[feriva]

Hola:

...
El único divisor del \( 1 \) es el \( 1 \); pero no es un divisor propio, por es "él mismo" como tu dices. Por tanto el \( 1 \) NO tiene divisores propios. Como no tiene divisores propios la suma de ellos es \( 0\neq 1 \) y por tanto el \( 1 \) no es un número perfecto.
...

Me declaro un ignorante en este tema y creo que no puedo aportar nada; no obstante, me parece que del hecho de que el \( 1 \) carezca de divisores propios se podría deducir tanto que la suma de ellos sea \( 0 \) como que sea \( 1 \) o cualquier otro valor. Este asunto me recuerda a un comentario que ha hecho Masacroso en alguno de sus mensajes aludiendo a la verdad vacía. Si el conjunto de divisores propios del \( 1 \) es vacío ¿no se podría sostener que no hay propiedad alguna que no cumplan sus elementos? Es solo una pregunta y un interés en conocer otras opiniones.
Saludos

Hola, ani_pascual. Pero es simplemente que dado un número \( n \) el divisor no propio es único y es “d” tal que \( \dfrac{n}{d}=1 \), de donde d=n. Si n=1, entonces no existen divisores propios. No hace falta pensar en sumas ni en nada así, para mí es claro.

Saludos.

[Fernando Revilla]

Ahora, en caso de que quiera plantear una explicación diferente, debo ahorrarmela, no cuestionar.. quedarme callado... y que las cosas sigan siendo como son... Hermosa manera de generar conocimiento... no cuestionando... Te estoy diciendo que puedo demostrarlo matematicamente... 

No, nadie quiere que te quedes callado. Sólo te estamos aclarando que si tú haces que una dama de ajedrez se pueda mover además como un caballo, puedes obtener una posición de mate que no lo sería en ajedrez tradicional. Y tendrías razón. Y los practicantes de ajedrez tradicional también, lo cual aportaría una total vacuidad científica al juego.

Pero bueno, gracias por ahorrarme el trabajo del PDF.

Publícalo. No hay problema.

[Richard R Richard]

Divisor propio es un término convenido solo para eliminar el unico divisor que divide un número N, en N unidades...
.....

Número perfecto: Un número perfecto es un número entero positivo que es igual a la suma de sus divisores propios positivos.

Hola, sigamos tus definiciones para un N dado, nos sumamos a tu causa e incorporamos a $$N$$ como divisor si lo permites para $$N=1$$ por que excluirlo para cualquier otro $$N$$....
Veamos que pasa

$$N=6$$

Divisores del 6

$$1,2,3,6$$

Sumatorio $$1+2+3+6=12$$
Productorio $$1\cdot2\cdot 3\cdot 6=36$$

Luego $$6\neq12\neq36$$ Entonces 6 no es perfecto

Si incluyes a $$N$$ como divisor propio de N no hay forma que haya otro número  perfecto  salvo el $$N=1$$,  ni par ni posible impar, así  con tu definición te cargas el resto de los números  perfectos.

No es por llevarte la contra, aqui leemos atentamente todo lo que se postea si hay crítica amarga o dulce se la escribe, yo
solo creo haber seguido tus definiciones.

Saludos

[danizafa]

Divisor propio es un término convenido solo para eliminar el unico divisor que divide un número N, en N unidades...
.....

Número perfecto: Un número perfecto es un número entero positivo que es igual a la suma de sus divisores propios positivos.

Hola, sigamos tus definiciones para un N dado, nos sumamos a tu causa e incorporamos a $$N$$ como divisor si lo permites para $$N=1$$ por que excluirlo para cualquier otro $$N$$....
Veamos que pasa

$$N=6$$

Divisores del 6

$$1,2,3,6$$

Sumatorio $$1+2+3+6=12$$
Productorio $$1\cdot2\cdot 3\cdot 6=36$$

Luego $$6\neq12\neq36$$ Entonces 6 no es perfecto

Si incluyes a $$N$$ como divisor propio de N no hay forma que haya otro número  perfecto  salvo el $$N=1$$,  ni par ni posible impar, así  con tu definición te cargas el resto de los números  perfectos.

No es por llevarte la contra, aqui leemos atentamente todo lo que se postea si hay crítica amarga o dulce se la escribe, yo
solo creo haber seguido tus definiciones.

Saludos

Hola,
Muchas gracias por tu burla y seguir mi causa a pesar de ello... Quien dijo que habría que incluir a N, pero yo podría hacer miles de cálculos que muestran lo mismo que mostras vos de mi causa, usando las definiciones actuales... Y es justo el motivo por el que deben aislar el 1... Pero en la sumatoria no lo excluyen, no? Ah cierto tienen una convención para justificar su presencia...


Contame, cuál es el valor del primer término de la sucesión? 1

Pero vos dices que la suma de los divisores propios de 1 es 0... Entiendo

Luego, 1≠0 . Entonces 1 no debería ser el primer término de la sucesión...

Luego
Para el segundo término de la sucesión, tendrías 3... Y acá está lo curioso, ESTÁS SUMANDO EL 1 y el 2, claro porque según la definición de divisor propio el 1 es menor que el N° entonces si es divisor propio.

Tienes razón, te doy la derecha

Ahora, contame como encaja el 2 en ese término?

Veamos que pasa

N=2

Divisores del 2

1,2

Sumatorio 1+2=3
Productorio 1⋅2=2

El dos según tu definición no es divisor propio

Luego

Divisores propios del 2

1

Sumatorio 1 + alguna convención para que sea una suma de solo un dígito = 1
Productorio 1 ⋅ neutro = 1

y tenemos la unidad!




si querés veamos que pasa con el 3

N=3

Divisores del 3

1,3

Sumatorio 1+3=4
Productorio 1⋅3=3

El tres según tu definición no es divisor propio

Luego

Divisores propios del 3

1

Sumatorio 1 + alguna convención para que sea una suma de solo un dígito = 1
Productorio 1 ⋅ neutro = 1

y tenemos la unidad!



Con tu teoría descubrimos cosas que no conociamos:

1 = 2 = 3



N=7

Divisores del 7

1,7

Sumatorio 1+7=8
Productorio 1⋅7=7

El tres según tu definición no es divisor propio

Luego

Divisores propios del 7

1

Sumatorio 1 + alguna convención para que sea una suma de solo un dígito = 1
Productorio 1 ⋅ neutro = 1

y tenemos la unidad!


Ahora Fijate, entre el sumatorio y el productorio la diferencia es 1, ese uno tenes que buscar en la unidad... Querés que te muestre cómo?

N=1

Todo número puede expresarse como producto de sí mismo por la unidad.
Para verlo claramente, pensemos en el número como cantidad. Para todo número entero positivo N, tendríamos N cantidad de unidades U.
N  =  N·U
Y como por definición la unidad es 1, podemos expresarlo como:
N  =  N·1

Luego N = 1·1

Pero volvamos a N = N·U

excluimos N para tomar los divisores propios del 1

Divisores propios del 1

U

Como U es la unidad y por definición 1

Podemos concluir que el 1 es divisor propio del 1

Sumatorio 1=1
Productorio 1=1

y tenemos la unidad!

Pero, si tu idea y tu postura es escluir a U por ser igual que N, vas a romper todo...


Saludos rey!!!

[danizafa]

Divisor propio es un término convenido solo para eliminar el unico divisor que divide un número N, en N unidades...
.....

Número perfecto: Un número perfecto es un número entero positivo que es igual a la suma de sus divisores propios positivos.

Hola, sigamos tus definiciones para un N dado, nos sumamos a tu causa e incorporamos a $$N$$ como divisor si lo permites para $$N=1$$ por que excluirlo para cualquier otro $$N$$....
Veamos que pasa

$$N=6$$

Divisores del 6

$$1,2,3,6$$

Sumatorio $$1+2+3+6=12$$
Productorio $$1\cdot2\cdot 3\cdot 6=36$$

Luego $$6\neq12\neq36$$ Entonces 6 no es perfecto

Si incluyes a $$N$$ como divisor propio de N no hay forma que haya otro número  perfecto  salvo el $$N=1$$,  ni par ni posible impar, así  con tu definición te cargas el resto de los números  perfectos.

No es por llevarte la contra, aqui leemos atentamente todo lo que se postea si hay crítica amarga o dulce se la escribe, yo
solo creo haber seguido tus definiciones.

Saludos

Además no se de donde sacaste ese concepto de que N tiene que ser igual a la sumatoria de los divisores propios y ademas igual a la productoria de los divisores propios, solo se da en el 1 y en el 6, asi que me decis que solo se daría en el 1 si incluís a N, y en realidad no incluyo a N, incluyo el mismo 1 que incluis en el 6. El 1 que representa a la unidad. UNIDAD que es FACTOR PROPIO para todo número, ya que todo número puede ser expresado como un producto de sí mismo por la unidad.

Para poner el 1 como factor vos haces

NxU -> N = 6 y U = 1

Porque si lo pensas de otra manera, nada puede ser dividido por uno. Porque al ser igual que el número sin dividir, da cuenta de que no realizaste ninguna operación.

Ese es el camino, no una convención matematicamente aceptada para hacer lo que no pudieron hacer con un razonamiento.

La RAE define:
“Primo: Del lat. primus.
1. adj. primero.
Sin.: primero, inicial.”

Eso justifica al primer número natural, como el Número Primo por excelencia... Y ahora comproba todo lo que dije antes:

1) Es igual a la suma de sus divisores propios positivos
2) Cumple la fórmula de Euclides
3) Es un número triangular, al igual que los números perfectos pares
4) Es un número hexagonal
5) Es un número primo
6) Es un número primo de Mersenne
7) Cumple la fórmula de Descartes N=p_s M^2
8) σ (1) = 2

Entonces podemos concluir que el N° 1 es el primer número perfecto

Quizás luego, pueda explicarles porque no hay otro número perfecto impar.

[Luis Fuentes]

Hola

 Antes de nada dainzafa, Fernando Revilla te está insistiendo mucho en que lo que estás haciendo es cambiar la definición de lo que la comunidad matemática entiende por número perfecto (o divisor propio), y no hay debate al respecto:

- Con las definiciones usuales que se manejan en matemáticas de número perfecto. El \( 1 \) NO es perfecto.

Spoiler

Entendiendo que trabajamos en el conjunto de enteros positivos:

 i) Un número \( a \) es divisor de \( b \) si existe otro entero \( c \) tal que \( ac=b \).
 ii) Un número \( a \) es divisor propio de \( b \) si es divisor de \( b \) y además \( a\neq b \).
iii) Un número \( a \) es perfecto si es igual a la suma de todos sus divisores propios.

 ¿Aceptando esas definiciones estás de acuerdo en que el \( 1 \) no es perfecto?.

Ej:

 - Divisores de \( 1=\{1\} \). Divisores propios de \( 1 \): ninguno (porque \( 1=1 \)). Suma de los divisores propios: \( 0\neq 1 \) (no hay nada que sumar). Por tanto el \( 1 \) no es perfecto.
 - Divisores de \( 2=\{1,2\} \). Divisores propios de \( 2=\{1\} \). Suma de los divisores propios: cero: \( 1\neq 2 \). Por tanto el \( 2 \) no es perfecto.
 - Divisores de \( 3=\{1,3\} \). Divisores propios de \( 3=\{1\} \). Suma de los divisores propios: cero: \( 1\neq 3 \). Por tanto el \( 3 \) no es perfecto.
 - Divisores de \( 4=\{1,2,4\} \). Divisores propios de \( 4=\{1,2\} \). Suma de los divisores propios: cero: \( 1+2=3\neq 4 \). Por tanto el \( 4 \) no es perfecto.
 - Divisores de \( 5=\{1,5\} \). Divisores propios de \( 5=\{1\} \). Suma de los divisores propios: cero: \( 1=1\neq5 \). Por tanto el \( 5 \) no es perfecto.
 - Divisores de \( 6=\{1,2,3,6\} \). Divisores propios de \( 6=\{1,2,3\} \). Suma de los divisores propios: cero: \( 1+2+3=6  \). ¡Bingo! Por tanto el \( 6 \) SI es perfecto.

[cerrar]

- Tu modificas esas definiciones considerando que el \( 1 \) si es divisor propio de si mismo y entonces \( 1=1 \) y si es perfecto. Bien. Pero en ese caso no es que tu hayas descubierto un número perfecto nuevo; no es que nadie se hubiese dado cuenta hasta ahora de que el \( 1 \) era perfecto, si no que para ti número perfecto es algo sutilmente distinto a lo que la matemática usual llama número perfecto y por eso consideras al uno como tal. ¿De acuerdo en esto?.

 Entonces, el debate ahí no tiene demasiado interés.

 Tendría interés si pudieses probar que no hay números perfectos impares mayores que el \( 1 \) o que dieses un ejemplo de número perfecto impar mayor que \( 1 \)..

 Afirmas que SI has probado que hay números perfectos impares, pero sinceramente no le veo sentido a tu argumento ya te he explicado porqué y no me has contestado explícitamente a mis críticas. Rescato lo que puse al respecto:

1- Un número perfecto es un número triangular, lo que es igual a la sumatoria desde k = 1 hasta n de k = n(n+1)/2

Cada uno de esos valores de k es un factor del número perfecto.

desde k = 2 en adelante, es imposible encontrar un número perfecto impar debido a que el 2 es un factor para cualquier número perfecto. Lo que quiere decir que todos los números perfectos son divisibles por 2, por lo que TODOS LOS NÚMEROS PERFECTOS MAYORES A 1, SON PARES.

No acabo de entender lo que haces. En primer lugar está demostrado que todo número perfecto PAR es triangula; pero no se sabe si todo número perfecto impar (en caso de que existiese) es triangular.

En segundo lugar un número triangular es de la forma \( n(n+1)/2 \) y ese cociente en principio pude ser par o impar. Así que incluso usando (sólo) que un número perfecto es triangular de ahí no se deduce que sea impar.

¿Algo qué decir sobre la frase subrayada en rojo?

Además no se de donde sacaste ese concepto de que N tiene que ser igual a la sumatoria de los divisores propios y ademas igual a la productoria de los divisores propios

Efectivamente no sé porqué Richard trajo a colación el productorio porque aquí no influye para nada; no interviene en la definición del número perfecto. Creo que se confundió.

Ese es el camino, no una convención matematicamente aceptada para hacer lo que no pudieron hacer con un razonamiento.

La RAE define:
“Primo: Del lat. primus.
1. adj. primero.
Sin.: primero, inicial.”

Si vas a usar la RAE para revisar la definición de primo mal vamos... Porque primo en matemáticas no significa primero. En ese caso sólo habría un primo, el primer elemento de algún conjunto (si es los enteros positivos el \( 1 \)). Pero eso no tiene nada que ver con la definición matemática de primo: un número primo es un número entero mayor que \( 1 \) que no puede ponerse como producto de dos números enteros positivos distintos del uno; o equivalentemente número entero mayor que uno que sólo es divisible por si mismo y por la unidad; o equivalentemente un número entero positivo que tiene exactamente dos divisiores.

Eso justifica al primer número natural, como el Número Primo por excelencia... Y ahora comproba todo lo que dije antes:

Entonces justificar la consideración de uno como primo por esa definición de la RAE no tiene sentido alguno.

En fin...

Saludos.

P.D. Nadie de burla de ti.

[Luis Fuentes]

Hola

Me declaro un ignorante en este tema y creo que no puedo aportar nada; no obstante, me parece que del hecho de que el \( 1 \) carezca de divisores propios se podría deducir tanto que la suma de ellos sea \( 0 \) como que sea \( 1 \) o cualquier otro valor. Este asunto me recuerda a un comentario que ha hecho Masacroso en alguno de sus mensajes aludiendo a la verdad vacía. Si el conjunto de divisores propios del \( 1 \) es vacío ¿no se podría sostener que no hay propiedad alguna que no cumplan sus elementos? Es solo una pregunta y un interés en conocer otras opiniones.

Lo que se tiene es que la proposición:

\( x\in \emptyset\quad \Rightarrow{}\quad x \) cumple \( P(x) \)  (*)

es cierta independientemente de la propiedad \( P(x) \) que pongas.

Pero no se muy bien que tiene que ver con este asunto, aquí en todo caso está el matiz de como interpretar:

\( \displaystyle\sum_{a\in A}a \)

Cuando \( A \) es el conjunto vacío.  Asignarle cualquier valor a esa suma no tiene nada que ver con una proposición del tipo (*).

Si \( A \) es el vacío se le suele asignar por definición a ese sumatorio el valor cero; tiene bastante sentido porque uno no está sumando nada y además digamos que las fórmulas que involucran sumatorios suelen funcionar bien con ese convenio. Pero no deja de ser un convenio.

Por ejemplo en el caso de productorios el convenio es que si no se multiplica nada, se le asigne el valor \( 1 \) (el neutro del producto). Y en general si se hace un análogo con cualquier operación de grupo, cuando el conjunto de elementos que opera es vacío el convenio suele ser asignarle como resultado el elemento neutro.

Saludos.

[danizafa]

Hola
Saludos.

P.D. Nadie de burla de ti.

Hola Luis, gracias por la respuesta.

Hubo comentarios que no han sido cordiales, y yo vine a exponer un punto de vista simplemente,

puse bastante a lo largo del post. Pues yo puedo debatir ideas. Y eso me gusta.

Tu dices que el debate no se vuelve interesante si yo planteo una idea nueva. Y para mi no hay debate posible si no se cuestionan ideas.

Me estoy atropellando jejee...

Estoy planteando la lógica que incluye al 1, pero lo incluye para toda la serie.

Te dejo lo que estaba haciendo, y una imagen que no la integré en el documento.

Dale un vistazo y decime si no hay un debate interesante. Quien está haciendo movimientos de Caballo con la Dama no soy yo

Abrazo


Pongo la definición de la RAE para caracterizar por que se llaman Primos,

Un número primo P es el primer número de una serie aritmética de diferencia P

1 es el primer número de una serie de diferencia 1  1,2,3,4,5,6,7...

2 es el primer número de una serie de diferencia 2  2,4,6,8,10,12...

3 es el primer número de una serie de diferencia 3  3,6,9,12,15,18...

5 es el primer número de una serie de diferencia 5  5,10,15,20,25...

En cada serie todos esos números pueden ser expresados como productos del primer número.


La otra característica por la que se afirma que el 1 no es un número primo es

Todo entero positivo puede descomponerse en producto de números primos de manera única, salvo por una reordenación de los factores. 

Y mi postulado no la contradice en ningún momento. Si la contradice el hecho de que 1 no pueda descomponerse en un producto de números primos. Y te muestro que es necesario que el número 1 sea primo.

Tomemos un número: 360

Lo factoricemos sin tomar el 1.
360 = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 3 ⋅ 5

360 = 2^3 ⋅ 3^2 ⋅ 5

Y el 1 está implicito en ese producto. Y por mas que pongas n cantidad de factores de valor 1, la expresarlos como 1^n, tendrás que ese factor siempre es 1, por lo tanto el producto de números primos mantendrá su manera única de escribirse.

Creo que la unidad es el valor más importante de las matemáticas, 1U, que es lo mismo que 1⋅1, no reviste ningúna diferencia con un 6⋅1.

No se como escribir formulas, aún no me salen...

Pero el hecho es que el mismo 1 que es factor para todos los numeros, debe ser también factor para el mismo 1.

Gracias por el espacio! Saludos a todos

[manooooh]

Hola

danizafa: sería bueno que nos indicaras las definiciones que tú manejas de número primo y número perfecto.

Algo del estilo como:

Número primo:

Número perfecto:

Saludos

Corregido

[feriva]

Hola, danizafa.

Puedes ver los números primos así:

Buscamos sumas de al menos dos números repetidos (distintos de 1) y encontramos

\( 2+2=4 \)

\( 2+2+2=6 \)

\( 3+3=6 \)

etc.

El 5, en cambio, no se puede representar como la suma de al menos dos números repetidos distintos de 1

\( 2+2 \) se queda corto y \( 3+3 \) se pasa.

Los números que sí se pueden representar como esas sumas repetidas son los llamados compuestos; y los que no, son los primos.

¿Por qué no considerar el 1?

Pues por que...

\( 2=1+1 \)

\( 3=1+1+1 \)

\( 4=1+1+1+1 \)...

todos los números naturales se pueden representar como suma de unos y así no se distinguen los compuestos de los primos según esto que digo.

De este modo, el 1 no es primo ni compuesto, porque no existe una suma de al menos dos que dé 1; no cumple mi definición (que es análoga a la habitual, pero considerando la suma en vez de el producto).

Los primos son los primeros (en el sentido de ser los mínimos) de las familia de múltiplos: el 2 es el único primo de los múltiplos de 2 (pares, más habitualmente dicho); el 3 es el primer múltiplo de los múltiplos de 3 (se podría decir “triares”, pero no se dice en este caso, sólo con los pares); y así con todos los primos, son los los múltiplos más pequeños de su “especie”.

Saludos.