Si \( ABCD \)es un cuadrado cuyo lado mide \( 20 \)m.
Calcular \( NQ \)con puntos de tangencia \( N \) y \( Q \)
(R:\( \sqrt{65} \))
Los triángulos \( \triangle AED \) y \[ \triangle QED \] son congruentes, ya que ambos son rectángulos y comparten un cateto (radio del semicirculo) y la hipotenusa \( ED \). Por tanto: \( QD = AD = 20 \ m \)
Entonces llamando \( x = BM = MQ \) en el triángulo \( \triangle CDM \) se tiene:
\( (x + 20)^2 = 20^2 + (20 - x)^2 \Longrightarrow{} x = 5 \ m \)
De donde:
\( DM = 20 + 5 = 25 \ m \)
\( MC = 20 - 5 = 15 \ m \)
\( CD = 20 \ m \)
Y el radio del circulo inscrito es:
\[ r = \displaystyle\frac{15\cdot{20}}{15+20+25} = 5 \ m \]
Y \( MN = 20-(5+5) = 10 \ m \)
Ahora como:
\[ \cos(\angle DMC) = \frac{MC}{DM} = \displaystyle\frac{3}{5} \]
Por el teorema del coseno en \( \triangle MNQ \):
\[ QN^2 = 5^2 + 10^2 - 2\cdot{}10\cdot{}3 = 65 \Longrightarrow{} \]
\[ QN = \sqrt{65} \ m \]
Saludos.
PD. Lo de que \( QD = AD \) sale directamente viendo que \( A \) y \( Q \) son puntos de tangencia, no sé por qué lo hice así pero bueno así se ve un poco de donde viene eso..
