Lo que quería decir es que igual el tiempo es una cuestión de complejidad (cantidad de operaciones para resolver algo). Y creo que Wolffram tb lo defiende por el estilo, aunque debería informarme mejor lo que dice. Lo que ocurre es que Kant parece ir tb en esta línia, aunque emplea un lenguaje muy raro. Sólo me pareció curioso.
Por cierto, sobre lo que comentas:
Sí, la idea de JSA que presenta Kant es muy limitadilla, estoy de acuerdo. Se basa en la idea de que el conocimiento humano se basa, en exclusivo, sobre un tipo de afirmaciones que siempre son verdades "intuitivas" (se requiere de la sensibilidad para que tomen sentido o representen algo con sentido para nosotros) y a la vez apriori (se estructuran sobre conceptos y relaciones formales que implican que lo contrario de lo que nos indica la afirmación es imposibe).
Sabemos, históricamente, que esto no es cierto. Por ejemplo. Kant consideraba que los 5 postulados de Euclides eran precisamente JSA. De hecho usa el primer postulado como ejemplo de JSA, "el camino más corto entre 2 puntos siempre es la línea recta". Si bien sería mediante intuición q la afirmación toma sentido y significado concreto para nosotros, es gracias a su estructura lógico-formal que sabemos que debe de ser cierta siempre (apriori), porque lo contrario resulta absurdo e impensable.
Pero a partir de Gauss y Lobachevsky quedó patente que el 5º postulado no es un JSA, en el sentido dado por Kant. Es una afirmación que puede ser cierta o falsa según nos interese; por tanto el apriori no es una de sus características. Es decir, a nivel lógico-formal, pues, no hay ninguna exigencia que obligue a que sea cierta o falsa. Entonces, debemos guiarnos por la intuición, la imaginación y/o la utilidad para tomarla por cierta o falsa, para generar unos objetos matemáticos u otros.
A lo largo del s.XIX hubo muchas discusiones al respecto (tampoco las controlo mucho), tanto a nivel matemático como filosófico. Pero a comienzos del s.XX Poincaré presenta una reformulación de los JSA en su "ciencia e hipotesis". Dice, literalmente, que "el verdadero JSA" es el empleo de la recurrencia infinita (inducción matemática) como mecanismo de demostración. Y en base a ello se pone a demostrar toda la aritmética en un par de páginas.
¿Qué significaba este tipo de JSA?
Que una afirmación aritmética basada en la variable $$x_n$$, por ejemplo, es necesariamente cierta si se demuestra que es cierta para $$x_n$$ y luego también es cierta para $$x_{n+1}$$. Poincaré continua empleando la intuición temporal como mecanismo de demostración. Ahora bien, tal y como señalas es obvio que este metodo no sirve para demostrar la conjetura de Goldbach; o al menos nadie ha sabido plantear la cuestión de tal manera que se pueda emplear este método de demostración.
SIn embargo, tenemos, luego, demostraciones atemporales por así decirlo; se basan en las propias definiciones de las propiedades de los objetos a estudiar. Son demostraciones por comprensión. Por ejemplo, la demostración típica de que $$\sqrt[ ]{2}$$ no puede ser ningún valor racional:
suponemos que\( \sqrt[ ]{2}=\displaystyle\frac{a}{b} \), siendo $$a,b$$ coprimos.
Entonces \( 2b^2=a^2 \)
Pero por el teorema fundamental de la aritmética sabemos que eso es imposible. Es decir, por definición de número natural teniendo en cuenta tal teorema, esa afirmación que hemos supuesto es falsa. Por tanto no puede exitir ningún par de coprimos $$a,b$$ que divididos entre sí den $$\sqrt[ ]{2}$$. No hay que darle ninguna vuelta.
Aquí la demostración, pues, es inmediata tomando el teorema como definición de una propiedad característica de todo número natural, por ser un natural. No hay que hacer ninguna operación, ningún cáculo, etc. Es decir, es una demostración por definición.
También cabe destacar como el teorema fundamental de la aritmética es el axioma directo de la demostración. Y este teorema se fundamenta sobre otras premisas. ¿por qué no demostrar que $$\sqrt[ ]{2}$$ no es un racional a partir de las mismas premisas con las que demostramos el teorema fundamental de la aritmética?
Si vamos a la demostración del teorema fundamental de la aritmética vemos que se fundamenta en una demostración por recurrencia (inducción), y otros procedimientos. En fin, que se volvería más compleja de demostrar.
Vemos que la formulación de un teorema, pues, permite definir un concepto (propiedad o característica) de un objeto matematico y, entonces, sobre él es posible demostrar de forma más fácil/rápida/directa otros teoremas o verdades. Es decir, la generación de nuevos teoremas (definir nuevas propiedades de los objetos) reduce la complejidad para resolver más problemas.
Seguramente la demostración de la conjetura de Goldbach venga de la aparición de algún nuevo teorema sobre los números.
Un saludo
Claro, para que las cosas sean ciertas o falsas tienen que estar referidas a ciertas definiciones.
Si Euclides levantara la cabeza diría que él no estaba pensando en geometrías esféricas ni nada así, sino en su espacio euclídeo, y que, por tanto, su axioma sigue siendo cierto hasta que alguien demuestre lo contrario (y nadie lo ha demostrado dentro del contexto de la geometría euclídea, no es que no sea cierto ni falso, es que no se ha demostrado lo contrario; tampoco se ha demostrado que sea cierto, pero funciona perfectamente). Nada es cierto ni falso fuera de su contexto.
Se dice que un axioma es algo que no necesita demostración, y los matemáticos opinan que ese quinto postulado no es un axioma, porque entienden que sí necesita demostración. Pero para mí (a título personal y sin ser matemático ni ninguna autoridad) no necesita demostración, para mí es un axioma; incluso aunque algún día se pueda demostrar, seguirá siendo un axioma, porque para mí no necesita demostración aunque pueda existir tal prueba.
Me pasa con otras cosas para las que hay demostración y yo no la veo necesaria.
La geométrica analítica eculídea cuenta con ese axioma como verdadero porque, si no... a mí me parece que va a poner patas arriba todo, lo veo necesario. Naturalmente, no sé justificar bien el hecho de que sea necesario más allá de recurrir a ejemplos particulares (de lo contrario sería capaz de demostrar lo que no ha demostrado nadie) pero es que son muchos “ejemplos particulares”, muchos problemas que hacen los alumnos de álgebra lineal de cualquier colegio o universidad.
Tú piénsalo: un espacio euclídeo, como pueda ser las cuatro paredes de tu habitación, pero tan grande como quieras. Elige una esquina del cuarto, una recta, y cualquier punto externo a ella dentro de la habitación. ¿Puedes dibujar o describir una paralela que pase por ese punto trazándola con el dedo? Se puede decir que es “axiomático”, claro que se puede siempre. ¿Puedes dibujar otra paralela que pase por el mismo punto y cuyos puntos (todos los de la recta) no sean coincidentes con los de la recta que anteriormente has descrito? Pues para mí es igual de axiomático afirmar que no se puede. ¿Por qué? Ah, pues porque sí, porque se ve, por eso digo que es axiomático: “axiomático = no sé explicar por qué es así, pero es así”.
El TFA también está ubicado dentro de un contexto, como el postulado ese o cualquier afirmación matemática, lo que pasa es que más “definitorio”, es más por nuestra elección; mientras que lo del axioma ése está más cerca de lo físico, al hablar de espacio, es otro tipo de concepto matemático más difícil de ver, precisamente porque está abstraído a partir de algo físico y por eso tenemos más miedo en cuanto a que nos pueda engañar algo.
EL TFA dice que todo número natural se puede descomponer en producto de primos de manera única. Es también casi axiomático si piensas en el concepto de primo de esta forma:
Pongo unos axiomas con los que creo que es fácil estar de acuerdo:
1º Todos los números naturales (sin el cero) se pueden escribir como suma de al meno dos números excepto el 1.
*(aquí no hay puntos, espacio... no hay conjuntos tampoco si no se quieren considerar. No hay cosas raras, sólo hay esto 1,2,3...)
2º Inventemos, con nuestra invención humana, una cosa para que sea más divertido lo de escribir números como suma de otros:
Juguemos a buscar los números que se pueden escribir como suma de números iguales distintos de 1; por ejemplo:
1; no se puede por definición.
2; no se puede, sólo se puede así 1+1 y el 1 lo hemos quitado como sumando posible porque hemos querido (con nuestra inveción humana) no vale.
3; no se puede porque los dos más pequeños que él son 1 y 2, y 2+2=4, se pasa de tres.
4; se puede 2+2
5; no se puede, los menores que él son 1,2,3,4; 2+2, queda corto, 3+3 queda largo y 4+4, con más razón, queda largo también.
En fin, y así seguimos buscando.
3º A los números que no se pueden escribir como suma repetida de otros (quitando el 1) los llamamos primos.
Pero para que existan estos números hemos tenido que inventar quitar el 1, porque, si no, si podríamos expresarlos como suma repetida de un mismo número; 2=1+1; 3=1+1+1; etc. Como suma de unos puede escribir cualquier natural, sea primo o no.
Ahora, la descomposición de un número en primos, la podemos considerar a partir de esto con sumas en vez de con productos:
15=3+3+3+3+3; o también 15=5+5+5.
De esta manera la descomposición no siempre es única (en el TFA de feriva no es única
).
EL TFA de verdad dice que aquí 3+3+3+3+3 está el 3 y también el 5 (cinco sumandos) igual que aquí 5+5+5 también está el tres y el cinco; si no distinguimos la propiedad conmutativa sólo existe un producto de primos que dé 15: \( 3\cdot 5 \).
Pero si no usamos primos en la descomposición, podemos escribir, por ejemplo, 12 como 6+6, con suma de dos compuestos repetidos; pero esos compuestos, a la vez, son 3+3 ó 2+2+2, que va a dar lugar al producto único de primos \( 2\cdot 3 \).
Pero, en fin, antes de todo esto, hemos quitado el 1 de las sumas repetidas porque nos ha dado la gana; porque da mucho juego para crear problemas, plantearse cosas...
Con el postulado de Euclides no pasa exactamente igual, hay aspectos “externos” o sugeridos por algo que no hemos “inventado” nosotros, el espacio.
Un saludo.
