[mathaus]

El problema consiste en lo siguiente:

Sea \( B[0, 1] \) con su métrica usual y sea \( \phi \) la función definida por \( \phi (x)=0 \) para \( 0\leq{x}\leq{1} \). Pruebe que el conjunto cerrado y acotado \( \overline{B[0, 1]} \) no es compacto.

Pd: dejo esto por si alguien no entiende la notación.

\( B(X; Y)=\{ \phi : X\longrightarrow{Y} \quad | \quad \phi \quad acotada \} \)

Con la métrica

\( \rho (\phi, \psi )= Sup_{x\in{X}}\{ \tau(\phi (x), \psi (x)) \}, \quad \forall{\phi , \psi \in{B(X; Y)}} \)

Cualquier ayuda lo agradezco de antemano.

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

...
Cualquier ayuda lo agradezco de antemano.

Quizás buscando una sucesión de funciones (en particular, red) que no tenga ningún  "punto" (función) de aglomeración. A ver qué dicen los expertos 
Saludos 🖐🏻

[Masacroso]

Como dice ani_pascual bastaría con encontrar una sucesión que no tenga ninguna subsucesión convergente, por ejemplo encontrando funciones acotadas \( \phi _n \) tales que \( \rho (\phi _n,\phi _m)=c \) para algún \( c>0 \) siempre que \( n\neq m \). Como \( [0,1] \) es infinito podemos tomar un subconjunto infinito contable en \( [0,1] \), por ejemplo una enumeración de los racionales en \( [0,1] \) dada por \( \{q_n\}_{n\in\mathbb{N}} \), y si asumimos que \( \operatorname{card}(Y)\geqslant 2 \) entonces para \( y_0,y_1\in Y \) distintos podemos definir

\( \displaystyle{
\phi _n(x):=\begin{cases}
y_1,& x=q_n\\
y_0,&\text{ otra cosa }
\end{cases}
} \)

De ahí se sigue que \( \rho (\phi _n,\phi _m)=\tau (y_0,y_1) \) siempre que \( n\neq m \), por tanto \( \{\phi _n\}_{n\in\mathbb{N}} \) carece de subsucesiones convergentes.∎

Nota: ahí asumo que \( (Y,\tau ) \) es espacio métrico.

[ani_pascual]

Hola:

...
Nota: ahí asumo que \( (Y,\tau ) \) es espacio métrico.

¿No se suele sobrentender que \( B[0,1]=B([0,1],\mathbb{R}) \) donde la topología de los reales es la usual?
Saludos

[Masacroso]

Hola:

...
Nota: ahí asumo que \( (Y,\tau ) \) es espacio métrico.

¿No se suele sobrentender que \( B[0,1]=B([0,1],\mathbb{R}) \) donde la topología de los reales es la usual?
Saludos

Sí, podría ser. Pero como no conozco el contexto prefiero dar una solución más general.

Añadido: bueno, ahora veo que como comenta Luis más abajo con la métrica usual en \( \mathbb{R} \) no sería posible considerar a \( \overline{B([0,1], \mathbb{R})} \) como subespacio acotado de algún otro espacio métrico.

[ani_pascual]

Hola;

...
Sí, podría ser. Pero como no conozco el contexto prefiero dar una solución más general.

En efecto, como \( \overline{B[0,1]} \) es, en particular, un espacio métrico, la compacidad equivale a la compacidad secuencial , pero una pregunta, si la suposición que he hecho es correcta,  ¿se podría considerar, por ejemplo, la sucesión de funciones \( \{f_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset \overline{B[0,1]} \) donde \( f_n(t)=n,\,\,\,\forall\,\,\,t\in[0,1] \)? Así, si existiera una subsucesión \( \{f_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}}\subset\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}} \subset \overline{B[0,1]} \) convergente a \( g\in \overline{B[0,1]} \), entonces dado \( \varepsilon >0 \), existiría \( k_0\in\mathbb{N} \) tal que para todo \( k\geq k_0  \) se tendría que \( \|f_{n_k}-g\|_{\infty}<\varepsilon\Longrightarrow |n_k-\|g\|_{\infty}|\leq \|f_{n_k}-g\|_{\infty}<\varepsilon \), lo cual es absurdo ¿no? En definitiva, \( \overline{B[0,1]} \) no sería secuencialmente compacto y, por tanto, tampoco compacto. ¿Sería un contraejemplo válido?
Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

 A mi hay algo que me resulta raro en el enunciado:

El problema consiste en lo siguiente:

Sea \( B[0, 1] \) con su métrica usual y sea \( \phi \) la función definida por \( \phi (x)=0 \) para \( 0\leq{x}\leq{1} \). Pruebe que el conjunto cerrado y acotado \( \overline{B[0, 1]} \) no es compacto.

¿Qué pinta la función \( \phi \)?

¿Exactamente qué espacio es \( B[0,1] \)? Habla de su clausura, ¿su clausura metido en qué otro espacio?.

Se supone que \( \overline{B[0, 1]} \) debe de ser acotado (lo dice el enunciado), pero si...

¿No se suele sobrentender que \( B[0,1]=B([0,1],\mathbb{R}) \) donde la topología de los reales es la usual?

entonces  \( B[0,1]=B([0,1],\mathbb{R}) \)  no es acotado; porque una función en ese conjunto puede tener una norma del supremo tan grande como queramos.

Entonces en esa línea esto:

Hola;

...
Sí, podría ser. Pero como no conozco el contexto prefiero dar una solución más general.

En efecto, como \( \overline{B[0,1]} \) es, en particular, un espacio métrico, la compacidad equivale a la compacidad secuencial , pero una pregunta, si la suposición que he hecho es correcta,  ¿se podría considerar, por ejemplo, la sucesión de funciones \( \{f_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset \overline{B[0,1]} \) donde \( f_n(t)=n,\,\,\,\forall\,\,\,t\in[0,1] \)? Así, si existiera una subsucesión \( \{f_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}}\subset\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}} \subset \overline{B[0,1]} \) convergente a \( g\in \overline{B[0,1]} \), entonces dado \( \varepsilon >0 \), existiría \( k_0\in\mathbb{N} \) tal que para todo \( k\geq k_0  \) se tendría que \( \|f_{n_k}-g\|_{\infty}<\varepsilon\Longrightarrow |n_k-\|g\|_{\infty}|\leq \|f_{n_k}-g\|_{\infty}<\varepsilon \), lo cual es absurdo ¿no? En definitiva, \( \overline{B[0,1]} \) no sería secuencialmente compacto y, por tanto, tampoco compacto. ¿Sería un contraejemplo válido?
Saludos

No es que este mal; pero es que está dando una sucesión de funciones que no está acotada; eso tiene sentido si efectivamente \( B[0,1]=B([0,1],\mathbb{R}) \), pero choca con que el enunciado diga que es acotado.

El ejemplo de Masacroso funciona en cualquier \( B(X,Y) \) (posiblemente acotado)  siempre que \( X \) sea infinito e \( Y \) tenga más de un punto.

Saludos.

[Masacroso]

En efecto, como \( \overline{B[0,1]} \) es, en particular, un espacio métrico, la compacidad equivale a la compacidad secuencial , pero una pregunta, si la suposición que he hecho es correcta,  ¿se podría considerar, por ejemplo, la sucesión de funciones \( \{f_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset \overline{B[0,1]} \) donde \( f_n(t)=n,\,\,\,\forall\,\,\,t\in[0,1] \)? Así, si existiera una subsucesión \( \{f_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}}\subset\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}} \subset \overline{B[0,1]} \) convergente a \( g\in \overline{B[0,1]} \), entonces dado \( \varepsilon >0 \), existiría \( k_0\in\mathbb{N} \) tal que para todo \( k\geq k_0  \) se tendría que \( \|f_{n_k}-g\|_{\infty}<\varepsilon\Longrightarrow |n_k-\|g\|_{\infty}|\leq \|f_{n_k}-g\|_{\infty}<\varepsilon \), lo cual es absurdo ¿no? En definitiva, \( \overline{B[0,1]} \) no sería secuencialmente compacto y, por tanto, tampoco compacto. ¿Sería un contraejemplo válido?
Saludos

Claro, visto así sería un contraejemplo válido. Pero como dice Luis hay que considerar que \( \overline{B[0,1]} \) es subespacio acotado y cerrado de otro espacio más general, porque sino la notación de clausura no tiene mucho sentido.

[ani_pascual]

Hola:

 A mi hay algo que me resulta raro en el enunciado:
...
¿Qué pinta la función \( \phi \)?

¿Exactamente qué espacio es \( B[0,1] \)? Habla de su clausura, ¿su clausura metido en qué otro espacio?.

Se supone que \( \overline{B[0, 1]} \) debe de ser acotado (lo dice el enunciado), pero si...

Comparto esos interrogantes

\( B[0,1]=B([0,1],\mathbb{R}) \)  no es acotado; porque una función en ese conjunto puede tener una norma del supremo tan grande como queramos.

Entonces en esa línea esto:

Hola;

...
Sí, podría ser. Pero como no conozco el contexto prefiero dar una solución más general.

En efecto, como \( \overline{B[0,1]} \) es, en particular, un espacio métrico, la compacidad equivale a la compacidad secuencial , pero una pregunta, si la suposición que he hecho es correcta,  ¿se podría considerar, por ejemplo, la sucesión de funciones \( \{f_n\}_{n\in\mathbb{N}}\subset \overline{B[0,1]} \) donde \( f_n(t)=n,\,\,\,\forall\,\,\,t\in[0,1] \)? Así, si existiera una subsucesión \( \{f_{n_k}\}_{k\in\mathbb{N}}\subset\{f_n\}_{n\in\mathbb{N}} \subset \overline{B[0,1]} \) convergente a \( g\in \overline{B[0,1]} \), entonces dado \( \varepsilon >0 \), existiría \( k_0\in\mathbb{N} \) tal que para todo \( k\geq k_0  \) se tendría que \( \|f_{n_k}-g\|_{\infty}<\varepsilon\Longrightarrow |n_k-\|g\|_{\infty}|\leq \|f_{n_k}-g\|_{\infty}<\varepsilon \), lo cual es absurdo ¿no? En definitiva, \( \overline{B[0,1]} \) no sería secuencialmente compacto y, por tanto, tampoco compacto. ¿Sería un contraejemplo válido?

No es que este mal; pero es que está dando una sucesión de funciones que no está acotada; eso tiene sentido si efectivamente \( B[0,1]=B([0,1],\mathbb{R}) \), pero choca con que el enunciado diga que es acotado.

El ejemplo de Masacroso funciona en cualquier \( B(X,Y) \) (posiblemente acotado)  siempre que \( X \) sea infinito e \( Y \) tenga más de un punto.

Entiendo, gracias. Pues ... no se me ocurre qué hipotético espacio puede ser ese en el que \( \overline{B[0,1]} \) sea acotado, y eso suponiendo que \( B[0,1]=B([0,1],\mathbb{R}) \)
Supongo que la idea de fondo es buscar un ejemplo de espacio en el que ser cerrado y acotado no equivale a ser compacto, lo cual, si mal no recuerdo, sí es cierto en los espacios normados de dimensión finita.

Saludos

[ani_pascual]

Hola:

...
porque sino la notación de clausura no tiene mucho sentido.

Es cierto, gracias. A ver si mathaus aclara qué espacio es \( B[0,1] \)
Saludos