[Juan Pablo Sancho]

Entonces nada perdón por la perdida de tiempo.

[Richard R Richard]

Encontre una perlita en la wikipedia, que me esclareció algunas cosas que observa danizafa en otro hilo Encontré un número perfecto impar

Andaba buscando información sobre la función Sigma de Euler y encontré esta fórmula general de la función



\( \displaystyle \sigma_x(n) = \prod\limits_{i=1}^{r} \sum\limits_{j=0}^{a_{i}} p_{i}^{j x} =\prod\limits_{i=1}^{r} (1 + p_{i}^x + p_{i}^{2x} + ... + p_{i}^{a_i x}). \)


donde r es la cantidad de factores primos diferentes que componen a $$N$$

Cuando en particular $$x=0$$ la función se la llama contadora de divisores o $$d()$$

\( \displaystyle \sigma_0(N) = \prod\limits_{i=1}^{r} \sum\limits_{j=0}^{a_{i}} p_{i}^{j 0} =\prod\limits_{i=1}^{r} (1 + p_{i}^0 + p_{i}^{2\cdot 0} + ... + p_{i}^{a_i \cdot 0})=\prod\limits_{i=1}^{r}(a_{i}+1) \)

el resultado conocido cuando $$r=1$$ es decir solo tenemos un único primo es que el número de divisores de la potencia de un primo es

$$\sigma_0(P^k)=k+1$$   

ahora cuando $$x=1$$ la función es denominada sigma de Euler y el la sumadora de divisores propios e impropios

\( \displaystyle \sigma_1(N) =\sigma(N)= \prod\limits_{i=1}^{r} \sum\limits_{j=0}^{a_{i}} p_{i}^{j} =\prod\limits_{i=1}^{r} (1 + p_{i} + p_{i}^{2} + ... + p_{i}^{a_i}) \)


como casos particulares vemos que si $$r=1$$

\( \displaystyle \sigma(N)=  \sum\limits_{j=0}^{a_{i}} p^{j} = (1 + p+ p^{2} + ... + p^{a_i})=\dfrac{p^{(a_1+1)}-1}{p-1} \)


y el corolario de esto es que si $$r>1$$ y teniendo en cuenta que los $$p_i$$ son todos primos es decir son todos coprimos entre si (teniendo en cuenta la agrupación solamente potencias de primos y no como potencias de compuestos , según lo aclara Luis Fuentes)

\( \displaystyle \sigma(N)= \prod\limits_{i=1}^{r} \dfrac{p_i^{(a_i+1)}-1}{p_i-1} \)


y en el caso que desafortunadamente nos confundamos y asignemos el valor $$1$$ a $$p_i$$ siendo $$r=1$$

\( \displaystyle \sigma(1^y)=  \dfrac{p_i^{(y+1)}-1}{p_i-1}=\dfrac{1-1}{1-1}=\dfrac{0}{0} \) lo que daría indeterminado, y quizá sería la razón por la cual se esgrimían algunas conjeturas erróneas en otro hilo.


 La suma de los divisores propios de $${\displaystyle N}$$ (esto es, todos los divisores a excepción de $${\displaystyle N}$$), de manera que
$$s_{(N)}=\sigma_1(N)-N$$  , que tambien sería indeterminada y no $$1$$ por lo tanto $$1$$ no puede ser denominado un número perfecto.


y cuando $$x>1$$ recibe en nombre general función divisor, que es la suma de los divisores propios e impropios a la potencia $$x$$

[Richard R Richard]

algunas propiedades deducidas para corroborar

Sea $$n$$ un número compuesto de dos primos $$a$$ y $$b$$

$$n=a\cdot b$$

y además

$$N=n^2=a^2b^2$$

quiero hallar la relación entre tratar a $$n$$ como lo es compuesto con la productoria de los sigmas de los factores que lo componen

$$\sigma (a)=a+1$$

$$\boxed{\sigma (a^2)=a^2+a+1=(\sigma(a))^2-a}$$

$$(\sigma(a))^k>\sigma(a^k)$$ Ec A

$$\sigma(b)=b+1$$

$$\sigma (b^2)=b^2+b+1=(\sigma(b))^2-b$$ 

$$\sigma (a^2.b^2)=(\sigma(a))^2(\sigma(b))^2-a\sigma(b)-b\sigma(a)-ab$$ 

$$\sigma(a^2b^2)=\sigma(a^2)\sigma(b^2)=\sigma (N)$$

$$\sigma(N)=(1+a+a^2)(1+b+b^2)=1+a+a^2+b+ab+a^2b+b^2+ab^2+a^2b^2$$ Ec1

ahora veamos que pasa con el cuadrado un número compuesto

$$(\sigma(n) )^2=(\sigma (a.b))^2=(1+a+b+ab)^2=1+a+b+ab+a+a^2+ab+a^2b+b+ab+b^2+ab^2+ab+a^2b+ab^2+a^2b^2$$   Ec2

si a la ecuación 2 le resto la ecuación 1

$$(\sigma(n))^2- \sigma (n^2)=a+b+3ab+a^2b+ab^2 =ab(3+a+b)+a+b\ \checkmark$$ Ec B

[cerrar]

[Richard R Richard]

mas para corroborar

Sean $$x$$ e $$y$$ dos números compuestos  con un factor en común.
sean $$a,b,c$$ números primos

$$x=ab$$
$$y=ac$$

$$\sigma(x)=\sigma(ab)=1+a+b+ab$$

$$\sigma(y)=\sigma(ac)=1+a+c+ac$$

si $$x$$ e $$y$$ fueran coprimos la función sigma de su producto sería el producto de sus funciones sigma individuales,
quiero ver que pasa cuando no lo son

$$\sigma(xy)=\sigma(a^2bc)=\sigma(a^2)\sigma(b)\sigma(c)$$
como $$a,b,c$$ son primos


$$\sigma(xy)=(1+a+a^2)(b+1)(c+1)=1+a+a^2+b+ab+a^2b+c+ac+a^2c+bc+abc+a^2bc$$   ec 4

y el producto de sigmas individiales es

$$\sigma(x)\sigma(y)=(1+a+b+ab)(1+a+c+ac)= 1+a+b+ab+a+a^2+ab+a^2b+c+ac+bc+abc+ac+a^2c+abc+a^2bc$$   ec5

restando 4 de 5

$$\sigma(ab)\sigma(ac)-\sigma(a^2bc)=a(1+b+c+bc)=mcd(xy)\sigma(mcm(x,y))=a\sigma(bc) \checkmark $$ cierto o no?


esto es dicho de otra manera

$$\sigma(xy)=\sigma(x)\sigma(y)-mcd(xy)\sigma(mcm(x,y))$$

[cerrar]

[Luis Fuentes]

Hola

algunas propiedades deducidas para corroborar

Sea $$n$$ un número compuesto de dos primos $$a$$ y $$b$$

$$n=a\cdot b$$

y además

$$N=n^2=a^2b^2$$

quiero hallar la relación entre tratar a $$n$$ como lo es compuesto con la productoria de los sigmas de los factores que lo componen

$$\sigma (a)=a+1$$

$$\boxed{\sigma (a^2)=a^2+a+1=(\sigma(a))^2-a}$$

$$(\sigma(a))^k>\sigma(a^k)$$ Ec A

$$\sigma(b)=b+1$$

$$\sigma (b^2)=b^2+b+1=(\sigma(b))^2-b$$ 

$$\sigma (a^2.b^2)=(\sigma(a))^2(\sigma(b))^2-a\sigma(b)-b\sigma(a)-ab$$ 

$$\sigma(a^2b^2)=\sigma(a^2)\sigma(b^2)=\sigma (N)$$

$$\sigma(N)=(1+a+a^2)(1+b+b^2)=1+a+a^2+b+ab+a^2b+b^2+ab^2+a^2b^2$$ Ec1

ahora veamos que pasa con el cuadrado un número compuesto

$$(\sigma(n) )^2=(\sigma (a.b))^2=(1+a+b+ab)^2=1+a+b+ab+a+a^2+ab+a^2b+b+ab+b^2+ab^2+ab+a^2b+ab^2+a^2b^2$$   Ec2

si a la ecuación 2 le resto la ecuación 1

$$(\sigma(n))^2- \sigma (n^2)=a+b+3ab+a^2b+ab^2 =ab(3+a+b)+a+b\ \checkmark$$ Ec B

[cerrar]

Todo esto es correcto entendiendo que \( n \) es producto de dos primos (ojo, porque eso es algo muy particular).

común.
sean $$a,b,c$$ números primos

$$x=ab$$
$$y=ac$$

$$\sigma(x)=\sigma(ab)=1+a+b+ab$$

$$\sigma(y)=\sigma(ac)=1+a+c+ac$$

si $$x$$ e $$y$$ fueran coprimos la función sigma de su producto sería el producto de sus funciones sigma individuales,
quiero ver que pasa cuando no lo son

$$\sigma(xy)=\sigma(a^2bc)=\sigma(a^2)\sigma(b)\sigma(c)$$
como $$a,b,c$$ son primos


$$\sigma(xy)=(1+a+a^2)(b+1)(c+1)=1+a+a^2+b+ab+a^2b+c+ac+a^2c+bc+abc+a^2bc$$   ec 4

y el producto de sigmas individiales es

$$\sigma(x)\sigma(y)=(1+a+b+ab)(1+a+c+ac)= 1+a+b+ab+a+a^2+ab+a^2b+c+ac+bc+abc+ac+a^2c+abc+a^2bc$$   ec5

restando 4 de 5

$$\sigma(ab)\sigma(ac)-\sigma(a^2bc)=a(1+b+c+bc)=mcd(xy)\sigma(mcm(x,y))=a\sigma(bc) \checkmark $$ cierto o no?

Ojo. \( bc\neq mcm(x,y) \). Es \( bc=mcm(x,y)/mcd(x,y) \). Entonces sería:

\( \sigma(ab)\sigma(ac)-\sigma(a^2bc)=mcd(x,y)\sigma(mcm(x,y)/mcd(x,y)) \)

Y por tanto aquí:

$$\sigma(xy)=\sigma(x)\sigma(y)-mcd(xy)\sigma(mcm(x,y))$$

En realidad es:

$$\sigma(xy)=\sigma(x)\sigma(y)-mcd(x,y)\sigma(\color{red}mcm(x,y)/mcd(x,y)\color{black})$$

Y detalle importante: todo eso que has hecho es válido para números \( x=ab \) e \( y=ac \) con \( a,b,c \) PRIMOS (distintos).

Pero NO es cierto en general. Un ejemplo sencillo:

\( x=2^3=8,\quad y=2^2=4 \)
\( \sigma(x)=2^4-1=15 \), \( \sigma(y)=2^3-1=7 \), \( \sigma(xy)=\sigma(2^5)=2^6-1=63 \).

\( mcd(x,y)=2^2=4 \), \( mcm(x,y)=2^3=8 \), \( mcm(x,y)/mcd(x,y)=8/4=2 \)

\( \sigma(x)\sigma(y)-mcd(x,y)\sigma(\color{red}mcm(x,y)/mcd(x,y)\color{black})=15\cdot 7-4\cdot 3=93\neq 63 \)

Saludos.

[Richard R Richard]

Gracias , Luis, por tus aclaraciones.
Los primos como bien dices siempre los pensé distintos entre si, pero no lo aclaré nunca.

La idea de fondo es probar que si o bien no puedo extender alguna de las "propiedades" o relaciones a los números compuestos.
Saber si es mayor o menor a la productoria de sus sigma individuales intuyo puede ser de utilidad.
Lo mismo en el sentido de usar el exponente 2 en elevar números compuestos, que es sencillo para sacar alguna conclusión previa para cualquier exponente mayor, también relacionado con la productoria de sus sigma individuales.

Con más tiempo ya veré a que me lleva.

Quizá abra un par de hilos más,...son útiles mis desarrollos o solo pregunto la cuestión de fondo? Si no me explico bien tengo el temor que no se me siga en el  "delirio o intento", pero cuanto  antes me de cuenta que es un delirio mejor para todos.

[Luis Fuentes]

Hola

Gracias , Luis, por tus aclaraciones.
Los primos como bien dices siempre los pensé distintos entre si, pero no lo aclaré nunca.

Si, si. Pero mi énfasis no está en lo de distintos (que también), sino en lo de primos.

Lo que quiero decir que trabajar con \( x=ab[tex], [tex]y=ac \) con \( a,b,c \) primos, está bastante lejos de ayudarte a llegar a una fórmula general para números compuestos cualesquiera.

Saludos.

[Richard R Richard]

Hola no se si me va a servir yo quiero ir probando resultados para distintos tipos de ecuaciones y números x$$_d$$ del mismo formato, comparando su función sigma con la productoria de sus sigmas individuales.

Sean $$a,b,c,d, p_i$$ primos diferentes entre si , si no se indica estan a la potencia 1 sino a la potencia $$e_i$$

Producto de primos
$$x_1=ab$$ caso ya conocido y analizado

Cuadrado de primos
$$x_2=a^2b^2$$

primos con factor en común

$$x_3=a^2bc$$

Producto de primos( resultado conocido)
$$x_4=(a.b)(c.d)$$

Casos más sencillos de la fórmula de Euler $$N=a^{4k+1}M^2$$ con $$M$$ compuesto

$$x_5=a(b^2)$$

$$x_6=a(b^2c^2)$$

Un poco mas general

$$x_7=a^{4k+1}(b^2c^2)$$

Exponentes pares cualesquiera

$$x_8=a^{4k+1}(b^{2i}c^{2j})$$

Fórmula general de Euclides (creo que varias veces cite mal el nombre)

$$x_9=a^{4k+1}\prod\limits_{i=1}^r p_i^{2e_i}=a^{4k+1}M^2 $$

Creo que en ese orden me va permitir analizar y descartar combinaciones de números que pueden o no hacer posible el perfecto impar, digamos que esperaría sacar conclusiones clarificadores como que $$a,b,c,d, p_i\neq 2$$ por señalar una obviedad.

[Richard R Richard]

Otra de esas cosas que he leído, escuchado o visto era que un número perfecto no puede ser múltiplo de 105 , pero "creo" que no es verdad.


Esto creo se debe a que habría 3 números primos $$3,5,7$$ multiplicándose $$105=3\cdot5\cdot7$$ y por tener exponente 1 haría que N necesariamente sea par, pero $$N=p\cdot 105^2$$ todavía tiene la forma de Euclides, y creo que hay otras formas creativas de mantener la forma y continuar siendo múltiplo de 105 y podría ser candidato a perfecto, en ese caso si $$p\notin (3,5,7)$$ y además es primo impar , se entiende por donde quiero ir viendo que cosa son ciertas y que no.

[Luis Fuentes]

Hola

Otra de esas cosas que he leído, escuchado o visto era que un número perfecto no puede ser múltiplo de 105 , pero "creo" que no es verdad.

Si, es verdad. Lo tienes probado aquí  y también en uno de los artículos que adjuntos. En ellos puedes ver algunas condiciones necesarias que tendría que cumplir un número perfecto impar:

https://math.stackexchange.com/questions/236891/can-an-odd-perfect-number-be-divisible-by-105

Saludos.