Buenas noches, estaba demostrando el siguiente problema:
Sea \( (x_n) \) una sucesión en un espacio métrico Compacto. pruebe que si cada subsucesión convergente (existe al menos una) converge a un punto \( x \), entonces \( (x_n)\longrightarrow{x} \)
Aquí les dejo lo que hice yo para probar esto:
Supongamos que \( (x_n) \) no converge a \( x \). Entonces, esto significa que \( \exists{\epsilon > 0} \) tal que \( \forall{N>0} \), existe un \( n>N \) tal que \( d(x_n, x)\geq{\epsilon} \)
Luego, se puede construir una subsucesión \( (x_{n_k}) \) tal que \( d(x_{n_k}, x)\geq{\epsilon}, \forall{k\in{\mathbb{N}}} \)
Cómo estamos en un espacio métrico Compacto, la subsucesión \( (x_{n_k}) \) tiene una subsucesión convergente. Sea \( (x_{n_{k_j}}) \) está subsucesión convergente a la cuál converge a \( y \).
Por hipótesis, toda subsucesión convergente de \( (x_n) \) debe converger a \( x \). Por lo tanto \( y=x \) contradicción
Observamos que \( \forall{j} \), \( d(x_{n_{k_j}}, x)\geq{\epsilon} \), lo que contradice el hecho de que \( (x_{n_{k_j}}) \) converge a \( x \)
Cualquier corrección la agradezco de antemano.
Saludos.
