a la cifra 9 (detrás de los primeros puntos suspensivos). Luego, en los siguientes puntos suspensivos, las cifras pueden ser todas iguales para los dos o no; pero, evidentemente, al ser números irracionales, tienen que ser infinitas y no pueden formar un periodo.

¿Puedes construir un número c tal que a<c<b?

Si lo has encontrado, represéntalo con un ejemplo de forma análoga a como yo lo he hecho.

...

Para construir un número c tal que a<c<b donde a y b son números irracionales dados con todas sus cifras iguales hasta un cierto punto, podemos considerar un número que difiera en una posición más allá del punto donde a y b se diferencian. En este caso:

a=1.2346789221…8…

b=1.2346789221…9…

Una forma de construir c es elegir una cifra intermedia entre la primera cifra diferente de a y b. Dado que la primera diferencia es 8 8 y 9 9, podemos elegir un número c que tenga esa cifra como 8.5 8.5 (o cualquier otro valor entre 8 8 y 9 9) y luego continuar con cualquier secuencia de dígitos irracionales que no forme un periodo.

Entonces, un posible c podría ser:

c=1.2346789221…85…

Para un ejemplo más detallado:

Supongamos que a=1.2346789221…8888888… (con 8s continuos después del punto de diferencia). Supongamos que b=1.2346789221…9999999… (con 9s continuos después del punto de diferencia). Entonces podemos construir c como:

c=1.2346789221…888888889…

Aquí, he elegido c con la cifra intermedia 9 después de varios 8s, para asegurarnos de que a<c<b.

Este c es irracional y cumple con la condición de estar estrictamente entre a y b.

...

Ahora date cuenta de que siempre podemos quitar esos puntos suspensivos en la construcción, con lo que si se puede construir un irracional, se puede construir un racional:

c=1.2346789221…888888889 racional.

...

Gracias. A raíz de tu respuesta entiendo que si quitamos a ese c los puntos suspensivos, es decir, las infinitas cifras de detrás, tendríamos un racional q que también cumpliría a<q<b. Y parece que esto se va a poder hacer siempre, o sea, parece que siempre encontraremos un racional entre dos irracionales por muy parecidos que éstos sean en valor. No obstante, no estoy seguro, ¿podrías intentar construir dos irracionales tan cercanos, tan cercanos en valor, que no fuera posible meter en medio un racional pero sí un irracional?

...

Y me contesta esto

Spoiler

[cerrar]

Saludos.

Está claro que para $$\aleph_0$$ pares de valores irracionales siempre encontraremos en medio un racional. Lo que sucede es que hay más de $$\aleph_0$$ pares de valores irracionales, generando con ello un intervalo continuo, y de racionales solo hay $$\aleph_0$$

Luego està el hecho que un infinitesimal sería un valor que tendría infinitos ceros al principio de su parte decimal, y luego más valores. Con lo cual no hay forma de relacionar esto con racionales.

[Juan Pablo Sancho]

Pero en la lista , o en la diagonalización de Cantor los elementos de la aplicación de los naturales no tiene por que ser creciente ni decreciente, creo que estás en el error de que la aplicaión \( \sigma : \mathbb{N} \to [0,1]  \) deba ser monotona y no es así.
Más no creo que puedad aportar nada.

[feriva]

Está claro que para $$\aleph_0$$ pares de valores irracionales siempre encontraremos en medio un racional. Lo que sucede es que hay más de $$\aleph_0$$ pares de valores irracionales, generando con ello un intervalo continuo, y de racionales solo hay $$\aleph_0$$

Luego està el hecho que un infinitesimal sería un valor que tendría infinitos ceros al principio de su parte decimal, y luego más valores. Con lo cual no hay forma de relacionar esto con racionales.

Pues, en el modelo estándar, un número como el que describes no sólo es racional, sino que además es único; sólo hay un número infinitamente pequeño, como sólo hay un “número” infinitamente grande, ambas cosas son forro del mismo taje.
 

Saludos.

[RDC]

interesante... así que mediante la idea de límite es suficiente para tratar todo lo que sea la continuidad (derivación, integración, etc?

Efectivamente. Primero se define la noción de límite de una función de variable real (lo que tiene una definición precisa que usa únicamente números reales) y luego se definen las derivadas e integrales de funciones usando este concepto de límite. Así no ha que apelar en ningún momento a infinitesimales ni nada por el estilo.

Yo uso al chat a diario para automatizar mis cosas y me va de coña, pero entiendo que las matemáticas son más complejas y "aún" genera muchas imprecisiones y tal. Lo he puesto por curiosidad.

Yo también, pero hay que saber en qué contextos es útil usarlo y en cuáles puede ser una fuente importante de problemas. Ya sé que eres consciente de las limitaciones, pero por si lo lee otra gente.

Como  precisamente me ha picado la curiosidad le he pasado tu respuesta al chat. de hecho se sabe que se multiplica la efectividad de estos LLM cuando vas iterando con ellos sobre un tema para que vaya corrigiendo errores (es la línea que están siguiendo de usar agentes). Ha respondido esto y yo, la verdad, no sé si está bien o no:

Spoiler

Voy a abordar el problema con una mayor precisión y rigurosidad matemática. La crítica que recibiste es válida en cuanto a que los intervalos entre irracionales no son necesariamente disjuntos, y esto requiere una aproximación diferente. Vamos a reformular el argumento.

Revisión del Problema

Queremos demostrar que es imposible que siempre exista al menos un número racional entre cada par de números irracionales. Utilizaremos un enfoque diferente al del principio del palomar, más adecuado para esta situación.

Paso 1: Cardinalidades de Conjuntos

1. Números racionales (\(\mathbb{Q}\)): Este conjunto es numerable (cardinalidad \(\aleph_0\)).
2. Números irracionales en [0,1]: Este conjunto es no numerable (cardinalidad \(\mathfrak{c}\)).

Paso 2: Suposición Inicial

Supongamos que entre cada par de números irracionales en el intervalo [0,1] siempre existe al menos un número racional. Esta suposición implica que para cualquier par de números irracionales \(a\) y \(b\) con \(a < b\), existe un número racional \(r\) tal que \(a < r < b\).

Paso 3: Construcción de Intervalos

Consideremos una familia de intervalos abiertos \((a_i, b_i)\) con \(a_i\) y \(b_i\) siendo números irracionales, y todos disjuntos dos a dos. Es decir, los intervalos \((a_i, b_i)\) son tales que \(a_i < b_i\) y para \(i \neq j\), los intervalos \((a_i, b_i)\) y \((a_j, b_j)\) no tienen intersección.

Paso 4: Propiedad de Intersección de Intervalos

Debido a la densidad de los números racionales en los reales, podemos elegir un número racional distinto para cada intervalo disjunto \((a_i, b_i)\). Sin embargo, aquí está la clave:

- Si seleccionamos una cantidad infinita numerable de intervalos disjuntos \((a_i, b_i)\), la cantidad de números racionales que podemos asignar es infinita numerable (\(\aleph_0\)).

Paso 5: Implicaciones de Cardinalidad

Consideremos ahora una familia de intervalos disjuntos entre irracionales. Debido a que los irracionales son no numerables (\(\mathfrak{c}\)), si intentáramos construir una familia de intervalos disjuntos que cubriera todos los irracionales, encontraríamos una contradicción, ya que una cantidad no numerable de intervalos requeriría una cantidad no numerable de racionales, pero solo tenemos una cantidad numerable de ellos (\(\aleph_0\)).

Paso 6: Conclusión

El argumento reformulado es más claro al explicar que la no numerabilidad de los irracionales y la numerabilidad de los racionales impide que cada par de irracionales tenga un racional entre ellos sin que se violen las propiedades de densidad y cardinalidad. La conclusión es:

- No es posible que siempre haya un número racional entre cada par de números irracionales debido a la discrepancia en las cardinalidades de los conjuntos implicados.

Respuesta al Comentario

La crítica mencionada aborda la incorrecta suposición de intervalos disjuntos, lo cual es correcto. La reformulación del argumento evita este error al centrar la contradicción en la imposibilidad de asignar racionales a pares de irracionales sin violar la densidad y cardinalidad. Este enfoque corrige el error inicial y sostiene la conclusión deseada con mayor precisión matemática.

[cerrar]

No tengo ganas de entrar en una discusión con ChatGPT, la verdad. Pero solo por esta vez, fíjate que acepta mis críticas y mis argumentos (lógico, es muy servicial y rara vez te llevará la contraria explícitamente o dirá que algo de lo que dices está mal). Pero sin embargo hace un salto al vacío a final. De la contradicción del paso 5, como decía antes, lo que se deduce es que no puede existir un conjunto infinito no numerable de intervalos disjuntos con extremos irracionales. La conclusión correcta por tanto no es que "No es posible que siempre haya un número racional entre cada par de números irracionales".

Vale, estoy trasteando con la maquina de nuevo. Ya entiendo porqué pega ese salto.

1) La máquina tiene que defender sí o sí el principio arquimediano y por ello, la propiedad de densidad de los racionales.

2) La máquina tiene que defender sí o sí que la cantidad de irracionales en [0,1] es infinitamente mayor que la cantidad de racionales.

Entonces, la máquina entra en contradicción cuando se da cuenta que se pueden generar $$\aleph_1$$ intervalos disjuntos con extremos dos irracionales, hecho que impide que tengamos suficientes racionales para que cada uno de los intervalos contenga alguno. Ante la paradoja ha pegado ese salto, pues no lo veía claro.

Cuando le he dicho que esa conclusión no tenía sentido ha buscado otra forma de saltarse la contradicción subyacente, diciendo que si bien cada intervalo de estos tiene un racional, por la propiedad arquimediana, este no puede ser jamás único, con lo cual no se puede establecer una relación biyectiva entre racionales e intervalos, de modo que, concluía con la idea de que distintos intervalos compartirán un mismo racional. Entonces le he recordado que estos intervalos no pueden compartir elementos dado que son disjuntos y me ha dicho esto:

Spoiler

Gracias por la aclaración. Permíteme resolver esta cuestión con un enfoque más detallado y preciso.

Conceptos Clave

1. **Densidad de los Racionales**: Entre cualquier dos números reales (irracionales incluidos), siempre existe al menos un número racional.
2. **Intervalos Disjuntos**: Dos intervalos son disjuntos si no tienen ningún punto en común.

La Pregunta Específica

¿Es posible que siempre haya un racional entre cada par de irracionales?

Clarificación del Problema

Vamos a usar un argumento de lógica y cardinalidad, pero aclarando la relación con los intervalos disjuntos.

Densidad y Cardinalidad

1. **Densidad**: La densidad de los racionales implica que en cualquier intervalo abierto en los reales, siempre existe al menos un racional.
2. **Cardinalidad**:
   - Los irracionales en el intervalo \([0, 1]\) son no numerables (\(\mathfrak{c}\)).
   - Los racionales en el intervalo \([0, 1]\) son numerables (\(\aleph_0\)).

Argumento Principal

1. **Suposición**: Consideremos que hay un racional entre cada par de irracionales en el intervalo \([0, 1]\).

2. Contradicción de Cardinalidad:
   - Si intentamos asignar un número racional diferente a cada intervalo formado por dos irracionales, encontramos un problema debido a la diferencia en cardinalidades.
   - **Cardinalidad de Intervalos**: Los posibles intervalos formados entre irracionales son no numerables (\(\mathfrak{c}\)).
   - **Cardinalidad de Racionales**: Los números racionales son numerables (\(\aleph_0\)).

Ejemplo de Intervalos Disjuntos

- Supongamos que formamos intervalos disjuntos \((a_i, b_i)\) donde \(a_i\) y \(b_i\) son irracionales.
- Debido a la propiedad de densidad, cada uno de estos intervalos contendrá al menos un racional.

 Respuesta a la Pregunta

¿Cómo pueden compartir un mismo racional?

- La clave aquí es que aunque cada intervalo contendrá un racional debido a la densidad, **la asignación de un racional único y diferente a cada intervalo disjunto no es posible debido a la insuficiencia de racionales**.

Conclusión Final

1. Siempre hay un racional entre cualquier par de irracionales: Esto es cierto debido a la propiedad de densidad.
2. Intervalos disjuntos y racionales: No se puede asignar un racional único y diferente a cada intervalo disjunto formado por irracionales sin reutilizar racionales. Esto es debido a la insuficiencia de racionales en comparación con la cantidad de intervalos posibles.

Resumen

- Densidad: Garantiza que siempre hay un racional entre cualquier par de irracionales.
- Cardinalidad: Implica que no puedes asignar racionales únicos y diferentes a todos los intervalos disjuntos formados por irracionales.

Espero que esta explicación más detallada y específica haya resuelto las dudas y clarificado la relación entre densidad, intervalos disjuntos y cardinalidad.

[cerrar]

De algún modo parece detectar lo que he comentado ya: que la propiedad de densidad con que se definen los reales y la cantidad de racionales y de irracionales que contienen los reales según la teoría de conjuntos, son conceptos que chocan y nos llevan a contradicción. Por tanto, después de forzarla ha terminando defendiendo por separado ambos principios sin intentar sacar ya conclusión alguna al no ver posibilidad de hacerlo por la contradicción que eso genera.

¿me equivoco? Si más no resulta interesante.

[Juan Pablo Sancho]

De algún modo parece detectar lo que he comentado ya: que la propiedad de densidad con que se definen los reales y la cantidad de racionales y de irracionales que contienen los reales según la teoría de conjuntos, son conceptos que chocan y nos llevan a contradicción. Por tanto, después d forzarla a terminando defendiendo por separado ambos principios sin intentar sacar ya conclusión alguna porqeu ve que no es posible por la contradicción que eso genera.

¿me equivoco? Si más no resulta interesante.

Pero si llegaran a contradicción se hubiera descubierto antes, el infinito de los racioales es menor que el de los irracionales pero  tiene la misma propiedad de densidad que los irracionales (ningún problema), igual que existe el conjunto de Cantor que tiene el mismo infinito que los reales y no es denso , en \( (0,1) \)
lo que dije, dejo el hilo a personas con mayor dote explicativa.
Saludos.

[sugata]

En este sentido, nada impide pensar que estos irracionales infinitesimales tendrían infinitos ceros al principio de su parte decimal. En tal caso, entiendo que lo que propones no se puede aplicar. ¿me equivoco?

Te equivocas. Tras el "infinito" de ceros tienen que venir infinitas cifras decimales, sino no es irracional. Y puedo construir una fraccion de la forma \( \dfrac{1}{10^n} \) con n suficientemente grande que sea menor.
El infinito de los ceros lo he puesto entre comillas, ya que si tiene infinitos ceros decimales, el número es el 0.

[RDC]

En este sentido, nada impide pensar que estos irracionales infinitesimales tendrían infinitos ceros al principio de su parte decimal. En tal caso, entiendo que lo que propones no se puede aplicar. ¿me equivoco?

Te equivocas. Tras el "infinito" de ceros tienen que venir infinitas cifras decimales, sino no es irracional. Y puedo construir una fraccion de la forma \( \dfrac{1}{10^n} \) con n suficientemente grande que sea menor.
El infinito de los ceros lo he puesto entre comillas, ya que si tiene infinitos ceros decimales, el número es el 0.

los inifnitos ceros serían ya de las cifras decimales. es decir, la parte decimal tendría infinitos ceros consecutivos y luego infinitos valores más. En principio no parece imposible, dado que un número irracional que sea normal tiene infinitos 0, infinitos 1, infinitos 2, infintios 3, etc entre sus cifras, aunque distribuidos de forma "normal". Estos tendrían tendrían una distribución diferente: infinitos ceros para empezar y luego lo que fuera.