[MatMiki]

¡Hola a tod@s!

Tengo una duda a la hora de resolver un ejercicio. En el ejercicio se tiene una matriz real de orden 4×4, que representa una aplicación afín f respecto de un sistema de referencia métrico, y se nos pide calcular el número mínimo de simetrías hiperplanas necesarias para descomponer f como producto de ellas. Sabiendo que la paridad de f se puede determinar calculando el signo del determinante de la matriz asociada, obtengo que el determinante es positivo y, por tanto, que el número de simetrías hiperplanas ha de ser 2 ó 4. Mi pregunta es: ¿podría establecer, directamente, que el número mínimo buscado es 2?

[Luis Fuentes]

Hola

¡Hola a tod@s!

Tengo una duda a la hora de resolver un ejercicio. En el ejercicio se tiene una matriz real de orden 4×4, que representa una aplicación afín f respecto de un sistema de referencia métrico, y se nos pide calcular el número mínimo de simetrías hiperplanas necesarias para descomponer f como producto de ellas. Sabiendo que la paridad de f se puede determinar calculando el signo del determinante de la matriz asociada, obtengo que el determinante es positivo y, por tanto, que el número de simetrías hiperplanas ha de ser 2 ó 4. Mi pregunta es: ¿podría establecer, directamente, que el número mínimo buscado es 2?

Entiendo que se trata de una isometría afín en \( \Bbb R^3 \) que está representada por una matriz \( 4\times 4 \). ¿Es así?.

En ese caso sólo con el determinante no puedes asegurar que el número mínimo de simetrías respecto a planos en que se descompone es \( 2 \).

Si la isometría es composición de un giro respecto a una recta con una traslación en la dirección de la recta, su determinante es positivo y NO tiene puntos fijos. Sin embargo es imposible descomponerla como composición de dos simetrías respecto a planos, porque la intersección de ambos planos de simetría es una recta de puntos fijos de la composición; o bien si los dos planos son paralelos, su composición sería simplemente una traslación.

Saludos.

[MatMiki]

Hola, muchas gracias por tu respuesta.

En efecto, es una simetría afín en los reales de dimensión \( 3 \). Entonces, si determino el número \( n \) de puntos fijos del conjunto de puntos formado por el origen y el origen sumado por cada uno de los vectores de una base (formando un conjunto de \( 4 \) puntos), ¿podría establecer que el mínimo número de simetrías sería \( 4 - n \)?

[Luis Fuentes]

Hola

Hola, muchas gracias por tu respuesta.

En efecto, es una simetría afín en los reales de dimensión \( 3 \). Entonces, si determino el número \( n \) de puntos fijos del conjunto de puntos formado por el origen y el origen sumado por cada uno de los vectores de una base (formando un conjunto de \( 4 \) puntos), ¿podría establecer que el mínimo número de simetrías sería \( 4 - n \)?

No acabo de entender la idea detrás de lo que dices pero no está bien desde luego.

La cosa es:

- Si la isometría afín tiene al menos un punto fijo entonces necesariamente es una simetría respecto a un plano, un giro (equivalentemente composición de dos simetrías) o un giro compuesto con simetrías (equivalentemente composición de tres simetrías).

- Si la isometría NO tiene puntos fijos, entonces o bien es una traslación (dos simetrías respecto a planos paralelos), una simetría compuesta con una traslación (tres simetrías) o bien un giro compuesto con una traslación (cuatro simetrías).

En particular si el determinante es positivo:

- Si tiene al menos un punto fijo necesariamente es un giro (composición de dos  simetrías).
- Si no tiene puntos fijos, es una giro compuesto con una traslación (cuatro simetrías).

Saludos.

[MatMiki]

De acuerdo, me ha quedado totalmente claro.

Un saludo y muchas gracias por tu respuesta