[petras]

Dado el trapecio rectangular recto en \( A \) y \( B \). En la extensión de \( CD, \) marque un punto E tal que m \( \angle EAD=30° \) y \( m < CDA=75° \)
Calcule \( m < EBC \), con \( AD=2AB \).(R:\( 45^o \))

A continuación se muestra una figura para ayudar.

[Luis Fuentes]

Hola

Dado el trapecio rectangular recto en \( A \) y \( B \). En la extensión de \( CD, \) marque un punto E tal que m \( \angle EAD=30° \) y \( m < CDA=75° \)
Calcule \( m < EBC \), con \( AD=2AB \).(R:\( 45^o \))

Una forma no muy elegante:



En el triángulo \( ADE \) por el teorema de lo senos:

\( \dfrac{AE}{sin(105)}=\dfrac{2x}{sin(45)} \)

De donde:

\( AE=2x\cdot \dfrac{sin(105^o)}{sin(45)}=2x\cdot \dfrac{sin(60^o+45^o)}{sin(45)}=2x(sin(60^o)+cos(60^o))=x(1+\sqrt{3}) \)

En el triángulo \( AEG \):

\( AG=AE/2=x(1+\sqrt{3})/2 \)
\( GE=AE\cdot sin(60^o)=x(3+\sqrt{3})/2=AG+x=GB \)

Por tanto \( BGE \) es rectángulo isósceles y así \( \widehat{GBE}=45^o \) y \( \widehat{EBC}=90^o-\widehat{GBE}=45^o \).

Saludos.

[petras]

Hola

Dado el trapecio rectangular recto en \( A \) y \( B \). En la extensión de \( CD, \) marque un punto E tal que m \( \angle EAD=30° \) y \( m < CDA=75° \)
Calcule \( m < EBC \), con \( AD=2AB \).(R:\( 45^o \))

Una forma no muy elegante:



En el triángulo \( ADE \) por el teorema de lo senos:

\( \dfrac{AE}{sin(105)}=\dfrac{2x}{sin(45)} \)

De donde:

\( AE=2x\cdot \dfrac{sin(105^o)}{sin(45)}=2x\cdot \dfrac{sin(60^o+45^o)}{sin(45)}=2x(sin(60^o)+cos(60^o))=x(1+\sqrt{3}) \)

En el triángulo \( AEG \):

\( AG=AE/2=x(1+\sqrt{3})/2 \)
\( GE=AE\cdot sin(60^o)=x(3+\sqrt{3})/2=AG+x=GB \)

Por tanto \( BGE \) es rectángulo isósceles y así \( \widehat{GBE}=45^o \) y \( \widehat{EBC}=90^o-\widehat{GBE}=45^o \).

Saludos.

Hola, Excelente resolución

Agradecido

Saludos

[ani_pascual]

Hola:

Dado el trapecio rectangular recto en \( A \) y \( B \). En la extensión de \( CD, \) marque un punto E tal que m \( \angle EAD=30° \) y \( m < CDA=75° \)
Calcule \( m < EBC \), con \( AD=2AB \).(R:\( 45^o \))

Otra forma poco elegante  :

Spoiler

Llamando \( a=\overline{EF},b=\overline{AD}, c=\overline{DF}, d=\overline{AB}=\overline{FG}, e=\overline{AE} \),  aplicando Pitágoras en el triángulo \( \triangle{AEF} \), \( e^2=a^2+(b+c)^2 \) y como es \( a=\dfrac{e}{2} \), se tiene \( 3a^2=(b+c)^2\Longrightarrow b+c=a\sqrt{3} \).
Por otra parte, como \( \dfrac{c}{a}=\tan 15^{\circ}=2-\sqrt{3}\Longleftrightarrow c=a(2-\sqrt{3}) \) se tiene que \( a+d=a+\dfrac{b}{2}=a+\dfrac{a\sqrt{3}-c}{2}=\dfrac{2a+a\sqrt{3}-a(2-\sqrt{3})}{2}=a\sqrt{3}=b+c \) con lo que el triángulo rectángulo \( \triangle{EGB} \) es isósceles y así \( \widehat{EBG}=45^{\circ} \)

[cerrar]

Saludos

[petras]

Hola:

Dado el trapecio rectangular recto en \( A \) y \( B \). En la extensión de \( CD, \) marque un punto E tal que m \( \angle EAD=30° \) y \( m < CDA=75° \)
Calcule \( m < EBC \), con \( AD=2AB \).(R:\( 45^o \))

Otra forma poco elegante  :

Spoiler

Llamando \( a=\overline{EF},b=\overline{AD}, c=\overline{DF}, d=\overline{AB}=\overline{FG}, e=\overline{AE} \),  aplicando Pitágoras en el triángulo \( \triangle{AEF} \), \( e^2=a^2+(b+c)^2 \) y como es \( a=\dfrac{e}{2} \), se tiene \( 3a^2=(b+c)^2\Longrightarrow b+c=a\sqrt{3} \).
Por otra parte, como \( \dfrac{c}{a}=\tan 15^{\circ}=2-\sqrt{3}\Longleftrightarrow c=a(2-\sqrt{3}) \) se tiene que \( a+d=a+\dfrac{b}{2}=a+\dfrac{a\sqrt{3}-c}{2}=\dfrac{2a+a\sqrt{3}-a(2-\sqrt{3})}{2}=a\sqrt{3}=b+c \) con lo que el triángulo rectángulo \( \triangle{EGB} \) es isósceles y así \( \widehat{EBG}=45^{\circ} \)

[cerrar]

Saludos

Agradecido