[feriva]

va por feriva, porque fue el primero en comentarlo, aunque luego Juan Pablo también lo dijo.

Si en la recta real existen reales $$x$$ tales que $$0<x<1/n$$, siendo $$n$$ cualquier natural, esto implica que los hipereales existen; $$x$$ sería un infinitesimal. Pero ello implicará, a su vez, que los hipernaturales también existen entre los reales: $$1/x>n$$, siendo $$1/x$$ un hipernatural.

Hola, RDC.

¿Pero cuál sería la motivación para utilizar hiperreales? (se entiende todos, grandes y pequeños).

Si la motivación es que al aplicar el principio del palomar con los dos cardinales te sale que tendría que haber irracionales juntos en el intervalo, no creo que vaya a solucionar nada; con el infinito siempre va a pasar algo que no podemos comprender, si estiras de un lado la sábana, se sale del otro lado. Hay que tener en cuenta que los puntos de un segmento de la recta real no son como palomares en fila india, un conjunto no numerable no se deja manejar con una idea o visualización numerable. Eso que “ves” sería así si existieran dos cardinales numerables distintos, uno más grande que otro, pero eso no existe; y, si se define, pues o no va a servir para nada o va a dar problemas, es mejor decir que un conjunto es numerable o no lo es.

Una motivación para introducir esos números podría ser “racionalizar” lo irracionales (que tampoco va a servir para nada y que también va a dar problemas teóricos). Me explico a continuación:

Los irracionales son números reales que no se pueden escribir así \( nq \), siendo “n” natural y “q” un racional. Es decir, no se pueden expresar como sumas q+q+q... ni con tantas “cus” como quieras ni con infinitas “cus” tampoco (porque la suma infinita del mismo racional va a dar infinito; y eso ya no es un real).

Si introducimos los números infinitesimales (digamos números “k”) podemos imaginar que con éstos sí se podrían escribir los irracionales así \( k+k+k... \) (con infinitas “kas” en este caso, para que la suma llegara a escapar del mundo de los liliputienses).

Pero, entonces, los irracionales dejarían de ser irracionales como tales (a mi entender). Es decir, los “k”, considerados como reales, serían infrarracionales, no irracionales, serían como “unidades” del “más allá” capaces de partir a los irracionales en trozos; siendo todos estos trozos exactamente iguales pero con la diferencia, respecto de los racionales no “infra”, de que aquí tendríamos infinitos trozos.

A lo mejor se podría pensar así, pero no lo recomiendo, no serviría de nada al no poderse comparar dichos “infrarracionales”, en la práctica seguirían valiendo cero. Y menos sentido tendría considerar “infra-irracionales”; ¿para qué, para acabar yéndonos otra vez al más allá del más allá buscando qué se yo qué?

Piensa que si consideramos números con cifras “detrás” de infinitos ceros, podemos considerar que esas cifras formen un periodo o no; es decir, podemos “recrear” los infrarracionales (y también los infrairracionales, que serían más inútiles todavía).

En cualquier caso, pienso que el problema sigue siendo que el cardinal no numerable no se deja tratar así, pensándolo mediante representaciones, dibujos o símbolos, en fila india (o de otras formas donde las cifras tengan una localización determinada).

Saludos.

[Luis Fuentes]

Hola

Esto no estoy de acuerdo. La diferencia y discusión entre tomar el infinito en acto o en potencia es antiquísima. Hasta que no llegó el idealismo alemán muy pocos se atrevieron a tratar el infinito en acto. La influencia de Platón era muy fuerte. Euler, por ejemplo, no se lo toma en serio y, en efecto, siempre usa el infinito en potencia: un ser tan grande o pequeño como se quiera, o un iterar tanto como se quiera.

¡Pero este es el problema de fondo de este hilo y por lo cuál me parece que será infinito! No tiene nada que ver ponerse a debatir sobre el infinito en acto o en potencia, con tu afirmación de que la teoría de cardinales contradice la propiedad arquimediana; o que implique la existencia de hiperreales.

Yo leo este discurso y digo. ¿Pero esto a qué viene?.

Pero esta definición chocaría con lo que tenemos en teoría de conjuntos: esto es lo que señalo de forma imprecisa y con lagunas formales.

Señalas algo que no existe. Lo afirmas sin más; te parece que es así. En cuanto intentas formalizarlo, no es que haya lagunas, es que está mal lo que dices y se te ha indicado el porqué.

2)  Por el punto 1, entonces no sería cierto lo que dice Juan Pablo, que $$0<p_x<x<a_n$$, siendo $$p_x$$ un racional menor a todos los racionales del conjunto A. Sin embargo, nada impide considerar que esto sí sea cierto: $$0<x<a_n$$. ¿Qué lo impide? Y si esto es cierto entonces, ello nos lleva a admitir "reales infinitesimales".

Pero Juan Pablo precisamente te hizo ese razonamiento para mostrarte que la existencia de un real positivo menor que todos los racionales lleva a una incongruencia a una contradicción.

¿Dices qué impide que exista \( x \) real cumpliendo bla bla bla? Pues lo impide la propiedad arquimediana; lo impide la esencia de lo que la matemática entiende por números reales.

Otra cosa es que tu digas; pues yo quiero definirlos de otra forma sin la propiedad arquimediana; o yo quiero añadirle otros elementos nuevos que si sean menores que cualquier racional. Eso sería otra cuestión. Habría que ver como lo formalizas; si es coherente; útil; ... ¡Ya hay una teoría de análisis no estandar!. Sea como sea eso entraría en: me parece muy bien lo que hay, pero yo quiero definir las cosas de otra forma. Yo ahí no voy a entrar.

Pero como te he dicho, cosa muy distinta es que digas: la teoría de Cantor sobre la no numerabilidad de los reales es contradictoria la propiedad arquimediana. Si dices eso, sostienes algo que es falso. Si quieres defenderlo tendrás que fundamentarlo con argumentos matemáticos: no con "me parece", "creo qué" y "porque no". Los "porque no" ya se te han explicado; y cualquier intento de argumento matemático o estaba mal o no tenía sentido.

Sea como sea, mientras no separes muy bien ambas cosas: i) quiero hacer una nueva teoría ii) la teoría aceptada creo que es contradictoria, lo único que harás es enmarañar más el debate.

ok, te lo acepto -ha sido muy vago-, [/color]aunque admites que se entiende si uno sabe de qué va el tema.

Con todo el respeto; en los debates que has tenido has demostrado que tiendes a usar términos matemáticos con significados que NO son los estándar. Entonces "dar por supuesto" que hablamos de lo mismo usando expresiones vagas me parece un tiro al aire y que no ayuda en nada a clarificar las cosas.

Sí, pero, ¿por qué no se puede hacer? Es más, ¿por qué no se debe hacer?

¿Por qué no se puede hacer EXACTAMENTE qué y cómo? Si no concretas, lo demás es hablar por hablar.

Lo que estoy diciendo es que la definición de real se fundamenta sobre definiciones que chocan con los razonamientos de los transfinitos. Obviamente esto debería poderse formalizar.

No se puede porque no hay ningún choque. Pero de todas formas si así fuese se podría mostrar donde está la contradicción. Para eso no hace falta matemáticas nuevas. Pero ni lo has hecho, ni podrás hacerlo.

1) x es una variable que puede tomar por valor cualquier número real positivo, pues no se especifica si es natural, racional, una irracional algebraico, trascendental, incomputable, etc.
2) x indica un elemento de un conjunto bien ordenado C y este conjunto tiene infinitos elementos y se define como "el conjunto de todos los reales positivos".
3) El límite representa el máximo de este conjunto C.
4) Este conjunto no tiene máximo porque no tiene un último elemento, pues es un objeto transfinito que contiene $$\aleph_1$$ elementos.

Pues no. Estás mezclando el concepto de límite, con el de supremo, máximo o que se yo. Un batiburrillo que dependiendo del contexto puede ser lo mismo o no.

Si me hubieras dicho que definiera la definición de límite cuando \( x\to \infty, x\in{\Bbb N} \),

Ese límite es bastante particular y poco útil.

Si usas la palabra límite de una función o sucesión uno ha de entender la definición epsilon/delta o espilon/N.

Entiendo que todo objeto matemático es un conjunto. Una sucesión es un conjunto, una serie lo es, el resultado o valor de una operación algebraica lo es (pues un número es un conjunto), y el límite me parece una operación que se aplica sobre conjuntos (series, sucesiones, resultados de operaciones algebraicas, etc).

Estrictamente si; todo objeto matemático es un conjunto. Pero me temo que eso no clarifica nada mi pregunta. Si uno ve un límite y luego habla del conjunto, realmente no se sabe exactamente de que hablas; porque en el límite hay implicados muchos objetos matemáticos, muchos conjuntos...

Saludos.

[RDC]

Hola feriva

Hola, RDC.

¿Pero cuál sería la motivación para utilizar hiperreales? (se entiende todos, grandes y pequeños).

Bueno, los infinitesimales son fundamentales para el cálculo moderno: jsutifican que los cambios que se dan en una curva se den de forma "suficientemente suave" (sin ningún salto) para que se mantenga una continuidad. Los hipernaturales, no sé.

Si la motivación es que al aplicar el principio del palomar con los dos cardinales te sale que tendría que haber irracionales juntos en el intervalo, no creo que vaya a solucionar nada; con el infinito siempre va a pasar algo que no podemos comprender, si estiras de un lado la sábana, se sale del otro lado. Hay que tener en cuenta que los puntos de un segmento de la recta real no son como palomares en fila india, un conjunto no numerable no se deja manejar con una idea o visualización numerable. Eso que “ves” sería así si existieran dos cardinales numerables distintos, uno más grande que otro, pero eso no existe; y, si se define, pues o no va a servir para nada o va a dar problemas, es mejor decir que un conjunto es numerable o no lo es.

No conocía el principio del palomar. Muy interesante. Le he preguntado al chatgpt esto: "Si dado un intervalo de la recta real, por ejemplo [0,1], sabemos que la cantidad de irracionales del intervalo es mucho mayor que la cantidad de racionales, por la cardinalidad de ambos conjuntos. ¿se puede emplear este principio del palomar para jsutificar que es imposible que siempre, entre dos irracionales, encontremos un racional? Razona paso a paso tu respuesta. ten en cuenta los principios, definiciones y teoremas de las matem´ticas y la lógica. Esfuerzate en razonar lo mejor posible". Y me ha contestado lo siguiente, que no sé si es correcto, impreciso o le faltan matices o definiciones por tener en cuenta:

Spoiler

Para justificar que es o no es imposible que siempre, entre dos irracionales, encontremos un racional usando el principio del palomar, seguimos estos pasos:

Paso 1: Definiciones y cardinalidades
1. Conjunto de los números racionales (\(\mathbb{Q}\)): Los números racionales son aquellos que se pueden expresar como \(\frac{p}{q}\), donde \(p\) y \(q\) son enteros y \(q \neq 0\). Este conjunto es numerable (cardinalidad \(\aleph_0\)).

2. Conjunto de los números irracionales: Los números irracionales no pueden expresarse como una fracción de dos enteros. Este conjunto es no numerable (cardinalidad \(\mathfrak{c}\)).

Paso 2: Principio del palomar
El principio del palomar afirma que si distribuyes \(n + 1\) objetos en \(n\) contenedores, al menos un contenedor debe contener más de un objeto.

Paso 3: Aplicación del principio del palomar
Para aplicar el principio del palomar, necesitamos definir los "contenedores" y los "objetos".

En este caso:
- Los "contenedores" son los intervalos entre números irracionales.
- Los "objetos" son los números racionales.

Paso 4: Imposibilidad de asignar un número racional a cada par de irracionales
Supongamos que entre cada dos números irracionales en el intervalo [0,1] siempre encontramos un número racional. Esto implica que cada intervalo formado por dos irracionales diferentes contiene al menos un racional. Sin embargo, dado que hay infinitamente más irracionales que racionales, esto lleva a un problema.

Consideremos el número de intervalos que se pueden formar entre los números irracionales. Dado que hay \(\mathfrak{c}\) (infinitamente muchos) irracionales en [0,1], el número de intervalos entre ellos es mayor que el número de números racionales en [0,1], ya que los irracionales son no numerables y los racionales son numerables.

Paso 5: Argumentación final con el principio del palomar
Si intentamos asignar un número racional a cada intervalo entre irracionales, no hay suficientes racionales para cubrir todos los intervalos porque:
1. La cantidad de intervalos entre irracionales en [0,1] tiene la misma cardinalidad que el conjunto de irracionales, \(\mathfrak{c}\).
2. La cantidad de números racionales en [0,1] es numerable, \(\aleph_0\).

Por lo tanto, según el principio del palomar, al tratar de asignar un racional a cada intervalo entre irracionales, inevitablemente habrá intervalos que no recibirán ningún racional, debido a que \(\aleph_0\) es mucho menor que \(\mathfrak{c}\).

Conclusión
El principio del palomar nos ayuda a concluir que es imposible que siempre haya un número racional entre cada par de números irracionales en el intervalo [0,1], debido a la diferencia en la cardinalidad de los conjuntos de números racionales e irracionales.

[cerrar]

Pero es cierto que estos chats condicionan enormemente su respuesta según como sea el prompt.

Luego, esto que te preguntas por, qué motivación tendría esto, lo contestaré junto con lo que dice Luís, ya que también lo plantea.

[RDC]

Hola Juan Pablo

1.) Evidentemente que no hay ningún conjunto con esa propiedad, por ser \( \displaystyle \lim_{n \to +\infty} a_n = 0 \).
     No sé que tiene que ver con lo que puse.

OUna demostración más precisa de eso, y es en la que yo pienso:

1) si todo elemento de $$A$$ es de la forma $$A_n=\displaystyle\frac{1}{(1+n)}$$, siendo $$n$$ un natural cuaqlueira; eso significa que todo elemento del conjunto $$B, B=\left\{{b_n=\displaystyle\frac{1}{n}}\right\}$$ también es un elemento de A, excepto el 1. Por tanto, en vez de A, vamos a trabajar con el conjunto B.

2) Todo número racional es del tipo $$\displaystyle\frac{m}{n}$$, siendo $$m$$ también cualquier natural. El conjunto C de todos los racionales del intervalo abierto (0,1) son de la forma $$c_n=\displaystyle\frac{m}{n}, m<n$$

3) tenemos, por tanto que $$c_n\geq{b_n}$$, es decir, $$\displaystyle\frac{m}{n}\geq{\displaystyle\frac{1}{n}}$$, dado que $$m\geq{1}$$

Conclusión:

No existe ningún conjunto de racionales del intervalo abierto (0,1) que contenga un elemento mayor que cualquier elemento de A.

2.)Lo que puse NO tiene nada que ver con lo que dices, dado \( a_n \) NO todos los elemento de \( A \) ,existe \( x \) irracional con \( 0 < x < a_n \) y puedo tomar cualquier racional de \( (0,x) \cap \mathbb{Q}  \) que verifica lo que dije, así que yo no dije nada de que ese racional fuera menor que todos los racionales de \( A \) lo puses bien puesto.

no entiendo muy bien qué quieres decir aquí.

Lo que me pusiste es que esto siempre debía ser cierto: $$0<p_x<x<a_n$$, sea $$x$$ un irracional y $$q_x$$ un racional que no es elemento de A. Si es correcto lo que te he contestado en el punto 1 de arriba, entonces esta idea que pones no puede ser cierta SIEMPRE.

Y si consideramos que $$q_x$$ es también un elemento A, y por ello $$q_x=a_{n+1}$$, entonces tenemos que:

$$0<a_{n+1}<x<a_n$$, esto es lo mismo que intentar razonar el argumento de diagonalización de Cantor diciendo: si tengo un real que no puede estar en una lista $$n$$ de elementos, nada impide que sí pueda estar en una lista de $$a_{n+1}$$ elementos, con lo cual sí se pueden listar, siempre, todos los reales que queramos sin que ninguno quede fuera de una enumeración progresiva. 

[RDC]

...

1) ¿es cierto que A es un subconjunto de infinitos racionales del intervalo abierto (0,1) y que no existe ningún otro subconjunto B de racionales de tal intervalo que tenga algún racional menor que cualquier elemento de A?

Mi respuesta es que no existe tal supuesto B.

Eso es cierto, la familia \( {\cal B}= \{B\subset ]0,1[\,|\,\exists\,\,b\in B, \mbox{ con }  b<a_n, \forall\, n\in \mathbb{N}\} \) es vacía.

Por tanto, de aquí entiendo que es posible concluir que en el intervalo abierto (0,1) no existen racionales menores a $$a_n$$.

Correcto.... pero sea cual sea el racional de \( A \) siempre podrás encontrar un racional de \( A \) menor que él y mayor que cero.
Saludos

Por tanto, ani_pascual, propones lo mismo que Juan Pablo, que lo siguiente es cierto:

$$0<a_{n+1}<x<a_n$$

obviamente esto es una forma de tratar esta cuestión empleando la idea de iteración, y por ello, una inducción, por asi  decirlo. Y entra en contradicción si en vez de enfocarlo usando la iteración como argumento, usamos la idea de "todos los elementos de A tienen un irracional positivo $$x$$ que es menor"; idea que nos lleva a la afirmación, $$0<x<a_n$$, la cual implica que $$x$$ sea un hiperreal infinitesimal.

Por eso decía que lo que veo es un choque de ideas de como se definen los reales propiamente a como se define el conjunto de todos los reales, por así decirlo.

un saludo

[feriva]

Hola feriva

Hola, RDC.

¿Pero cuál sería la motivación para utilizar hiperreales? (se entiende todos, grandes y pequeños).

Bueno, los infinitesimales son fundamentales para el cálculo moderno: jsutifican que los cambios que se dan en una curva se den de forma "suficientemente suave" (sin ningún salto) para que se mantenga una continuidad. Los hipernaturales, no sé.

Si la motivación es que al aplicar el principio del palomar con los dos cardinales te sale que tendría que haber irracionales juntos en el intervalo, no creo que vaya a solucionar nada; con el infinito siempre va a pasar algo que no podemos comprender, si estiras de un lado la sábana, se sale del otro lado. Hay que tener en cuenta que los puntos de un segmento de la recta real no son como palomares en fila india, un conjunto no numerable no se deja manejar con una idea o visualización numerable. Eso que “ves” sería así si existieran dos cardinales numerables distintos, uno más grande que otro, pero eso no existe; y, si se define, pues o no va a servir para nada o va a dar problemas, es mejor decir que un conjunto es numerable o no lo es.

No conocía el principio del palomar. Muy interesante. Le he preguntado al chatgpt esto: "Si dado un intervalo de la recta real, por ejemplo [0,1], sabemos que la cantidad de irracionales del intervalo es mucho mayor que la cantidad de racionales, por la cardinalidad de ambos conjuntos. ¿se puede emplear este principio del palomar para jsutificar que es imposible que siempre, entre dos irracionales, encontremos un racional? Razona paso a paso tu respuesta. ten en cuenta los principios, definiciones y teoremas de las matem´ticas y la lógica. Esfuerzate en razonar lo mejor posible". Y me ha contestado lo siguiente, que no sé si es correcto, impreciso o le faltan matices o definiciones por tener en cuenta:

Spoiler

Para justificar que es o no es imposible que siempre, entre dos irracionales, encontremos un racional usando el principio del palomar, seguimos estos pasos:

Paso 1: Definiciones y cardinalidades
1. Conjunto de los números racionales (\(\mathbb{Q}\)): Los números racionales son aquellos que se pueden expresar como \(\frac{p}{q}\), donde \(p\) y \(q\) son enteros y \(q \neq 0\). Este conjunto es numerable (cardinalidad \(\aleph_0\)).

2. Conjunto de los números irracionales: Los números irracionales no pueden expresarse como una fracción de dos enteros. Este conjunto es no numerable (cardinalidad \(\mathfrak{c}\)).

Paso 2: Principio del palomar
El principio del palomar afirma que si distribuyes \(n + 1\) objetos en \(n\) contenedores, al menos un contenedor debe contener más de un objeto.

Paso 3: Aplicación del principio del palomar
Para aplicar el principio del palomar, necesitamos definir los "contenedores" y los "objetos".

En este caso:
- Los "contenedores" son los intervalos entre números irracionales.
- Los "objetos" son los números racionales.

Paso 4: Imposibilidad de asignar un número racional a cada par de irracionales
Supongamos que entre cada dos números irracionales en el intervalo [0,1] siempre encontramos un número racional. Esto implica que cada intervalo formado por dos irracionales diferentes contiene al menos un racional. Sin embargo, dado que hay infinitamente más irracionales que racionales, esto lleva a un problema.

Consideremos el número de intervalos que se pueden formar entre los números irracionales. Dado que hay \(\mathfrak{c}\) (infinitamente muchos) irracionales en [0,1], el número de intervalos entre ellos es mayor que el número de números racionales en [0,1], ya que los irracionales son no numerables y los racionales son numerables.

Paso 5: Argumentación final con el principio del palomar
Si intentamos asignar un número racional a cada intervalo entre irracionales, no hay suficientes racionales para cubrir todos los intervalos porque:
1. La cantidad de intervalos entre irracionales en [0,1] tiene la misma cardinalidad que el conjunto de irracionales, \(\mathfrak{c}\).
2. La cantidad de números racionales en [0,1] es numerable, \(\aleph_0\).

Por lo tanto, según el principio del palomar, al tratar de asignar un racional a cada intervalo entre irracionales, inevitablemente habrá intervalos que no recibirán ningún racional, debido a que \(\aleph_0\) es mucho menor que \(\mathfrak{c}\).

Conclusión
El principio del palomar nos ayuda a concluir que es imposible que siempre haya un número racional entre cada par de números irracionales en el intervalo [0,1], debido a la diferencia en la cardinalidad de los conjuntos de números racionales e irracionales.

[cerrar]

Pero es cierto que estos chats condicionan enormemente su respuesta según como sea el prompt.

Luego, esto que te preguntas por, qué motivación tendría esto, lo contestaré junto con lo que dice Luís, ya que también lo plantea.

Pero los infinitesimales del cálculo moderno (del modelo estándar) no son infinitamente pequeños en sentido literal; pasa análogamente como con los números grandes, que son finitos siempre. Los infintesimales estándar son tan pequeños como quieras, no infinitamente pequeños.

...

Ahora plantea esto al chat Gepeto:

Sean dos números irracionales tan parecidos en valor como quieras; por ejemplo.

a=1,2346789221...8...

b=1,2346789221...9...

Todas sus cifras son iguales en cantidad y valor hasta que uno llega a la cifra 8 y otro a la cifra 9 (detrás de los primeros puntos suspensivos). Luego, en los siguientes puntos suspensivos, las cifras pueden ser todas iguales para los dos o no; pero, evidentemente, al ser números irracionales, tienen que ser infinitas y no pueden formar un periodo.

¿Puedes construir un número c tal que a<c<b?

Si lo has encontrado, represéntalo con un ejemplo de forma análoga a como yo lo he hecho. 


*(y luego pon lo que te ha dicho).

...

Saludos

[geómetracat]

RDC, yo creo que lo que deberías hacer es estudiar primero unos básicos de análisis real "estándar" con la mente abierta (y no buscando "contradicciones"), y una vez estudiado y entendido todo plantear los problemas que le veas. Lo digo porque por lo que he ido leyendo me parece evidente que no dominas las definiciones básicas que se usan, como la de límite, y así es imposible ponerse de acuerdo porque cada uno habla de cosas distintas y acabamos en vaguedades, intuiciones de cada uno y "yo creo que"...

Por ejemplo, una muestra:

Bueno, los infinitesimales son fundamentales para el cálculo moderno: jsutifican que los cambios que se dan en una curva se den de forma "suficientemente suave" (sin ningún salto) para que se mantenga una continuidad. Los hipernaturales, no sé.

En la teoría estándar los infinitesimales no existen y no se usan para nada, así que difícilmente pueden ser fundamentales. Son considerados una reliquia de los tiempos pre-formalización del análisis. Claro que si tus referencias son las discusiones de antes del siglo XX, como lo que mencionabas antes de Kant y compañía, encontrarás referencias y discusiones sobre los infinitesimales, pero en la teoría moderna todo eso está más que superado.

Finalmente, un comentario sobre ChatGPT que se ha dicho mil veces ya en este foro. La fiabilidad de lo que diga ChatGPT sobre matemáticas es cero. En particular el argumento que te da es totalmente incorrecto. No hay ninguna contradicción, porque si bien a cada intervalo con extremos irracionales le puedes asociar un racional, y la cardinalidad de los intervalos con extremos irracionales es mayor que la de los racionales, los intervalos con extremos irracionales no son en general disjuntos y les puedes asociar a varios (de hecho a infinitos de ellos) el mismo racional. De hecho, una variante de este argumento da una prueba de una característica importante de los reales: cualquier familia de intervalos abiertos de reales disjuntos dos a dos es finita o infinita numerable.

[RDC]

Hola

¡Pero este es el problema de fondo de este hilo y por lo cuál me parece que será infinito! No tiene nada que ver ponerse a debatir sobre el infinito en acto o en potencia, con tu afirmación de que la teoría de cardinales contradice la propiedad arquimediana; o que implique la existencia de hiperreales.

Yo leo este discurso y digo. ¿Pero esto a qué viene?.

Entiendo, luís, pero este discurso viene, a mi parecer, de que si razonamos empleando el infinito en potencia, entonces tenemos que lo que dicen Juan Pablo y ani_pascual es cierto: $$0<a_{n+1}<x<a_n$$. O tenemos, por otro lado, que no se puede demostrar que los reales no sean numerables.

En tal sentido, pues, señalo que el tipo de razonamiento que aplicamos a los objetos y cosas conlleva diferentes conclusiones, y a veces, como sería este caso, contradictorias.

Pero Juan Pablo precisamente te hizo ese razonamiento para mostrarte que la existencia de un real positivo menor que todos los racionales lleva a una incongruencia a una contradicción.

Lleva a una contradicción partiendo de un razonamiento por iteración (que dado un racional concreto, siempre habrá un racional menor, y entre ambos un irracional), pero no partiendo de un razonamiento que toma a "todos los racionals del conjunto A".

Dicho esto, entiendo que las demostraciones no ponen al descubierto supuestas verdades ocultas de las matemáticas que esperan ser reveladas, sino que muestran las conclusiones a las que llegamos cuando empleamos ciertas definiciones, argumentaciones, formas de implicaciones, etc, de modo que si cambiamos alguna definición, o algún tipo de razonamiento, obtenemos por conclusión cosas diferentes, y a veces contradictorias con lo obtenido con otros argumentos.

¿Dices qué impide que exista \( x \) real cumpliendo bla bla bla? Pues lo impide la propiedad arquimediana; lo impide la esencia de lo que la matemática entiende por números reales.

Otra cosa es que tu digas; pues yo quiero definirlos de otra forma sin la propiedad arquimediana; o yo quiero añadirle otros elementos nuevos que si sean menores que cualquier racional. Eso sería otra cuestión. Habría que ver como lo formalizas; si es coherente; útil; ... ¡Ya hay una teoría de análisis no estandar!. Sea como sea eso entraría en: me parece muy bien lo que hay, pero yo quiero definir las cosas de otra forma. Yo ahí no voy a entrar.

Pero como te he dicho, cosa muy distinta es que digas: la teoría de Cantor sobre la no numerabilidad de los reales es contradictoria la propiedad arquimediana. Si dices eso, sostienes algo que es falso. Si quieres defenderlo tendrás que fundamentarlo con argumentos matemáticos: no con "me parece", "creo qué" y "porque no". Los "porque no" ya se te han explicado; y cualquier intento de argumento matemático o estaba mal o no tenía sentido.

Sea como sea, mientras no separes muy bien ambas cosas: i) quiero hacer una nueva teoría ii) la teoría aceptada creo que es contradictoria, lo único que harás es enmarañar más el debate.

Tienes razón, y lo que marco en azul es lo que pretendía con este hilo.

¿Por qué no se puede hacer EXACTAMENTE qué y cómo? Si no concretas, lo demás es hablar por hablar.

Tratar los límites como objetos trasnfinitos

Pues no. Estás mezclando el concepto de límite, con el de supremo, máximo o que se yo. Un batiburrillo que dependiendo del contexto puede ser lo mismo o no.

Si me hubieras dicho que definiera la definición de límite cuando \( x\to \infty, x\in{\Bbb N} \),

Ese límite es bastante particular y poco útil.

Si usas la palabra límite de una función o sucesión uno ha de entender la definición epsilon/delta o espilon/N.

Vale, pues lo defino así:

1) x es una variable que puede tomar por valor cualquier número real positivo, pues no se especifica si es natural, racional, una irracional algebraico, trascendental, incomputable, etc.
2) x indica el valor de un elemento de un conjunto bien ordenado C y este conjunto tiene infinitos elementos y se define como "el conjunto de todos los reales positivos". Su cardinalidad es $$\aleph_1$$
3) El límite representa el valor real al que se aproximan los elementos del conjunto en la medida que crecen.
4) Los valores de los elementos del conjunto C tienen por límite a infinito, porque el valor de sus elementos siempre crece sin aproximarse a ningún valor.

Si una serie de infinitos valores es un conjunto y siempre podemos hablar del límite de tal serie, entiendo que límite y conjunto son ideas muy interrelacionadas. No veo tanta problematica. Pero no sé.

un saludo

[RDC]

Hola geométrecat

RDC, yo creo que lo que deberías hacer es estudiar primero unos básicos de análisis real "estándar" con la mente abierta (y no buscando "contradicciones"), y una vez estudiado y entendido todo plantear los problemas que le veas. Lo digo porque por lo que he ido leyendo me parece evidente que no dominas las definiciones básicas que se usan, como la de límite, y así es imposible ponerse de acuerdo porque cada uno habla de cosas distintas y acabamos en vaguedades, intuiciones de cada uno y "yo creo que"...

ok

Por ejemplo, una muestra:

Bueno, los infinitesimales son fundamentales para el cálculo moderno: jsutifican que los cambios que se dan en una curva se den de forma "suficientemente suave" (sin ningún salto) para que se mantenga una continuidad. Los hipernaturales, no sé.

En la teoría estándar los infinitesimales no existen y no se usan para nada, así que difícilmente pueden ser fundamentales. Son considerados una reliquia de los tiempos pre-formalización del análisis. Claro que si tus referencias son las discusiones de antes del siglo XX, como lo que mencionabas antes de Kant y compañía, encontrarás referencias y discusiones sobre los infinitesimales, pero en la teoría moderna todo eso está más que superado.

interesante... así que mediante la idea de límite es suficiente para tratar todo lo que sea la continuidad (derivación, integración, etc?

Finalmente, un comentario sobre ChatGPT que se ha dicho mil veces ya en este foro. La fiabilidad de lo que diga ChatGPT sobre matemáticas es cero. En particular el argumento que te da es totalmente incorrecto. No hay ninguna contradicción, porque si bien a cada intervalo con extremos irracionales le puedes asociar un racional, y la cardinalidad de los intervalos con extremos irracionales es mayor que la de los racionales, los intervalos con extremos irracionales no son en general disjuntos y les puedes asociar a varios (de hecho a infinitos de ellos) el mismo racional. De hecho, una variante de este argumento da una prueba de una característica importante de los reales: cualquier familia de intervalos abiertos de reales disjuntos dos a dos es finita o infinita numerable.

Yo uso al chat a diario para automatizar mis cosas y me va de coña, pero entiendo que las matemáticas son más complejas y "aún" genera muchas imprecisiones y tal. Lo he puesto por curiosidad.

Como  precisamente me ha picado la curiosidad le he pasado tu respuesta al chat. de hecho se sabe que se multiplica la efectividad de estos LLM cuando vas iterando con ellos sobre un tema para que vaya corrigiendo errores (es la línea que están siguiendo de usar agentes). Ha respondido esto y yo, la verdad, no sé si está bien o no:

Spoiler

Voy a abordar el problema con una mayor precisión y rigurosidad matemática. La crítica que recibiste es válida en cuanto a que los intervalos entre irracionales no son necesariamente disjuntos, y esto requiere una aproximación diferente. Vamos a reformular el argumento.

Revisión del Problema

Queremos demostrar que es imposible que siempre exista al menos un número racional entre cada par de números irracionales. Utilizaremos un enfoque diferente al del principio del palomar, más adecuado para esta situación.

Paso 1: Cardinalidades de Conjuntos

1. Números racionales (\(\mathbb{Q}\)): Este conjunto es numerable (cardinalidad \(\aleph_0\)).
2. Números irracionales en [0,1]: Este conjunto es no numerable (cardinalidad \(\mathfrak{c}\)).

Paso 2: Suposición Inicial

Supongamos que entre cada par de números irracionales en el intervalo [0,1] siempre existe al menos un número racional. Esta suposición implica que para cualquier par de números irracionales \(a\) y \(b\) con \(a < b\), existe un número racional \(r\) tal que \(a < r < b\).

Paso 3: Construcción de Intervalos

Consideremos una familia de intervalos abiertos \((a_i, b_i)\) con \(a_i\) y \(b_i\) siendo números irracionales, y todos disjuntos dos a dos. Es decir, los intervalos \((a_i, b_i)\) son tales que \(a_i < b_i\) y para \(i \neq j\), los intervalos \((a_i, b_i)\) y \((a_j, b_j)\) no tienen intersección.

Paso 4: Propiedad de Intersección de Intervalos

Debido a la densidad de los números racionales en los reales, podemos elegir un número racional distinto para cada intervalo disjunto \((a_i, b_i)\). Sin embargo, aquí está la clave:

- Si seleccionamos una cantidad infinita numerable de intervalos disjuntos \((a_i, b_i)\), la cantidad de números racionales que podemos asignar es infinita numerable (\(\aleph_0\)).

Paso 5: Implicaciones de Cardinalidad

Consideremos ahora una familia de intervalos disjuntos entre irracionales. Debido a que los irracionales son no numerables (\(\mathfrak{c}\)), si intentáramos construir una familia de intervalos disjuntos que cubriera todos los irracionales, encontraríamos una contradicción, ya que una cantidad no numerable de intervalos requeriría una cantidad no numerable de racionales, pero solo tenemos una cantidad numerable de ellos (\(\aleph_0\)).

Paso 6: Conclusión

El argumento reformulado es más claro al explicar que la no numerabilidad de los irracionales y la numerabilidad de los racionales impide que cada par de irracionales tenga un racional entre ellos sin que se violen las propiedades de densidad y cardinalidad. La conclusión es:

- No es posible que siempre haya un número racional entre cada par de números irracionales debido a la discrepancia en las cardinalidades de los conjuntos implicados.

Respuesta al Comentario

La crítica mencionada aborda la incorrecta suposición de intervalos disjuntos, lo cual es correcto. La reformulación del argumento evita este error al centrar la contradicción en la imposibilidad de asignar racionales a pares de irracionales sin violar la densidad y cardinalidad. Este enfoque corrige el error inicial y sostiene la conclusión deseada con mayor precisión matemática.

[cerrar]

Un saludo

[sugata]

Con tu conjunto A.
Tenemos un irracional tan cerca del 0 como queramos, tendrá sus primeros millosnes de decimales 0. Llamo a este número de decimales 0 n.
Pues \( \dfrac {1}{10^{n+1}} \) tiene un decimal 0 más, luego es más pequeño.