Hola
¿qué te pasa, Luís? ¿Por qué vienes con esta salida de Tono?
¿Qué salida de tono? 
Me remito a describir mi percepción de lo que está ocurriendo en este hilo. Si te ha molestado, no era mi intención y te pido disculpas por ello.
No hace falta que te disculpes Luís, faltaría más.
Lo que ocurre es que... A ver, en general ya asumo que lo que digo está lleno de imprecisiones y lagunas, sino errores directamente, pero si insisto en un tema es porque aún vuestras consideraciones me generan dudas o no lo veo igual. No es que esté aquí de chachara para joderos, o haceros perder el tiempo, aunque pudiera parecer (esto sí sería subjetivo
).
Con motivo agradezco vuestra paciencia, y no lo digo en broma. Y entiendo si os hartáis, que espero que no. Pero si algo no lo veo, pues no lo veo ¿qué quieres que diga? -
aunque sea porque soy un cazurro en el tema.
Me parece muy bien; pero sinceramente para criticar una teoría primero hay que entenderla bien. Pero tu desde mi punto de vista pasas a la fase de crítica, sin estudiar primero en detalle la teoría.
De hecho sinceramente creo que ni tienes claro como se debe de razonar en matemáticas; esto tiene que ver con que insista en que hablas de manera vaga. Tienes que entender que si no partimos de unos axiomas, definiciones y teoremas previos no sabemos de que estamos hablando ni que "reglas" del juego podemos usar.
Cierto que uno puede decir; a mi este axioma me parece innecesario para modelizar tal idea, o mal escogido, o esta definición yo la cambiaría para capturar tal concepto. Bien. Pero entonces tienes que decir que alternativas tomas; en otro caso usarás términos sin significado preciso alguno, sin saber que cosa está bien o está mal hacer con ellos más allá de percepciones subjetivas.
Y la palabra "subjetivo" es otra que caracteriza tu discurso; te basas en percepciones intuitivas de conceptos matemáticos que, en su definición rigurosa no se comportan en absoluto como pareces afirmar que se comportan. El problema es que tu no pareces encontrar diferencia entre un argumento riguroso y tu percepción subjetiva.
Sí, a grosso modo estoy de acuerdo. Pero no lo veo como algo tan negativo.
"Diciendo" si; pero como te he explicado en mi anterior mensaje es una percepción personal tuya... ¡sin fundamento alguno!. No tiene NADA que ver.
Esto no estoy de acuerdo. La diferencia y discusión entre tomar el infinito en acto o en potencia es antiquísima. Hasta que no llegó el idealismo alemán muy pocos se atrevieron a tratar el infinito en acto. La influencia de Platón era muy fuerte. Euler, por ejemplo, no se lo toma en serio y, en efecto, siempre usa el infinito en potencia: un ser tan grande o pequeño como se quiera, o un iterar tanto como se quiera.
Kant igual (para nombrar alguien que tantea esta problemática fuera de las matemáticas). Y de hecho Kant define ya de forma bastante clara, aunque con su lenguaje escolástico difícil de descifrar, la diferencia entre razonar lo infinito en potencia o en acto: a su entender tratar el infinito en acto es pretender hacer directamente metafísica (pretender conocer cómo son las cosas en sí mismas, con
todas sus infinitas propiedades intrínsecas y esenciales), aspiración que tacha de ilusión de la mente e imposible para los humanos, con lo cual, defiende que debemos limitarnos a tratar lo infinito en potencia: como una intuición pura del tiempo, es decir, una iteración sin fin.
Cantor, Dedekind y algún colega más son los primeros en atreverse a razonar el infinito en acto, y que como ya señalaba Kant (y Platón) suele chocar con lo que se deduce del infinito cuando éste se razona en potencia. Por eso tantos matemáticos (especialmente los más kantianos) se negaban a tratar muy en serio los trabajos sobre teoría de conjuntos, al basarse en razonamientos del infinito en acto. Sin embargo los más fitcheanos y hegelianos, como Frege, Russell, Hilbert, les entusiasmó.
De hecho, incluso Nietzsche parece usar el infinito en acto para concebir el paso del tiempo (pero esto es otro tema). Por tanto, lo que digo, o intento señalar, es que estamos ante dos tipos de formas de razonar sobre el infinito que chocan y generan contradicciones, al menos aparentemente. Y esto hace mucho que se sabe, al menos en filosofia. Y veo que eso se refleja en la definición de número real, y todo este tema. Otra cosa es que yo no sea capaz de precisarlo formalmente.
Es que diferenciar "la forma de razonar que emplea Cantor en su argumento de diagonalización" de "emplear el argumento de diagonalización para demostrar..." es bastante sutil. No se muy bien que entiendes tu por "la forma de razonar...". En realidad la cosa es muy sencilla. Con la definición de los reales NO existe ningún número real \( x \) positivo menor que cualquier racional.
un poco lo que he contado justo antes.
Y es cierto, con la definición de reales no existe un real menor a todos los racionales posibles, por pura deficinión. Pero esta definición chocaría con lo que tenemos en teoría de conjuntos: esto es lo que señalo de forma imprecisa y con lagunas formales.
Tu pareces decir que puedes probar su existencia usando no se muy bien que argumento análogo o basado en o "con la misma forma de razonar" que Cantor.. ¿cuál es concretamente esa prueba?. Todo lo que has escrito como intento de prueba no se sostiene. Te lo han ido diciendo. Pero tu luego sigues escrribiendo "hemos visto que", "obviamente" cuando el único que "lo ha visto" eres tú. Y de forma errática.
Correcto, si sólo lo veo yo, sólo lo entiendo yo. Es inevitable y hay nada a discutir.
No. No. Pero no sigas con "en tal caso". No hay tal caso. Y si has de prolongar el debate; céntralo exclusivamente en ese punto. Hasta que ten convenzan y/o te convenzas de que no tiene sentido. O mejor dicho, más allá de tu intuición, no tiene sentido.
A ver, si tengo el conjunto $$A, A=\left\{{a_n=\displaystyle\frac{1}{(1+n}}\right\}$$:
1) ¿es cierto que A es un subconjunto de infinitos racionales del intervalo abierto (0,1) y que no existe ningún otro subconjunto B de racionales de tal intervalo que tenga algún racional menor que cualquier elemento de A?
Mi respuesta es que no existe tal supuesto B. Por tanto, de aquí entiendo que es posible concluir que en el intervalo abierto (0,1) no existen racionales menores a $$a_n$$. Obviamente, pero, si tenemos $$a_5=1/6$$ entonces sí existen racionales menores a éste elemento concreto de A, acaso el $$3/121$$ por ejemplo, que no es elemento de A. Sin embargo, esto no se puede hacer cuando tomamos a "todos los elementos de A", porque como ya he dicho, no existe ese subconjunto B donde estarían tales racionales.
2) Por el punto 1, entonces no sería cierto lo que dice Juan Pablo, que $$0<p_x<x<a_n$$, siendo $$p_x$$ un racional menor a todos los racionales del conjunto A. Sin embargo, nada impide considerar que esto sí sea cierto: $$0<x<a_n$$. ¿Qué lo impide? Y si esto es cierto entonces, ello nos lleva a admitir "reales infinitesimales".
Eso es de una imprecisión mayúscula. ¿Qué son "los menores elementos del conjunto"?¿Cuáles serían los "menores elementos del conjunto \( (0,1) \)?. Más que falso, no tiene un significado preciso. Otra cosa es que aquellos que sepan que es el ínfimo, sean capaz de relacionar esa frase "vaga" con su definición rigurosa.
ok, te lo acepto -ha sido muy vago-, aunque admites que se entiende si uno sabe de qué va el tema.
Es que una cosa es la noción de límite de una sucesión y otra cosa son los infinitos. Estás mezclando (parece) una cosa con otra.
Sí, pero, ¿por qué no se puede hacer? Es más, ¿por qué no se debe hacer?
A fin de cuentas, un límite es una operación basada en un objeto infinito (un objeto que no tiene un último elemento).
NO, pero no estás proponiendo algo nuevo. O no solo eso. Si quieres introducir una nueva teoría con nuevas ideas y definiciones ahí no me meto.
Lo que estoy diciendo es que la definición de real se fundamenta sobre definiciones que chocan con los razonamientos de los transfinitos. Obviamente esto debería poderse formalizar.
Pero estás afirmando que la propiedad arquimediana de los reales es contradictoria con el hecho de que los reales no sean numerables. Y eso está mal. No es así. Y no has dado ningún argumento mínimamente sostenible al respecto. A mi lo que me choca es que la actitud al respecto no sea: veamos esto es algo muy contrastado; no lo estoy entendiendo y quiero hacerlo. Voy a preguntar, leer lo que me dicen, y darle una vuelta. Tu "razonas" como si fuese obvio que esa contradicción se da.
Vale, tienes razón. Es tal y como dices.
No tengo mucho tiempo ahora; ¿pero sabes la definición de límite cuando \( x\to \infty \)? Escríbela y respóndete tu mismo.
1) x es una variable que puede tomar por valor cualquier número real positivo, pues no se especifica si es natural, racional, una irracional algebraico, trascendental, incomputable, etc.
2) x indica un elemento de un conjunto bien ordenado C y este conjunto tiene infinitos elementos y se define como "el conjunto de todos los reales positivos".
3) El límite representa el máximo de este conjunto C.
4) Este conjunto no tiene máximo porque no tiene un último elemento, pues es un objeto transfinito que contiene $$\aleph_1$$ elementos.
Si me hubieras dicho que definiera la definición de límite cuando \( x\to \infty, x\in{\Bbb N} \), te habría dicho:
1) x es una variable
2) x indica un elemento del conjunto de todos los naturales. Este conjunto es un objeto transfinito, pues no tiene un último elemento y contiene $$\aleph_0$$ elementos.
3) El límite representa el máximo de este conjunto C.
4) Este conjunto no tiene máximo porque no tiene un último elemento ni converge a ningún real $$r$$ tal que $$r>x$$.
¿Qué conjunto?. ¿De qué estás hablando?¿Del límite de una función, de una sucesión? ¿o hablas de un conjunto?.
Entiendo que todo objeto matemático es un conjunto. Una sucesión es un conjunto, una serie lo es, el resultado o valor de una operación algebraica lo es (pues un número es un conjunto), y el límite me parece una operación que se aplica sobre conjuntos (series, sucesiones, resultados de operaciones algebraicas, etc).
No, en realidad no haces esa propuesta, no en el orden adecuado. Usas esos términos por en medio de tú argumentación, para sustentarla; el darles significado debe de ser algo previo.
Saludos.
Eso es cierto, porque son cosas que van surgiendo en la media que hablo del tema. No he venido aquí con una teoría ya perfectamente pensada y cerrada, simplement digo: me parece posible justificar la existencia de infinitesimales en el conjunto de los reales empleando razonamientos de teoría de conjuntos. Nada más.
Un saludo
