Hola Luis, gracias por la revisión. Corrijo:
Supongamos en el anillo de los enteros de Eisenstein \( \mathbb{Z}(\omega) \) , para \( \omega=(-1+\sqrt{-3})/2 \) , la raíz primitiva tercera de la unidad; la siguiente ecuación: \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \) , donde \( \alpha,\beta,\gamma \) son coprimos entre sí.
Conocemos
(Keith Conrad) que \( (c_0+c_1\zeta+\cdot\cdot+c_{p-2}\zeta^{p-2})^p\equiv c_0+c_1+\cdot\cdot+c_{p-2} \) mod \( p \) , para \( c_0,c_1,.. \) enteros usuales. Luego podemos considerar módulo \( 3 \) á \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=0 \) , como si fuera \( a+b+c=0 \) , donde \( a,b,c \) serían enteros usuales. Pero si \( 3 \) no divide a ninguna de las terceras potencias mencionadas, entonces:
\( -\alpha^3=\beta^3+\gamma^3=(\beta+\gamma)((\beta+\gamma)^2-3\beta\gamma) \)
\( -\beta^3=\alpha^3+\gamma^3=(\alpha+\gamma)((\alpha+\gamma)^2-3\alpha\gamma) \)
\( -\gamma^3=\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)((\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta) \)
Y : \( \beta+\gamma \) , \( \alpha+\gamma \) -y- \( \alpha+\beta \) serán a su vez terceras potencias, salvo unidades, en \( \mathbb{Z}(\omega) \) . Siendo congruentes con un entero usual módulo \( 3 \) , pongamos que respectivamente, de la siguiente forma: \( \epsilon_1\,a’ \) , \( \epsilon_2\,b’ \) -y- \( \epsilon_3\,c’ \) , para \( \epsilon_{1,2,3} \) unidades del anillo.
Ahora bien, como: \( -\alpha^3=\beta^3+\gamma^3=(\beta+\gamma)((\beta+\gamma)^2-3\beta\gamma)\equiv(\beta+\gamma)^3\equiv (\epsilon_1\,a’)^3 \) mod \( 3 \) \( \Rightarrow \) \( -\alpha^3\equiv \pm a’\,^3 \) mod \( 3 \) ; \( -\beta^3\equiv(\alpha+\gamma)^3 \) mod \( 3 \) \( \Rightarrow \) \( -\beta^3\equiv (\epsilon_2 \,b’)^3=\pm b'\,^3 \) mod \( 3 \) -y- \( -\gamma^3\equiv(\alpha+\beta)^3 \) mod \( 3 \) \( \Rightarrow \) \( -\gamma^3\equiv(\epsilon_3\,c’)^3=\pm c'\,^3 \) mod \( 3 \) , ya que sabemos que todas estas unidades al cubo son de la forma \( \pm 1 \) . Tendremos en realidad que \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3\equiv \pm a’\,^3\pm b’\,^3 \pm c’\,^3\equiv 0 \) mod \( 3 \) . Y si \( 3 \) no divide á \( a’b’c’ \) ; puesto que \( (\mathbb{Z}/9\mathbb{Z})^3=\{0,1,-1\} \) , será que \( \pm a’\,^3\pm b’\,^3\pm c’\,^3\not\equiv{0} \) mod \( 9 \) . Lo que no puede ser. Luego no perdemos generalidad si suponemos que \( 3 \) divide á uno de los cubos de partida, pongamos que á \( \gamma^3 \) -y- que: \( \alpha^3+\beta^3+\gamma^3=1-1+0 \) mod \( 3 \) .
Como en \( \mathbb{Z}(\omega) \) , \( 3 \) es igual á \( -\omega^2\lambda^2 \) -y- por tanto \( 9=\omega\lambda^4 \) , siendo \( \pm\omega^{1,2} \) unidades de este anillo -y- \( \lambda \) el primo \( 1-\omega \) . Y además: \( -\gamma^3=\alpha^3+\beta^3=(\alpha+\beta)((\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta) \) ; donde estos dos últimos factores son coprimos salvo por \( 3 \) -y- \( 3 \) , como mínimo, -y- \( \lambda^{2} \) , deben dividir á \( \alpha+\beta \) . Será que \( \lambda^{k+1} \) , para \( k\in{N^+} \) , divide á \( \gamma \) , -y- por consiguiente: \( \epsilon_1^3\cdot\lambda^{3k+3} \) dividirá á \( -\gamma^3 \) ; \( \epsilon_2\cdot\lambda^{3k+1} \) dividirá á \( \alpha+\beta \) -y- sólo \( 3=-\omega^2\cdot\lambda^2 \) dividirá á \( (\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta \) , para \( \epsilon_{1,2} \) unidades de este anillo.
De esta forma, tendremos sin perder generalidad, que \( -\gamma^3=-\lambda^{3k+3}\gamma'\,^3 \) , \( \alpha+\beta=\omega\lambda^{3k+1}\delta^3 \) -y- \( (\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta=-\omega^2\lambda^2\eta^3 \) , para unos \( \delta,\eta \) enteros de Eisenstein coprimos entre sí -y- : \( \omega\cdot (-\omega^2)=-1 \) . Donde \( \dfrac{\alpha+\beta}{\lambda}=\omega\delta'\,^3 \) -y- \( \dfrac{(\alpha+\beta)^2-3\alpha\beta}{\lambda^2}=-\omega^2\eta^3 \) serán coprimos y terceras potencias (salvo estas unidades).
Llamamos ahora: \( \pi=\dfrac{2\alpha-\beta}{3} \) -y- \( \rho=\dfrac{\alpha+\beta}{3} \) . Sabemos que \( 3 \) divide á \( 2\alpha+\beta \) porque divide á \( \alpha+\beta\equiv r-r \) mod \( 3 \) . Y que ambos elementos serán coprimos entre sí, porque su suma es: \( \dfrac{2\alpha-\beta+\alpha+\beta}{3}=\alpha \) . Y su diferencia es: \( \dfrac{2\alpha-\beta-\alpha-\beta}{3}=\dfrac{\alpha-2\beta}{3} \) .
Si despejo en \( \pi \) -y- en \( \rho \) , obtengo: \( \alpha=\pi+\rho \) -y- \( \beta=2\rho-\pi \) .
Luego: \( \pi^2+\rho^2-\pi\rho=\left(\dfrac{2\alpha-\beta}{3}\right)^2+\left(\dfrac{\alpha+\beta}{3}\right)^2-\left(\dfrac{2\alpha-\beta}{3}\right)\left(\dfrac{\alpha+\beta}{3}\right)\,= \)
\( =\,\dfrac{4\alpha^2+\beta^2-4\alpha\beta+\alpha^2+\beta^2+2\alpha\beta-2\alpha^2-2\alpha\beta+\alpha\beta+\beta^2}{9}\,= \)
\( =\,\dfrac{3\alpha^2+3\beta^2-3\alpha\beta}{9}\,=\,\dfrac{\alpha^2+\beta^2-\alpha\beta}{3} \) .
Sabemos por arriba que \( \dfrac{\alpha^2+\beta^2-\alpha\beta}{(3=-\omega^2\lambda^2)} \) es un cubo perfecto de la forma \( \eta^3 \) . De esta manera \( (\pi+\rho\omega)(\pi+\rho\omega^2)=\eta^3 \) . Y como \( \pi+\rho\omega \) -y- \( \pi+\rho\omega^2 \) son coprimos, porque su suma es: \( \pi+\rho\omega+\pi+\rho\omega^2=2\pi+\rho(\omega+\omega^2)=2\pi-\rho \) -y- su diferencia: \( \pi+\rho\omega-\pi-\rho\omega^2=\rho(\omega-\omega^2)=\rho\omega(1-\omega) \) . Donde \( 1-\omega \) no divide á \( \pi=\dfrac{2\alpha-\beta}{3} \) . Porque conocemos por arriba que \( \alpha+\beta\equiv r-r \) mod \( 9 \) , siendo \( 2\alpha-\beta\equiv 3r \) mod \( 9 \) -y- \( r \) no es múltiplo de \( 3 \) , pues es un resto de \( \alpha \) -y- \( \beta \) ; luego si se divide entre \( 3 \) á \( 2\alpha-\beta \) , sólo podrá ser congruente con \( \pm 1 \) mod \( 3 \) . Entonces \( \pi+\rho\omega \) -y- \( \pi+\rho\omega^2 \) serán dos terceras potencias (\( \mu^3_{1,2} \)) , salvo unidades.
Como \( \pi+\rho\omega=\epsilon_1\mu_1^3 \) , para \( \epsilon_1 \) una unidad del anillo -y- \( \pi+\rho\omega\equiv\epsilon_1\mu_1^3 \) mod \( 3 \) \( \Rightarrow \) \( \pi\equiv\epsilon_1\mu_1^3 \) mod \( 3 \) , ya que \( \rho\equiv 0 \) mod \( 3 \) -y- asimismo: \( \pi+\rho\omega^2\equiv\epsilon_2\mu_2^3 \) mod \( 3 \) \( \Rightarrow \) \( \pi\equiv\epsilon_2\mu_2^3 \) mod \( 3 \) . Las unidades \( \epsilon_1\,,\,\epsilon_2 \) deben ser el mismo tipo, dado que como dijimos al principio: \( \mu^3_{1,2}\equiv\pm1 \) mod \( 3 \) . Luego no pueden ser de la forma \( \omega\cdot\omega=1 \) ó \( \omega^{2}\cdot\omega^{2}=1 \) ; teniendo que ser de la forma \( \pm 1 \) , pongamos que sin perder generalidad: \( 1 \) .
Si restamos ahora de esta forma: \( (\pi+\rho\omega)-(\pi+\rho\omega^2)=\rho\omega(1-\omega) \) . Tendremos que \( \mu_1^3-\mu_2^3=\dfrac{\alpha+\beta}{3}\cdot\omega\lambda \) . Donde \( \dfrac{\alpha+\beta}{3}\cdot\omega\lambda=\dfrac{\omega\lambda^{3k+1}\delta^3}{-\omega^2\lambda^2}\cdot\omega\lambda=-\lambda^{3k}\delta^3 \) . Por lo que obtenemos en definitiva los sumandos de tres cubos perfectos igual a cero: \( \mu_1^3-\mu_2^3+\lambda^{3k}\delta^3=0 \) . Pero en esta ocasión, el término múltiplo de \( \lambda \) es por una potencia (\( \lambda^{3k} \)) menor que la de partida: \( \lambda^{3k+3} \) . Iniciando así un descenso infinito si repetimos este mismo razonamiento una y otra vez.
Un saludo
