[anabella_mv]

Quería pedir ayuda con un verdadero o falso:

Toda matriz real \( 2\times 2 \) con determinante negativo es semejante a una matriz diagonal

[ani_pascual]

Hola:

Quería pedir ayuda con un verdadero o falso:

Toda matriz real \( 2\times 2 \) con determinante negativo es semejante a una matriz diagonal

Creo que es cierto. Si \( A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right) \) su polinomio característico es \( p(\lambda)=\lambda^2-(a+d)\lambda+ad-bc \). Si \( |A|=ad-bc<0 \) entonces el discriminante \( \Delta=(a+d)^2-4|A|>0 \) y el polinomio tiene dos raíces reales, luego la matriz es diagonalizable, por tanto, semejante a una matriz diagonal.
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Creo que es cierto. Si \( A=\left(\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right) \) su polinomio característico es \( p(\lambda)=\lambda^2-(a+d)\lambda+ad-bc \). Si \( |A|=ad-bc<0 \) entonces el discriminante \( \Delta=(a+d)^2-4|A|>0 \) y el polinomio tiene dos raíces reales, luego la matriz es diagonalizable, por tanto, semejante a una matriz diagonal.
Saludos

Aunque puede sobreentenderse, ahí quizá conviene subrayar que las raíces son distintas (debido a que el discriminante es positivo).

Otra forma: el determinante es el producto de los autovalores. Si fuesen complejos uno sería el conjugado del otro y su determinante su módulo al cuadrado: positivo. Si fuesen reales pero iguales, el producto sería positivo. Por tanto la única posibilidad es que sean reales y de signo opuesto: por tanto diagonaliza.

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

Aunque puede sobreentenderse, ahí quizá conviene subrayar que las raíces son distintas (debido a que el discriminante es positivo).
...

Aunque el caso de las raíces iguales se podía descartar porque el discriminante no es nulo, llevas razón, es cierto, faltó esa precisión.
Saludos