[Richard R Richard]

Si a y b son dos enteros positivos no coprimos, es decir con algún factor en común, es sabido que el producto  de sus funciones de sigma no es igual al resultado  de aplicar la función  sigma a su producto.


La pregunta es si hay una fórmula que relacione de otro modo esos resultados

$$\sigma(a.b)=f(\sigma(a),\sigma(b))$$ en general

Y en particular si a y b son coprimos

$$\sigma(a.b)=\sigma(a)\cdot\sigma(b)$$

¿ Hay una fórmula general o no?


Esos hilos con que me inicie en el foro ,con marañas de productorias y sumatorios mezclados ,no eran más que aplicar estos conceptos y formulas bien sabidos por el resto y claro no por mi.
Quiero saber si hay algo que allane el camino y no termine deduciendo las propiedades conocidas de la función sigma.


Gracias anticipadas.

[Juan Pablo Sancho]

Tienes que si \( (m,n) = d  \) entonces:
\( \sigma(m \cdot n) = \sigma(m) \cdot \sigma(n) \cdot \dfrac{d}{\sigma(d)}  \)

[Richard R Richard]

Gracias!!!

Yo había visto que

$$\sigma(n^x)=\dfrac{n^{(x+1)}-1}{n-1}$$

así que los factores elevados a numero par dentro $$M$$ en $$N=P^{(4k+1)}M^2$$ los podía factorizar de algún modo, miro entonces lo que me propones.

Quiero tirar de las ecuaciones para hacer un algoritmo mas restringido y "competir" de algún modo sencillo a los super ordenadores que me llevan años de ventaja búsqueda del número perfecto impar, (aunque presupongo que los que programaron eran tanto o mas inteligentes que yo) estoy convencido que la solución va avenir de la mano de un truco inteligente y no de la fuerza bruta de calculo.

[Luis Fuentes]

Hola

Yo había visto que

$$\sigma(n^x)=\dfrac{n^{(x+1)}-1}{n-1}$$

Para \( n \) primo; en otro caso no.

Saludos.

[Richard R Richard]

Para \( n \) primo; en otro caso no.

Claro, la idea es descomponer a M en la productoria de potencias de primos elevados a exponente par y calcular sigma del conjunto como una productoria  de sigmas, Luego ver si hay algo potable para observar que reduzca el numero de variables del sistema, los $$p_i$$ y los exponentes $$2k_i$$ respectivos.

pero observo que si $$M$$ es compuesto de varios primos da

$$ M=15$$

$$\sigma(M^2)=\sigma(225)=1+3+5+9+15+25+45+75+225=403$$

$$\sigma(3^2)=\sigma(9)=\dfrac{x^3 -1}{x-1}=\dfrac{3^3-1}{3-1}=13$$


$$\sigma(5^2)=\sigma(25)=\dfrac{y^3 -1}{y-1}=\dfrac{5^3-1}{5-1}=31$$


$$\sigma(225)=\sigma(3^25^2)=\sigma(9)\sigma(25)=13 \cdot 31=403$$

hasta aca todo lindo

pero veo que no necesariamente resulta con compuestos

$$\sigma(M^2)=\dfrac{M^3 -1}{M-1}=\dfrac{15^3-1}{15-1}=241\neq 403$$ oh ,oh Houston we have a problem...

Bueno a pensar con seriedad lo que me pasó Juan Pablo.

$$\sigma(m \cdot n) = \sigma(m) \cdot \sigma(n) \cdot \dfrac{d}{\sigma(d)}$$

$$\sigma(3 \cdot 5) = \sigma(3) \cdot \sigma(5) \cdot \dfrac{1}{\sigma(1)}=24$$

$$\sigma(9 \cdot 25) = \sigma(9) \cdot \sigma(25) \cdot \dfrac{1}{\sigma(1)}=403\checkmark $$

$$\sigma(15 \cdot 15) = \sigma(15) \cdot \sigma(15) \cdot \dfrac{15}{\sigma(15)}= $$???

Gracias

[Richard R Richard]

Tienes que si \( (m,n) = d  \)

¿Entendí bien que es el MCD o es el MCM,  o es otra cosa?

[Juan Pablo Sancho]

\( (a,b) = mcd(a,b) \)
\( [a,b] = mcm(a,b) \)

[Richard R Richard]

Hola, Algo hago mal
$$(15,15)=15$$


$$\sigma(15 \cdot 15) = \sigma(15) \cdot \sigma(15) \cdot \dfrac{15}{\sigma(15)}=24\cdot24\cdot\dfrac{15}{24}=360\neq403$$

[Juan Pablo Sancho]

Pueda ser que me equivocara, yo hablo de la indicatriz de Euler, en este caso \( \sigma(15 \cdot 15) = 120  \)
Te pongo esta página web:
https://www.dcode.fr/euler-totient

[Richard R Richard]

No me refiero a esa función $$\phi$$ de Euler, no se realmente de que se trata la que me propones, yo me refiera a la función $$\sigma$$ de Euler que es el sumatorio de todos los divisores de un numero, tanto los propios como los impropios.


$$\sigma(N)=\sum div(N)$$


para un numero perfecto es igual a $$\sigma(N)=2N$$