[matesmarcos]

Hola,

Quería demostrar que si \( f: \Bbb R^N \to R \) es una función medible y \( g: R \to R \) es continua, entonces \( f \circ g \) es medible.

La única definición\caracterización que me asegura que una función \( f \) sea medible es si existe \( \{f_n\} \) sucesión de funciones escalonadas que converge a \( f \) casi por todas partes.

Por tanto, he estado intentando buscar una sucesión de escalonadas que converja cpp a \( f \circ g \). Como \( f \) es medible, existe una sucesión \( \{f_n\} \) de escalonadas (\( f_n: R^N \to R \)) para cada \( n \in N \) que converge cpp a \( f \), y podemos escribir \( f_n(x) = \sum_{i=1}^{k_n} a_i^n \chi_{I_i^n}(x) \) y suponer que los intervalos \( I_i^n \) son disjuntos dos a dos. 

Había pensado en definir para cada \( n \in \Bbb N \), \( \phi_n(x) = \sum_{i=1}^{k_n} a_i^n \chi_{I_i^n}(g(x)) \), pero no sé si es buena la idea. ¿Si sigo por ese camino podría demostrarlo? Es que no tengo muy claro si estoy definiendo bien la sucesión.

Si podéis echarle un vistazo y corregirme cuando haga falta lo agradezco 

[Luis Fuentes]

Hola

Quería demostrar que si \( f: \Bbb R^N \to R \) es una función medible y \( g: R \to R \) es continua, entonces \( f \circ g \) es medible.

Antes de nada no se si hay alguna errata en el enunciado o usas la notación menos habitual para la composición de funciones. Si por \( f\circ g \) entendemos \( (f\circ g)(x)=f(g(x)) \), tal como has definido los dominios y codominios esa composición no puede hacerse.

Si por \( f\circ g \) entendemos \( (f\circ g)(x)=g(f(x)) \) (como por ejemplo hace Carlos Ivorra en sus libros), si puede hacerse.

Entiendo entonces que te refieres a la función \( g(f(x)) \).

La única definición\caracterización que me asegura que una función \( f \) sea medible es si existe \( \{f_n\} \) sucesión de funciones escalonadas que converge a \( f \) casi por todas partes.

Entiendo que sólo has dado esa definición de medible. En realidad yo diría que la mas habitual es que una función es medible si la imagen recíproca de medibles es medible; con ella lo que te piden probar sería casi inmediato.

No obstante en tu caso ten en cuenta lo siguiente.

- Si \( f_n:\Bbb R^n\to \Bbb R \) es una función escalonada entonces \( (g\circ f_n)(x)=g(f_n(x)) \) es una función escalonada.

- Por otra parte fijado \( x\in \Bbb R^n \) si \( f_n(x)\to f(x) \), por ser \( g \) continua y así secuencialmente continua, \( g(f_n(x))\to g(f(x)) \)

Con esto se concluye lo que quieres.

Saludos.