Buenas a todos,
El enunciado dice lo siguiente:
Probar que \( \text{Aut}(\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2)\cong \mathcal{S}_3 \)
Pensé lo siguiente:
Escribamos \( \mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2 = \{(0,0),(1,0),(0,1),(1,1)\} \), si llamamos \( (0,0):=0 \), \( x:=(1,0) \), \( y:=(0,1) \) y \( z:= (1,1) \) tenemos que:
\( x+y=z \)
\( x+z=y \)
\( y+z=x \)
Escribiré \( \phi_{a,b,c} \) para el morfismo definido por \( \phi(0)=0 \), \( \phi(x)=a \), \( \phi(y)=b \) y \( \phi(z)=c \) donde \( a,b,c \in \{x,y,z\} \), siempre que \( a,b,c \) sean los tres diferentes es fácil verificar que \( \phi_{a,b,c} \) es un automorfismo (por las ecuaciones de arriba), también es evidente que estos son todos los automorfismos que hay.
Ahora si consideramos un conjunto de \( 3 \) elementos que llamaremos \( \{x,y,z\} \) definiré el mapa \( \Gamma: \mathcal{S_3} \to \text{Aut}(\mathbb{Z}_2\times \mathbb{Z}_2) \) como \( \Gamma(\sigma) := \phi_{\sigma(x),\sigma(y),\sigma(z)} \). La inyectividad y sobreyectividad son inmediatas por las observaciones anteriores, nos resta ver que \( \Gamma \) es un morfismo de grupos, es decir, queremos ver que se verifica \( \Gamma(\sigma \cdot \tau) = \phi_{\sigma(\tau(x)),\sigma(\tau(y)),\sigma(\tau(z))}= \phi_{\sigma(x),\sigma(y),\sigma(z)} \circ \phi_{\tau(x),\tau(y),\tau(z)} \)
Y aquí es donde me tranco, ¿debería verificar caso por caso? Tal vez hay una manera más sencilla de pensar el ejercicio, espero sus respuestas.
Saludos,
Franco.
