[alexis.sokorov]

Buenas tardes, ¿cómo están? Se me pide en un ejercicio probar que las siguientes ecuaciones determinan a \( \displaystyle y \) en función de \( x \) alrededor de \( (x_0 , y_0) \) , y hallar
\( \varphi'(x_0) \) y \( \varphi''(x_0) \)

Mi ecuación es \( \displaystyle x^2y + \log(xy)=1 \) , \( (x_0 , y_0)=(1,1) \)

\( f(1,1) = 0 \) , \( f \in C^1 \) y \( \displaystyle\frac{{\partial f}}{{\partial y}}(x,y) = x^2 + \frac{1}{xy}x = x^2 + \frac{1}{y} \) con \( \displaystyle\frac{\partial f}{\partial y}(1,1)=2 \neq 0 \) \( \Rightarrow y=\displaystyle \varphi(x) \) (Cumple las hipótesis del Teo. Func. Implícita)
 

Sé que \( \displaystyle \varphi (1) =1 \) y para hallar \( \displaystyle\varphi'(x) = - \frac{f_x (x , \varphi(x))}{f_y (x, \varphi(x))} \) me da que \( \displaystyle\varphi'(1)=- \frac{3}{2} \) , no sé cómo hallar \( \displaystyle\varphi ''(1) \) 

[Masacroso]

Sé que \( \displaystyle \varphi (1) =1 \) y para hallar \( \displaystyle\varphi'(x) = - \frac{f_x (x , \varphi(x))}{f_y (x, \varphi(x))} \) me da que \( \displaystyle\varphi'(1)=- \frac{3}{2} \) , no sé cómo hallar \( \displaystyle\varphi ''(1) \) 

Si defines \( h:\mathbb{R} \to \mathbb{R}^2,\, x\mapsto (x,\varphi (x)) \) entonces tienes que \( f_x(x,\varphi (x))=(f_x\circ h)(x) \) (ahí el círculito denota composición de funciones, es decir que \( (f\circ g)(x)=f(g(x)) \) para funciones cualesquiera \( f \) y \( g \)), y algo parecido para el denominador. Entonces usando la regla de la cadena tienes que

\( \displaystyle{
\partial (f_x\circ h)(x)=(\partial  f_x\circ h)(x)\partial h(x)\tag1
} \)

donde \( \partial  \) representa la derivada total (también denominada derivada de Fréchet), que en el caso de funciones vectoriales se representa por la matriz jacobiana correspondiente, y en el caso de funciones escalares por el gradiente correspondiente. La yuxtaposición de las funciones representa composición, ya que la función \( \mathbf{v}\mapsto (\partial  f_x\circ h)(x)\mathbf{v} \) es una función lineal de \( \mathbb{R}^2 \) a \( \mathbb{R} \) y \( \partial h(x)\in \mathbb{R}^2 \). En este caso (1) sería equivalente a escribir, con otras notaciones

\( \displaystyle{
(f_x \circ h)'(x)=\nabla f_x(h(x))\cdot h'(x)\tag2
} \)

siendo el punto el producto euclideo. Te lo dejo así planteado, dime si puedes con ello y si encuentras algún problema.

[Luis Fuentes]

Hola

Buenas tardes, ¿cómo están? Se me pide en un ejercicio probar que las siguientes ecuaciones determinan a \( \displaystyle y \) en función de \( x \) alrededor de \( (x_0 , y_0) \) , y hallar
\( \varphi'(x_0) \) y \( \varphi''(x_0) \)

Mi ecuación es \( \displaystyle x^2y + \log(xy)=1 \) , \( (x_0 , y_0)=(1,1) \)

Más allá del formalismo, una vez que tienes probado que estás en las hipótesis que te garantiza que \( y \) está definida como función de \( x \) puedes derivar directamente en la ecuación dada.

Está es:

\( x^2y(x)+log(xy(x))=1 \)

Derivando respecto de \( x \):

\( 2xy(x)+x^2y'(x)+\dfrac{y(x)+xy'(x)}{xy(x)}=0 \)

\( 2xy(x)+x^2y'(x)+x^{-1}+\dfrac{y'(x)}{y(x)}=0 \) (*)

Evaluando en \( (x_0,y_0)=(1,1) \)

\( 2+y'(1)+1+y'(1)=0\quad \Rightarrow{}\quad y'(1)=-\dfrac{3}{2} \)

Para la segunda derivada vuelve a derivar en (*):

\( 2y(x)+2xy'(x)+2xy'(x)+x^2y''(x)-x^{-2}+\dfrac{y''(x)y(x)-y'(x)^2}{y(x)^2}=0 \)

Sustituye \( x=1 \), \( y(1)=1 \), \( y'(1)=-3/2 \) y despeja \( y''(1) \).

Saludos.