Lo que descubre Hiparso es que no todo puede convertirse en algo medible
No voy a volver a ese tema.... Pero la diagonal de un cuadrado se puede medir, y si tiene lado 1,mide raíz de 2.
O la diagonal mide 1 si tomas, precisamente, la diagonal como unidad.
El problema es que si tomas el lado del cuadrado como unidad, entonces el sistema métrico empleado no te da un valor concreto para la diagonal.
Lo que quiere decir la irracionalidad de raíz de 2, más exactamente, es que si tomas una unidad “u” tan pequeña o tan gande como quieras, la que sea (el racional que sea) no puedes medir con ella la hipotenusa y el lado del triángulo de manera que obtengas dos mútliplos de “u”.
Es decir, no existe “u” tal que \( nu=lado \) y \( mu=hipotenusa \) con n,m enteros.
Ya que, de existir, \( mu \) sería racional por la cerradura, por ser producto de dos racionales, y no puede ser nunca igual a raíz de 2.
Saludos.
Correcto. Feriva.
Luego podemos solucionar esto imaginando que existe un número, un punto fijo, una entidad con sentido propio más allá de los racionales. O bien podemos pensar que estos irracionales no representan números concretos y puntos en una recta, por así decirlo, sino intervalos "flexibles" que pueden achicarse tanto como sea preciso sin alcanzar jamás un punto definitivo. En tal sentido cabe pensarlos como límites de un intervalo de valores que se puede hacer tan pequeño como se quiera, sin que jamás llegue a ser nulo.
Los puntos no dan problemas por una parte, pero sí por otra. Dado que son adimensionales, la hipotenusa tiene tantos puntos como los catetos; a cada punto (x,0) del cateto base le corresponde un punto (x,y) de la hipotenusa, hay biyección, tienen los mismos puntos, pero no pueden medir lo mismo ambos segmentos; esto no importa en principio dado que los puntos todos miden cero, pero no desparece el misterio de que las longitudes sean distintas.
Si introducimos el tiempo, podemos pensar que los puntos se agrandan, se transforman en pequeños segmentos con el paso del tiempo y, según su posición en el espacio, esos puntos se alargan más o menos (tiene que ver con una idea mía de la que he hablado en otros hilos) pero yo no sé si eso se puede considerar en la matemática intuicionista, porque no sé cómo es.
Una unidad “universal”, “estática” y distinta de cero, va a dar guerra. Siguiendo con lo de antes, imaginemos que podemos dibujar con precisión infinita una línea de 5 cm (o de 5 unidades, la unidad que sea).
Como es un experimento mental, también podemos suponer que dicho segmento lo dibujamos en el papel a 45º sobre la horizontal, también con precisión infinita.
Ya puestos, nada nos impide dibujar los catetos con precisión infinita para que quede un triángulo perfecto. ¿Cuánto mide la hipotenusa? 5 cm. Pero si intentamos medir en una cantidad entera de centímetros los lados que acabamos de dibujar, no podemos. No podremos ya hayamos dibujado la raya de 5 centímetros o de 78u o cualquier otra cantidad entera de “us”, siendo ésta una unidad racional cualquiera tan pequeña como se quiera.
Físicamente, el problema lo causa una relación o disposición geométrica, que provoca la imposibilidad de medir todo con una misma unidad, no causa el problema el número en sí. Pero matemáticamente esos 5cm no dejan de valer raíz de 2; porque los números en matemática pura no tienen unidad de medida, no es física.
Como dice Sugata y Richard, ese valor, valor matemático, es un punto como otro cualquiera en la recta real, un punto que no mide nada y tiene una ubicación en la recta tan difícil de encontrar como la del número 1 o cualquier otro (es imposible, ya por el mero hecho de que los puntos miden cero de “ancho” y cada punto se corresponde con un real distinto).
En fin, es muy abstracto, lo de menos es que raíz de 2 tenga infinitos decimales, es más problemático no poder encontrar una unidad de medida para todo; pero es que es así, no se puede.
Saludos.
