[migel]

Esta el problema en la imagen adjunta, intente derivar implícitamente para obtener la razón de cambio pero de igual forma quedaría s de incógnita al no haber información sobre s. Agradecería cualquier respuesta, gracias.

(b) Una partícula se mueve de acuerdo a la ecuación

\(  \sen(t + s) = t \cos(s^2), \quad s = s(t) \quad \text{y} \quad 0 \leq t \leq 2\pi  \)

Calcule la velocidad de la partícula para \(  t = 0  \). Considere \(  s  \) en metros y \(  t  \) en segundos, además, que la velocidad \(  v(t)  \) en el tiempo \(  t_0  \) está dada por \(  v(t) = s'(t_0)  \).
Mensaje corregido desde la administración.

Bienvenido al foro.

Recuerda leer y seguir  las reglas del mismo así como el tutorial del LaTeX para escribir las fórmulas matemáticas correctamente.

[AlbertR]

Partimos de

\( t \cos s^2-\sin (t+s)=0 \)

Derivamos, si no me equivoco sale:

\( \cos s^2-2 t s \sin s^2 \cdot s'-(1+s')\cos (t+s)=0 \)

Imponemos \( t=0 \) y despejamos \( s' \). Obtenemos:

\( s'(0)=\dfrac{\cos s^2}{\cos s}-1 \)

Saludos.

PD. Signo corregido, después de ver el siguiente post

[ani_pascual]

Hola:
\( t=0\Longrightarrow \sen s(0)=0\Longrightarrow s(0)=\left\{\begin{array}{l}0\\\pi\end{array}\right. \)
Por derivación implícita, \( [1+s'(0)]\cos s(0)=\cos s^2(0) \) luego
\( s'(0)=\dfrac{\cos s^2(0)}{\cos s(0)}-1=\left\{\begin{array}{l}0\\\dfrac{\cos \pi^2}{\cos \pi}-1=-1-\cos\pi^2\end{array}\right. \)
Si no me he equivocado ...
Saludos

[Richard R Richard]

Hola .Deriva  ambos miembros respecto del tiempo , emplea la regla de la cadena , de derivación de un producto de funciones y la de una potencia.
$$(1+s')\cos(t+s)=\cos(s^2)+t\sen(s^2)2ss'$$

$$\cos(t+s)-\cos(s^2)=s'[-\cos(t+s)+2st\sen(s^2)]$$

$$s'=\dfrac{\cos(t+s)-\cos(s^2)}{2st\sen(s^2)-\cos(t+s)}$$

Al inicio en  $$t=0$$


$$s'=\dfrac{\cos(s)-\cos(s^2)}{-\cos(s)}$$

$$s'=\dfrac{-\cos(s)+\cos(s^2)}{\cos(s)}=\dfrac{\cos(s^2)}{\cos(s)}-1$$

Como no te dicen en que posición $$s$$ se  halla la partícula  a tiempo cero la dejas allí en función  de $$s$$.

PD tarde, pero confirmo!!!

Edito según ani_pascual se puede deducir que la posición  a tiempo cero o es cero  o pi metros. De allí se pueden calcular al menos  dos velocidades
 
$$s'(0,0)=-1$$

$$s'(0,\pi)=-cos(\pi^2)-1$$

[Luis Fuentes]

Hola

Hola:
\( t=0\Longrightarrow \sen s(0)=0\Longrightarrow s(0)=\left\{\begin{array}{l}0\\\pi\end{array}\right. \)

¿Y por qué no \( s(0)=k\pi \)?.

Saludos.

[Richard R Richard]

Hola
¿Y por qué no \( s(0)=k\pi \)?.

 La razón sería que

\(   0 \leq t \leq 2\pi  \)

Osea  $$k\in[0,1,2]$$  y si tuviese que apostar diría que $$s(0)=s(2\pi)$$ pero no está escrito en el enunciado.


Saludos

[Luis Fuentes]

Hola

La razón sería que

\(   0 \leq t \leq 2\pi  \)

Pero esa restricción es sobre el tiempo, no sobre el espacio, ¿no?.

Saludos.

[ani_pascual]

Hola:

¿Y por qué no \( s(0)=k\pi \)?.

Sí, creo que si queremos ser más precisos, sería, como dices, \( s(0)=k\pi \) y con \( k\in\mathbb{Z} \) ¿no?
Saludos

[Richard R Richard]

Pero esa restricción es sobre el tiempo, no sobre el espacio, ¿no?.

Hola, Luis, entiendo que en ese caso es una imprecisión del enunciado, la partícula no puede tener infinitas posiciones a tiempo cero,  atendiendo al caso mas sencillo no se puede estar en dos lugares diferentes al mismo tiempo, a menos que este problema tenga un origen mas profundo en la Física cuántica.

si

\( \sin (s_{(0)})=0 \quad \to\quad s_{(0)}=k\pi \quad \to\quad \cos (s_{(0)})=\begin{cases}+1&\text{si}& k &\text{ es par}\\-1&\text{si}& k &\text{ es impar}\end{cases} \)

$$s'_{(0,k\pi)}=\dfrac{\cos(k^2\pi^2)}{\cos(k\pi)}-1$$

$$s'_{(0,2n\pi)}=\cos(4n^2\pi^2)-1$$

$$s'_{(0,(2n-1)\pi)}=-\cos((2n-1)^2\pi^2)-1$$

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, Luis, entiendo que en ese caso es una imprecisión del enunciado, la partícula no puede tener infinitas posiciones a tiempo cero,  atendiendo al caso mas sencillo no se puede estar en dos lugares diferentes al mismo tiempo, a menos que este problema tenga un origen mas profundo en la Física cuántica.

Si claro, no pretendía que el móvil tuviese esa capacidad de estar en varios sitios a la vez. Me refería que efectivamente el enunciado deja abiertas infinitas posibilidades para \( s(0) \)

Sí, creo que si queremos ser más precisos, sería, como dices, \( s(0)=k\pi \) y con \( k\in\mathbb{Z} \) ¿no?

Si, claro; que \( k \) se escoge en los enteros, lo di por supuesto.

Saludos.