[ani_pascual]

Hola:

A mi hay algo que me resulta raro en el enunciado:

He estado pensando en la notación usada por mathaus y se me ocurre que, quizás, se refiere a la bola cerrada de radio \(  1 \) centrada en \( \varphi\equiv 0 \) del espacio de funciones acotadas y reales definidas en \( [0,1] \)  es decir, \( \overline{B(0,1)}\subset {\cal B}([0,1],\mathbb{R}) \), que sería cerrado y acotado. Si es así, ¿qué ejemplo de sucesión se podría poner para que no tuviera ninguna subsucesión convergente? O ¿sí es compacto? 
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

He estado pensando en la notación usada por mathaus y se me ocurre que, quizás, se refiere a la bola cerrada de radio \(  1 \) centrada en \( \varphi\equiv 0 \) del espacio de funciones acotadas y reales definidas en \( [0,1] \)  es decir, \( \overline{B(0,1)}\subset {\cal B}([0,1],\mathbb{R}) \), que sería cerrado y acotado. Si es así, ¿qué ejemplo de sucesión se podría poner para que no tuviera ninguna subsucesión convergente? O ¿sí es compacto? 

El ejemplo que puso Masacroso. Por ejemplo:

\( f_n(x)=\begin{cases}{1}&\text{si}& x=1/n\\0 & \text{si}& x\neq 1/n\end{cases} \)

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

El ejemplo que puso Masacroso. Por ejemplo:

\( f_n(x)=\begin{cases}{1}&\text{si}& x=1/n\\0 & \text{si}& x\neq 1/n\end{cases} \)

Si entiendo bien, la contradicción se obtiene porque si existe una subsucesión \( \{f_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}} \) convergente, debería hacerlo a la función \( g=\varphi\equiv 0 \in\overline{B(0,1)} \) pero por otro lado se llega a que \( \|g\|_{\infty}=1 \), lo cual es absurdo. ¿Es correcto?
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

Si entiendo bien, la contradicción se obtiene porque si existe una subsucesión \( \{f_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}} \) convergente, debería hacerlo a la función \( g=\varphi\equiv 0 \in\overline{B(0,1)} \) pero por otro lado se llega a que \( \|g\|_{\infty}=1 \), lo cual es absurdo. ¿Es correcto?
Saludos

Si; porque con la norma del supremo, el límite de la sucesión, si existe, debe de coincidir con el límite puntual.

Saludos.